高斯求和公式，就是人人都聽過的高斯求和1～100的故事里所用的公式，曾在小學奧數(shù)中屢次出現(xiàn)：

文字表達式：（首項+末項）x項數(shù)÷2

如1～100的和：（1+100）x 100÷2＝5050，簡單粗暴

然而到了初中，這個公式還那么實用嗎？歡迎踏入初中數(shù)學競賽的第一扇門：長式計算

先來看題

如果用高斯求和公式，項數(shù)難算先不說，答案就不對，因為高斯求和公式是有條件的，這種顯然不符合高斯求和公式的要求。那這種長式計算如何解決呢？

1.找規(guī)律法，這是長式計算出現(xiàn)在選擇和填空題的最快方法，方法特別簡單，就是截取式子的一部分觀察規(guī)律

如此題，先看1/2+1/4，計算得3/4

再看1/2+1/4+1/8，計算得7/8

很容易就能發(fā)現(xiàn)規(guī)律：加到1/n，答案就是（n-1）/n［當然只對本題而言］

所以答案就是4095/4096

2.補充法，這是標準做法

喜歡玩2048的童鞋一定明白2+2+4+8+16+32一路推上去的快感，這道題也蘊含了同樣的道理，我們也可以讓式子加上一個1/4096，1/4096+1/4096＝1/2048，1/2048再加上前面的1/2048，又得到1/1024......無限接力下去，直到最后1/2+1/2＝1，但是我們一開始多加了一個1/4096，所以要把這個給減去，所以答案是

1-1/4096＝4095/4096

當然，這道題其實是我能找到的最簡單的題目了，當年我也輕松地做出來了

當年虐我的那道競賽題是這個

當時我嘗試把四個部分的規(guī)律找出來計算，然而規(guī)律并不好找，這也是我把長式計算放到代數(shù)1后面講的原因

秘技：3.代數(shù)法!

在面對長式計算時，我們可以把相同的部分用一個代數(shù)代替，來簡化算式

這里的算式中1+1/2+1/3+1/4.....+1/2015最常見，所以我們設這個為S

原式可以簡化為：［（S-1）+1/2016］S-（S+1/2016）（S-1）

展開：S2-S+（1/2016）S-S2-（1/2016）S+S+1/2016

驚奇的發(fā)現(xiàn)S互相抵消了

答案就是1/2016，同時也證明了這道題的S部分無論是什么鬼算式，答案都是1/2016

最后再來看一題

這道題很簡單，我看到解析的時候，雖然解析的做法很易懂，但是太麻煩了，它用的是：

奧義!兩式交叉法!

就是將每個括號內(nèi)內(nèi)的式子倒過來

使S1＝1/2+（1/3+2/3）+（1/4+2/4+3/4）+.....+（1/50+2/50+....+49/50）

S2＝1/2+（2/3+1/3）+（3/4+2/4+1/4）+...+（49/50+...+1/50）

上下兩式一加，得2S＝1225，S＝612.5

然而這道題還是可以用找規(guī)律+高斯法

原式完全可以化成0.5+1+1.5+2+2.5....

顯然n所在的括號總值為0.5（n-1）

因此原式一直加到24.5，用高斯公式

（0.5+24.5）·49·0.5＝612.5

所以說長式計算的方法從來沒有唯一，全看自己啊，不知不覺寫了1200字了，大家再見。。。

啊呀才發(fā)現(xiàn)原來符號也算字數(shù)的，怪不得1200字這么短。。。