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S5R4 旋轉(zhuǎn)全等的探究

2022-02-26 09:35 作者:學(xué)用數(shù)學(xué) 0人讀過 | 我要投稿

旋轉(zhuǎn)變換是中考壓軸題常見的題型。最經(jīng)典是正三角形的情況。給定正三角形內(nèi)一點 P，其中 P 到三頂點的距離是 3,4,5 。想求正三角形的邊長與 ∠BPC 。對于這道題的核心的解題攻略『條件分散時，利用旋轉(zhuǎn)來集中條件。』

關(guān)鍵就在于背景這個正三角形，提供了一個共點的等邊線段。這樣就可以這個共頂點 B 為旋轉(zhuǎn)中心，將 P 旋轉(zhuǎn) 60 度角得到 Q、利用 SAS 得 △QAB 與? △PBC 全等。再利用?△PBQ 是個等邊三角形，所以 PQ 就等于 PB 。這樣 3,4,5 三條邊就在一起，也就保證 ∠AQP 是個直角。因此，∠APB ?= ∠PBC 就是 90+45 = 135 度。

對于這個問題，常見的探究方向就是，『非正三角形不可嗎？』若是正方形、正六邊形是否也可以利用這樣的旋轉(zhuǎn)對稱而得到呢？

對于正方形時，PQ 是 PB 的根號2 倍、在正六邊型時，PQ 是 PB 的根號3 倍。這樣就把三條分散的條件，集中在一起。而在初中，題目給的三邊長度，往往設(shè)計為直角三角形的三邊。這樣就可以求出角 PBC 的角度與正多邊形的邊長。? ? ?

你將學(xué)會

1.用【滑動條】控制圖形的動態(tài)旋轉(zhuǎn)

2. 知道 PA=PB=a: b 的軌跡

3. 使用【輸入框】來關(guān)聯(lián)滑動條的數(shù)字

4. 動態(tài)數(shù)值文本的顯示

除了這些基本技能，更重要的是問題拆解的思維。本題最有趣的部分有兩點（1）給定 a,b,c 三個參數(shù)如何決定 P 的位置；（2）如何讓 n 在變動時，圖形不會變化太大。

1 旋轉(zhuǎn)三角形

目的：熟悉 Geogebra 的旋轉(zhuǎn)變換。我們要做出的效果是將正三角形內(nèi)的一個三角形旋轉(zhuǎn) 60 度，主要的指令是【Rotate(物件, 旋轉(zhuǎn)角, 旋轉(zhuǎn)中心)】.?

問：建三角形 ABC，要有哪些參數(shù)？

答：先設(shè)置參數(shù) s = 1 來控制三角形的邊長。接著用極坐標(biāo)輸入 A 點 (s;pi/3) ，前面表示邊長 s ，后面為角度 pi/3 也就是 60°，中間以 ; 來做間隔，接著輸入 B (0,0) 、C(s,0) ，再輸入【plABC = 多邊形(A,B,C)】這樣就出現(xiàn)三角形 ABC 。此時調(diào)整 s 的大小，三角形也會變化。

s = Slider(1,5,0.1)

A = (s;pi/3)

B = (0,0)

C = (s,0)

plABC?= 多邊形(A,B,C)

問：如何在三角形內(nèi)建一個點？

答：利用【內(nèi)點】?的指令，限制 P 點只能在三角形內(nèi)移動，再利用?【線段】指令，連接 PB, PC

P?=?內(nèi)點(plABC)
sePB?=?線段(P,B)
sePC?=?線段(P,C)

問：如何得到旋轉(zhuǎn)后的 Q 點？

答：利用?【旋轉(zhuǎn)】指令，? 第二個參數(shù) pi/3 是旋轉(zhuǎn)角，方向為逆時針。而第三個參數(shù)是為旋轉(zhuǎn)中心?。完成后，再利用【線段】?連接 QB, QA 。這時候，改變 P 點的位置，也可看到 Q 點的位置也隨之改變。

Q?=?旋轉(zhuǎn)(P,?pi/3,?B)
seQB?=?線段(Q,B)
seQA?=?線段(Q,A)

2 在正 n 邊形內(nèi)的旋轉(zhuǎn)三角形

問：如何將三角形改為多邊形？

答：利用【多邊形】指令，而在描繪 A ， Q 點時，要使用 pi- 2*pi/n 取得多邊形的內(nèi)角。

n?=?滑動條(3,8,1)

A?=?(s;?pi-?2*pi/n)

Q?=?旋轉(zhuǎn)(P,?pi?-?2*pi/n,?B)

plABC?=?多邊形(A,B,n)

問：如何讓 △PBC 漸漸轉(zhuǎn)動？

答：利用【滑動條】 t，設(shè)定角度為? t*角度(A,B,C)

t?=?滑動條(0,1,0.1)

tPBC?=?旋轉(zhuǎn)(多邊形(P,B,C),t*角度(C,B,A),?B)

3 找出PA 與 PB 比為固定的點

目的：求出 PA與PB之比為定值的軌跡.?

問：如何探究? PA：PB = 2:1 的點所形成軌跡為何？

答：先建兩個圓，圓心為 A, B ，半徑為 k*a, k*b 。接著令 P,Q 為這兩個圓的交點，?再將 P, Q 的軌跡顯示出來，可觀察到其軌跡為一個圓。

A = (0,0)

B = (1,0)

a=2b=1

k=0.5

cA?=?圓周(A,k?a)

cB?=?圓周(B,k?b)

P?=?交點(cA,cB,1)

Q?=?交點(cA,cB,2)

問：滿足 PA：PB = 2:1 的點所成軌跡如何找？

答：利用在 AB 直線上的內(nèi)外分點 IAB, OAB 。接著再利用這兩點的中點當(dāng)圓心，距離的一半為半徑繪制圓，就可取得 sePA, sePB 這兩個圓。

IAB = (b A + a B)/(b+a)

OAB = (b A - a B)/(b-a)

cAB?=?圓周((IAB+OAB)/2, 線段(IAB,OAB)/2)

sePA = 線段(PA)

sePB = 線段(PB)

4??找出PA 與 PB 比為固定的點

目的：利用到三頂點的距離比來決定 P 點位置.? ? ? ?

問：如何取得 PA:PB:PC = a:b:c 的 P 點？

答：建 PA:PB =a:b 的圓 cAB，再建 PB:PC = b:c 的圓 cBC。再取得兩圓交點 P 。

a?=?滑動條(1,5,0.01)

b?=?滑動條(1,5,0.01)

c?=?滑動條(1,5,0.01)

IAB = (b A + a B)/(b+a)

OAB = (b A - a B)/(b-a)

cAB = 圓周((IAB + OAB) / 2, 線段(IAB, OAB) / 2)

IBC = (c B + b C)/(c+b)

OBC = (c B - b C)/(c-b)

cBC?=?圓周((IBC+OBC)/2, 線段(IBC,OBC)/2)

P?=?交點(cAB,?cBC)

sePA = 線段(P,A)

sePQ = 線段(P,Q)

aBPC?=?角度(B,P,C)?