一、總述
?Petr–Douglas–Neumann定理？？一個(gè)這么長(zhǎng)的名字，你可能要問(wèn)怎么會(huì)有這么奇怪的定理。。。但他的名字就是這樣（比我曾經(jīng)接觸過(guò)的高斯·波登米勒定理還要長(zhǎng)）
百度百科是這樣介紹的：

“佩特-諾伊曼-道格拉斯定理（Petr–Douglas–Neumanntheorem）也稱為PDN定理，是幾何學(xué)中有關(guān)平面多邊形的定理

此定理證明，對(duì)于任何多邊形，都可以依定理中的作法找到一正多邊形，其邊數(shù)恰和原來(lái)的多邊形相同。佩特諾-伊曼-道格拉斯定理最早是由卡瑞爾·佩特諾（1868–1950）1908年在布拉格提出。1940年及1941年時(shí)也分別被杰西·道格拉斯（1897–1965）和伯恩哈德·諾伊曼（1909–2002）獨(dú)立證明。此定理由StephenBGray命名為佩特-諾伊曼-道格拉斯定理，或簡(jiǎn)稱為PDN定理，有時(shí)也被稱為道格拉斯定理、道格拉斯-諾伊曼定理、諾伊曼-道格拉斯-佩特定理或佩特定理?！?br>那么這種變換方式是什么呢？在這里給出一種表述：
對(duì)于一個(gè)n邊形，首先以每一條邊為底邊向外構(gòu)造頂角為360°/n的等腰三角形，將這n個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的n邊形以每一條邊為底邊向外構(gòu)造頂角為720°/n的等腰三角形，再將這n個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的n邊形以每一條邊為底邊向外構(gòu)造頂角為1080°/n的等腰三角形······（總之就是不斷地套娃）
這樣操作（n-2）次后，所得到的n個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的n邊形是正n邊形。特別地，如果頂角是180度，視為取中點(diǎn)，頂角大于180度，視為反向作等腰三角形，如果開(kāi)始是向內(nèi)做同理。說(shuō)實(shí)話，這種方式十分新奇，十分令人難以接受。。
在本篇學(xué)術(shù)墻里給出PDN定理的3元、4元、5元證明，請(qǐng)繼續(xù)往下看→
二、3、4元證明
PDN定理的3元形式是這樣的，一個(gè)三角形，以每條邊向外或向內(nèi)作120°的等腰三角形，所得到的三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形
這個(gè)定理的本質(zhì)是拿破侖定理（詳情可以參見(jiàn)早期的學(xué)術(shù)墻），在這里不予證明，但有一個(gè)關(guān)鍵的性質(zhì)：拿破侖三角形的中心是原三角形的重心

PDN定理的4元定理類似，指一個(gè)四邊形，以每條邊向外或向內(nèi)構(gòu)造等腰直角三角形，這四個(gè)頂點(diǎn)連線構(gòu)成的四邊形的中點(diǎn)四邊形是正方形（下圖中的紅色正方形）
值得注意的是，下圖中標(biāo)黃的兩條虛線是這個(gè)中點(diǎn)四邊形對(duì)應(yīng)四邊形的對(duì)角線，圖中把等腰直角三角形補(bǔ)成了正方形，這又是一個(gè)著名的定理：凡·奧貝爾定理，即這四個(gè)正方形的中心連線垂直且相等（圖中的黃色虛線）再由中點(diǎn)四邊形性質(zhì)可以得到結(jié)果，當(dāng)然這個(gè)正方形的中心依然是這個(gè)四邊形的重心

三、5元證明的引理
由于在高于5元時(shí)，我并沒(méi)有想到什么好的幾何做法（如果同學(xué)們哪一位想到了也可以來(lái)投稿，稿費(fèi)面議，如果有下一期給你專門出一個(gè)學(xué)術(shù)墻，參考文獻(xiàn)就寫(xiě)你的聊天記錄或親筆過(guò)程），我選擇的研究方法是復(fù)數(shù)，那么用復(fù)數(shù)怎么解決等腰三角形的問(wèn)題呢？
實(shí)際上，問(wèn)題是復(fù)平面內(nèi)兩個(gè)點(diǎn)，所連線段向外做等腰三角形，求頂點(diǎn)的復(fù)數(shù)坐標(biāo)
我將用z1和z2代替這兩個(gè)復(fù)數(shù)點(diǎn)，所以參照復(fù)數(shù)的幾何意義得到兩點(diǎn)之間的向量的表達(dá)，通過(guò)乘一個(gè)模長(zhǎng)為1的復(fù)數(shù)，達(dá)到旋轉(zhuǎn)的目的（當(dāng)然這個(gè)也是一個(gè)單位根），在乘一個(gè)倍數(shù)使模長(zhǎng)對(duì)應(yīng)，在通過(guò)加上其中一個(gè)復(fù)數(shù)達(dá)到平移的目的（可能我做的有點(diǎn)復(fù)雜了，但這是我能想到的最合理的方式），如下圖，再做一個(gè)對(duì)稱化處理就很好看了：

接下來(lái)便是一步步復(fù)雜的迭代運(yùn)算（可以采用我下面展示的方式，也可以用單位根的形式，單位根可能更清楚一點(diǎn)，只需比較系數(shù)即可）

最后一次迭代，下面只給出了一個(gè)點(diǎn)：

數(shù)值檢驗(yàn)，這五條邊是相等的：

參考圖如下所示：

其實(shí)，最后我們發(fā)現(xiàn)，中間那個(gè)點(diǎn)就是五邊形的重心，這一點(diǎn)可以推廣到PDN定理的n元形式（由歸納法給出或者直接證明，但可能涉及無(wú)窮項(xiàng)的求和，不容易說(shuō)清楚）

由此，我們可以得出一個(gè)很重要的遞推關(guān)系：在一個(gè)n邊形中，任意n-1個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的多邊形的PDN中心（這個(gè)正n-1邊形的中心）共有n個(gè)點(diǎn)，則這n個(gè)點(diǎn)的PDN中心與原n邊形的PDN中心重合（也可以通過(guò)這個(gè)來(lái)證明PDN定理的正確性）
至于這個(gè)定理的完整證法（咱們只給出了構(gòu)造和構(gòu)造的3、4、5元形式證明），交給各位讀者思考