小波變換[2] -- 多分辨率框架

2021-12-23 13:27 作者:nyasyamorina 0人讀過 | 我要投稿

在上一篇專欄里通過 Haar 小波做出了小波變換的最簡例子,? 可以認(rèn)識到小波變換是使用可以調(diào)整的尺度函數(shù)與小波函數(shù)達(dá)到多分辨率的頻率分析.? 為了獲取構(gòu)造尺度函數(shù)與小波函數(shù)的通用方法,? 這里提出了多分辨率框架.

多分辨率框架

多分辨率分析是基于嵌套函數(shù)空間定義的?[來源是帶限頻率空間,? 由于其中推論實(shí)在太長了,? 就不在這里敘述了].? 以下給出定義*:

記分布在實(shí)數(shù)上平方可積函數(shù)的集合為?L2(R),? 即是? $L%5E2(%5Cmathbb%7BR%7D)%3D%5Cleft%5C%7Bf%3A%5Cmathbb%7BR%7D%5Crightarrow%5Cmathbb%7BC%7D%3B%5C%3B%5Cint_%7B%5Cmathbb%7BR%7D%7D%7Cf(x)%7C%5E2dx%3C%5Cinfty%5Cright%5C%7D$ ,? 對于所有整數(shù) j,? 存在以下關(guān)系的嵌套函數(shù)空間:? $%5C%7B0%5C%7D%5Csubset%5Ccdots%5Csubset%20V_%7Bj-1%7D%5Csubset%20V_j%5Csubset%20V_%7Bj%2B1%7D%5Csubset%20%5Ccdots%5Csubset%20L%5E2(%5Cmathbb%7BR%7D)$ ,? 有以下條件:? 1) 時間對稱性:?? $v_j(x)%5Cin%20V_j%5Clongleftrightarrow%20v_j(x-2%5E%7B-j%7Dm)%5Cin%20V_j%3B%5C%3Bm%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D$ ;? 2) 尺度對稱性:? $v_j(x)%5Cin%20V_j%5Clongleftrightarrow%20v_j(2%5E%7B-j%7Dx)%5Cin%20V_0$ ;? 3) 分辨率單調(diào):? 對于 k > l,? 則有分辨率?2?? 高于分辨率?2??;? 4) 完備性:?? $%5Cbigcup_%7Bj%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7DV_j%3DL%5E2(%5Cmathbb%7BR%7D)%3B%5C%3B%5Cbigcap_%7Bj%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7DV_j%3D%5C%7B0%5C%7D$ ;? 5) 基規(guī)律性:? 存在有限個尺度函數(shù),? 并且尺度函數(shù)的整數(shù)位移張成了函數(shù)空間 V?,? 以單個尺度函數(shù) Φ?為例,? 即是? $%5Cleft%5C%7B%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7Da_k%5CPhi(x-k)%3B%5C%3Ba_k%5Cin%5Cmathbb%7BC%7D%5Cright%5C%7D%3DV_0$ .? 當(dāng)滿足上述條件時,? 則稱空間集合 $%5Cleft%5C%7BV_j%3B%5C%3Bj%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%5Cright%5C%7D$ ?為依賴尺度函數(shù) Φ 的多分辨率分析,? 這幾個條件稱為多分辨率框架.

實(shí)值函數(shù)的支撐集定義為所有讓函數(shù)不為 0 的集合,? 即? $%5Cmathrm%7Bsupp%7D(f)%3D%5Cleft%5C%7Bx%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D%3B%5C%3Bf(x)%5Cneq0%5Cright%5C%7D$ .? 當(dāng)函數(shù)的支撐集同時有上下界,? 則稱這個函數(shù)是緊支撐的,? 一般來說希望多分辨率分析里的尺度函數(shù)也是有界的.

以 Haar 尺度函數(shù)為例,? 不難看出符合多分辨率分析的第 1, 2, 3 點(diǎn).? 當(dāng) Haar 小波變換里 j 趨向正無窮時,? 可以使用 Haar 尺度函數(shù)捕獲函數(shù)的所有細(xì)節(jié);? 當(dāng) j 等于負(fù)無窮時,? 函數(shù) Φ(2??x) 的支撐集上界等于無窮,? 為了保持函數(shù)平方可積,? 只能取 0 值函數(shù),? 由此證得 Haar 尺度函數(shù)也符合第 4 點(diǎn),? 第 5 點(diǎn)即是 Haar 小波變換的定義.? 也就說 Haar 小波變換符合多分辨率框架.

香農(nóng)多分辨率分析是一個依賴頻率空間的多分辨率分析,? 它依賴于尺度函數(shù)? $%5Cmathrm%7Bsinc%7D(x)%3D%5Cfrac%7B%5Csin(%5Cpi%20x)%7D%7B%5Cpi%20x%7D$ ,? 函數(shù)在 x=0 處取極限值 1.? sinc 函數(shù)有性質(zhì)? $%5Cmathcal%7BF%7D%5B%5Cmathrm%7Bsinc%7D%5D%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D1%3B%5C%3B%7C%5Comega%7C%5Cleq0.5%5C%5C0%3B%5C%3B%5Cmathrm%7Belse%7D%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ ,? 其中 F 是傅里葉變換,? 也就是說 sinc 是一個帶限函數(shù),? 這是一個十分適合分析頻率的函數(shù),? 盡管這個函數(shù)不是緊支撐的,? 但是多分辨率框架賦予了其無與倫比的信號分析性質(zhì).? 并且這個函數(shù)也符合多分辨率分析的條件,? 證明過程略.

尺度關(guān)系式

因?yàn)闅w一尺度函數(shù) Φ 是 V? 的基,? 由函數(shù)空間的嵌套關(guān)系知道 Φ 也屬于?V?,? 于是把 Φ 在 V? 進(jìn)行展開得尺度關(guān)系式? $%5CPhi(x)%3D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7Dp_k%5CPhi(2x-k)$ ,? 其中系數(shù) $p_k%3D%5Cint_%7B%5Cmathbb%7BR%7D%7D%5CPhi(x)%5Coverline%7B%5CPhi(2x-k)%7Ddx$ ,? 由多分辨率框架的時間和尺度對稱性可以得到 $%5CPhi(2%5Ejx-l)%3D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7Dp_%7Bk-2l%7D%5CPhi(2%5E%7Bj%2B1%7Dx-k)$ ,? 不難可以證明:? 當(dāng) Φ 是緊支撐的,? 則只有有限個 p? 不為 0.? 特殊地,? Haar 小波變換是 p? = p? = 1 的例子,? 其他系數(shù)均為 0.

如果? $%5Cint_%5Cmathbb%7BR%7D%5CPhi(x)dx%5Cneq0$ ,? 由基函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)正交性可以得到? $%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7Dp_%7B2k%7D%3D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7Dp_%7B2k%2B1%7D%3D1$ **,? 也就是說尺度關(guān)系式的偶數(shù)系數(shù)的和于奇數(shù)系數(shù)的和都等于 1,? 這對推導(dǎo)合適的尺度函數(shù)很有幫助 [見后續(xù)的專欄].

小波函數(shù)

當(dāng)有尺度函數(shù) Φ,? 則相應(yīng)的小波函數(shù) ? 為? $%5Cphi(x)%3D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7D(-1)%5Ek%5Coverline%7Bp_%7B1-k%7D%7D%5CPhi(2x-k)$ ,? 并且函數(shù)集 $%5Cleft%5C%7B%5Cphi(x-k)%3B%5C%3Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%5Cright%5C%7D$ ?張成 V? 對于 V? 的正交補(bǔ) W?.? 這是容易證得的***.? 對于任意整數(shù) j 都有 $V_j%3DV_%7Bj-1%7D%5Coplus%20W_%7Bj-1%7D$ ,? 由多分辨率的嵌套性和完備性可以得到:? $L%5E2(%5Cmathbb%20R)%3D%5Cbigoplus_%7Bj%5Cin%5Cmathbb%20Z%7DW_j$ .

分解和重構(gòu)

為了更清楚地表示函數(shù)空間,? 記張成函數(shù):? $%5Cmathrm%7Bspan%7D(S)%3D%5Cleft%5C%7B%5Csum_ka_ke_k%3B%5C%3Ba_k%5Cin%5Cmathbb%20C%2C%5C%2Ce_k%5Cin%20S%5Cright%5C%7D$ .

為了基函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)正交性,? 定義函數(shù)空間? $V_j%3D%5Cmathrm%7Bspan%7D%5Cleft(%5Cleft%5C%7B%5CPhi_%7Bj%2Ck%7D%3D2%5E%7Bj%2F2%7D%5CPhi(2%5E%7Bj%7Dx-k%3B%5C%3Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%5Cright%5C%7D%5Cright)$ 和? $W_j%3D%5Cmathrm%7Bspan%7D%5Cleft(%5Cleft%5C%7B%5Cphi_%7Bj%2Ck%7D%3D2%5E%7Bj%2F2%7D%5Cphi(2%5E%7Bj%7Dx-k)%3B%5C%3Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%5Cright%5C%7D%5Cright)$ .

1) 信號近似:? 設(shè)信號函數(shù)為 f,? 則定義 j 級近似為? $f%5Capprox%20f_j%3D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7Da_k%5E%7B(j)%7D%5CPhi_%7Bj%2Ck%7D$ ,? 其中系數(shù)為 $a_k%5E%7B(j)%7D%3D%5Clangle%20f%2C%5CPhi_%7Bj%2Ck%7D%5Crangle$ .

2) 分解:? 由? $V_%7Bj%7D%3DV_%7Bj-1%7D%5Coplus%20W_%7Bj-1%7D$ ?把 f 的 j 級近似分解為 f 的 j-1 級近似和 f 的 j-1?級頻率:? $f_j%3D%5Csum_%7Bl%5Cin%5Cmathbb%20Z%7Da_l%5E%7B(j-1)%7D%5CPhi_%7Bj-1%2Cl%7D%2B%5Csum_%7Bl%5Cin%5Cmathbb%20Z%7Db_l%5E%7B(j-1)%7D%5Cphi_%7Bj-1%2C%20l%7D$ ,? 其中系數(shù)由 $a_l%5E%7B(j-1)%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%202%7D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7D%5Coverline%7Bp_%7Bk-2l%7D%7Da_k%5E%7B(j)%7D$ ?和 $b_l%5E%7B(j-1)%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%202%7D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7D(-1)%5Ekp_%7B1-k-2l%7Da_k%5E%7B(j)%7D$ ?給出.

3) 自定義操作:? 濾波或者信號壓縮.

4) 重構(gòu):? 即分解的逆操作,? 由? $a_k%5E%7B(j%2B1)%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%202%7D%5Csum_%7Bl%5Cin%5Cmathbb%20Z%7Dp_%7Bk-2l%7Da_l%5E%7B(j)%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%202%7D%5Csum_%7Bl%5Cin%5Cmathbb%20Z%7D(-1)%5Ek%5Coverline%7Bp_%7B1-k%2B2l%7D%7Db_l%5E%7B(j)%7D$ ?給出.

使用函數(shù)空間? $V_j%3D%5Cmathrm%7Bspan%7D%5Cleft(%5Cleft%5C%7B%5CPhi(2%5E%7Bj%7Dx-k)%3B%5C%3Bk%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%5Cright%5C%7D%5Cright)$ ?和 $W_j%3D%5Cmathrm%7Bspan%7D%5Cleft(%5Cleft%5C%7B%5Cphi(2%5E%7Bj%7Dx-k)%3B%5C%3Bk%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%5Cright%5C%7D%5Cright)$ ?時

1) 近似:?? $f_j%3D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7Da_k%5E%7B(j)%7D%5CPhi(2%5E%7Bj%7Dx-k)%3B%5C%3Ba_k%5E%7B(j)%7D%3D2%5Ej%5Clangle%20f%2C%5CPhi(2%5E%7Bj%7Dx-k)%5Crangle$ .

2) 分解:?? $f_j%3D%5Csum_%7Bl%5Cin%5Cmathbb%20Z%7Da_l%5E%7B(j-1)%7D%5CPhi(2%5E%7Bj-1%7Dx-l)%2B%5Csum_%7Bl%5Cin%5Cmathbb%20Z%7Db_l%5E%7B(j-1)%7D%5Cphi(2%5E%7Bj-1%7Dx-l)$ ;? $a_l%5E%7B(j-1)%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7D%5Coverline%7Bp_%7Bk-2l%7D%7Da_k%5E%7B(j)%7D$ ,?? $b_l%5E%7B(j-1)%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7D(-1)%5Ekp_%7B1-k%2B2l%7Da_k%5E%7B(j)%7D$ .

4) 重構(gòu):?? $a_k%5E%7B(j%2B1)%7D%3D%5Csum_%7Bl%5Cin%5Cmathbb%20Z%7Dp_%7Bk-2l%7Da_l%5E%7B(j)%7D%2B%5Csum_%7Bl%5Cin%5Cmathbb%20Z%7D(-1)%5Ek%5Coverline%7Bp_%7B1-k%2B2l%7D%7Db_l%5E%7B(j)%7D$ .

當(dāng)不考慮歸一化因子時,? 重構(gòu)上的 1/√2 可以合并至分解上,? 從而略去了計(jì)算 1/√2 的成本,? 近似步驟也是如此.? 所以盡管下面的函數(shù)空間不是歸一化的,? 但是會更加通用.

信號近似

信號 f 的 j 級近似為? $f_j%3D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7Da_k%5E%7B(j)%7D%5CPhi(2%5Ejx-k)$ ,? 其中? $a_k%5E%7B(j)%7D%3D2%5E%7Bj%7D%5Cint_%5Cmathbb%20Rf(x)%5Coverline%7B%5CPhi(2%5Ejx-k)%7Ddx$ .? 當(dāng) Φ 是緊支撐的,? 讓? $%5Cmathrm%7Bsupp%7D(%5CPhi(x))%5Csubseteq%20%5B-M%2CM%5D$ ,? 那么上式變?yōu)? $2%5E%7Bj%7D%5Cint_%7B2%5E%7B-j%7D(k-M)%7D%5E%7B2%5E%7B-j%7D(k%2BM)%7Df(x)%5Coverline%7B%5CPhi(2%5Ejx-k)%7Ddx$ ,? 使用 2??(x+k)?替換 x 得到 $%5Cint_%7B-M%7D%5EMf(2%5E%7B-j%7D(x%2Bk))%5Coverline%7B%5CPhi(x)%7Ddx$ .? 當(dāng) j 很大時,? 對于信號 f 可以在 2??k 附近看作一階近似,? 于是得到 $a_k%5E%7B(j)%7D%5Capprox%20f(2%5E%7B-j%7Dk)%5Cint_%7B-M%7D%5EM%5Coverline%7B%5CPhi(x)%7Ddx%3Df(2%5E%7B-j%7Dk)%5Cint_%7B%5Cmathbb%20R%7D%5Coverline%7B%5CPhi(x)%7Ddx$ .? 可以看到在實(shí)際運(yùn)用時,? 確保 $%5Cint_%5Cmathbb%20R%5CPhi(x)dx%5Cneq0$ 是很有必要的,? 當(dāng)有? $%5Cint_%5Cmathbb%20R%5CPhi(x)dx%3Dm$ 時,? f 的 j 級近似可以由? $f_j%5Capprox%20%5Coverline%20m%5Csum_%7Bk%5Cin%20%5Cmathbb%20Z%7Df(2%5E%7B-j%7Dk)%5CPhi(2%5Ejx-k)$ ?給出.

分解和重構(gòu)的卷積形式

兩個離散數(shù)列 x = (..., x?, x?, ...) 和 y = (..., y?, y?, ...) 之間的卷積為? $(x%5Cast%20y)_l%3D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7Dx_ky_%7Bl-k%7D$ .? 又定義離散數(shù)列的下采樣算符與上采樣算符:?? $(Dx)_l%3Dx_%7B2l%7D$ ,?? $(Ux)_l%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx_%7Bl%2F2%7D%3B%5C%3Bl%5Cmathrm%7B%5C%3Bis%5C%3Beven%7D%5C%5C0%3B%5C%3Bl%5Cmathrm%7B%5C%3Bis%5C%3Bodd%7D%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ ,? 其中下采樣是通過舍棄數(shù)列奇數(shù)部分得到,? 上采樣是在兩個數(shù)值間插入 0 得到.

于是? $a_l%5E%7B(j-1)%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7D%5Coverline%7Bp_%7Bk-2l%7D%7Da_k%5E%7B(j)%7D$ ,? 使用 l/2 取代 l,? 然后使用 l-k 取代 k 得到 $%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Coverline%7Bp_%7B-k%7D%7Da_%7Bl-k%7D%5E%7B(j)%7D$ ,? 于是記? $A_k%3D0.5%5Coverline%7Bp_%7B-k%7D%7D$ ,? 那么則有 $a%5E%7B(j-1)%7D%3DD(A%5Cast%20a%5E%7B(j)%7D)$ ,? 類似地,? 記 $B_k%3D0.5(-1)%5Ekp_%7Bk%2B1%7D$ ,? 則有 $b%5E%7B(j-1)%7D%3DD(B%5Cast%20a%5E%7B(j)%7D)$ ,? 即得到分解的卷積形式.

重構(gòu)的系數(shù)推導(dǎo)為? $a_k%5E%7B(j%2B1)%7D%3D%5Csum_%7Bl%5Cin%5Cmathbb%20Z%7Dp_%7Bk-2l%7Da_l%5E%7B(j)%7D%2B%5Csum_%7Bl%5Cin%5Cmathbb%20Z%7D(-1)%5E%7Bk-2l%7D%5Coverline%7Bp_%7B1-k%2B2l%7D%7Db_l%5E%7B(j)%7D$ ?[注意 -1 的指數(shù)做了一點(diǎn)手腳],? 在累加式任意兩項(xiàng)之間插入 +0 得? $%5Csum_%7Bl%5Cin%5Cmathbb%20Z%7Dp_%7Bk-l%7D(Ua%5E%7B(j)%7D)_l%2B%5Csum_%7Bl%5Cin%5Cmathbb%20Z%7D(-1)%5E%7Bk-l%7D%5Coverline%7Bp_%7B1-k%2Bl%7D%7D(Ub%5E%7B(j)%7D)_l$ ,? 使用 k-l 取代 l 得 $%5Csum_%7Bl%5Cin%5Cmathbb%20Z%7Dp_l(Ua%5E%7B(j)%7D)_%7Bk-l%7D%2B%5Csum_%7Bl%5Cin%5Cmathbb%20Z%7D(-1)%5El%5Coverline%7Bp_%7B1-l%7D%7D(Ub%5E%7B(j)%7D)_%7Bk-l%7D$ .? 于是記 $%5Ctilde%7BA%7D_l%3Dp_l$ ?和 $%5Ctilde%7BB%7D_l%3D(-1)%5El%5Coverline%7Bp_%7B1-l%7D%7D$ ,? 那么重構(gòu)的卷積形式為 $a%5E%7B(j%2B1)%7D%3D%5Ctilde%7BA%7D%5Cast(Ua%5E%7B(j)%7D)%2B%5Ctilde%7BB%7D%5Cast(Ub%5E%7B(j)%7D)$ .

*:? 此處定義是結(jié)合[英文 wiki](https://en.wikipedia.org/wiki/Multiresolution_analysis) 推導(dǎo)的,? 與中文 wiki 和自己擁有的教材上的定義有出入,? 這是因?yàn)橹形馁Y料都有條件? $%5Coverline%7B%5Cbigcup_%7Bj%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7DV_j%7D%3DL%5E2(%5Cmathbb%7BR%7D)$ ,? 這與條件 $V_j%5Csubset%20L%5E2(%5Cmathbb%7BR%7D)$ ?沖突,? 所以確定使用英文 wiki 的起碼沒有錯誤的定義.

**:? 因?yàn)榘?b 的專欄實(shí)在不適合做長數(shù)學(xué)算式,? 所以這里直接貼圖片了.? 需要注意的是,? 如果尺度函數(shù)在實(shí)數(shù)域上的積分等于 0,? 就會導(dǎo)致下面第 2 步不成立,? 從而不能得到最后的結(jié)論.

***:? 下面給出小波函數(shù)的證明,? 因?yàn)闀褂玫缴厦?** 的過程,? 所以相應(yīng)的地方會標(biāo)藍(lán).

下一篇就是介紹如何從傅里葉變換和尺度關(guān)系式構(gòu)造尺度函數(shù)了

日常推澀圖群: [274767696]

封面pid:?38430107

標(biāo)簽：