預(yù)備知識(shí)：

1. 數(shù)列l(wèi)im n^（1/n）=1，lim a^（1/n）=1，a>0；

2. 收斂數(shù)列{an}極限為a，則an=a+ɑn，其中{ɑn}為一個(gè)無(wú)窮??；

3. 收斂數(shù)列必有界；

4. 有限個(gè)無(wú)窮小的和還是無(wú)窮??；

5. 有界數(shù)列乘以無(wú)窮小的積還是無(wú)窮??；

6. 設(shè)lim an=a，則lim（a1+a2+……+an）/n=a；

7. 設(shè)lim an=a，lim（a1+2a2+……+nan）/（1+2+……+n）=a；

8. 設(shè)lim（a1+a2+……+an）=A，lim（a1+2a2+……+nan）/n=0；

9. 設(shè)lim（a1+a2+……+an）=A，lim（n！a1*a2*……*an）^（1/n）=0.

10. 定比分點(diǎn)：在線段P1P2上求一點(diǎn)P，使得由P分成的兩個(gè)有向線段P1P與PP2的量的比為定數(shù)λ（λ不為-1），即P1P/PP2=λ，則P為線段P1P2以λ為定比的分點(diǎn)，且OP=（OP1+λOP2）/（1+λ）——定比分點(diǎn)公式。
    

11. 矩陣乘法運(yùn)算律——

    a.結(jié)合律：（AB）C=A（BC）

    b.左分配律：A（B+C）=AB+AC

    c.右分配律：（B+C）D=BD+CD

    d.若A是n級(jí)矩陣，單位矩陣為E，則有：AE=EA=A

    e.矩陣乘法與數(shù)量乘法滿足：k（AB）=（kA）B=A（kB）

    f.可逆方陣：設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=E，則稱B為A的逆方陣，而稱A為可逆方陣。

12. 矩陣A可逆的充要條件：|A|不為0——|A|為矩陣A對(duì)應(yīng)的行列式。

13. 矩陣對(duì)應(yīng)行列式滿足：|AB|=|A||B|；

14. 設(shè)A與B都是數(shù)域K上的n級(jí)矩陣，如果AB=E，那么A與B都是可逆矩陣，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。

15. A的伴隨矩陣A*滿足：A*=|A|A^（-1）

16. E（i，j）為單位矩陣i，j行對(duì)調(diào)——
    

    方陣A可逆，A對(duì)調(diào)i，j行成B矩陣：B=E（i，j）A

    方陣A可逆，A對(duì)調(diào)i，j列成B矩陣：B=AE（i，j）

17. 矩陣的轉(zhuǎn)置：把n級(jí)矩陣A的行與列互換得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置，記作A'；

18. 定義：設(shè)A為方陣，若A'=A，則稱A為對(duì)稱矩陣，若A'=-A，則稱A為反對(duì)稱矩陣。

19. 矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算律——

    （A+B）'=A'+B'

    （kA）'=kA'

    （AB）'=B'A'

參考資料：

1. 《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練》（周民強(qiáng) 編著）

2. 《空間解析幾何》（高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著）

3. 《高等代數(shù)習(xí)題集》（楊子胥 編）

數(shù)學(xué)分析——

例題（來(lái)自《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練（周民強(qiáng)?編著）》）——

設(shè)有正數(shù)列{an}.若lim an+1/an=a，則lim（an）^（1/n）=a.

證：設(shè)數(shù)列bn=?an/an-1，b1=a1/1，lim bn=a，

則lim（b1+b2+……+bn）/n=a，an=（?an/an-1）（?an-1/an-2）……（a1/1）=bn*bn-1*……*b1——

a.若a=0，

1. 0<=（an）^（1/n）=（bn*bn-1*……*b1）^（1/n）<=（bn+bn-1+……+b1）/n；

2. lim（bn+bn-1+……+b1）/n=a=0，則lim（an）^（1/n）=a=0.

b.若a>0，

1. a=1/（1/a）

   =lim 1/（1/bn）=lim 1/{[（1/bn）+（1/bn-1）+……+（1/b1）]/n}

   <=lim?（bn*bn-1*……*b1）^（1/n）

   <=lim（bn+bn-1+……+b1）/n=a，證畢。

解析幾何——

例題（來(lái)自《空間解析幾何（高紅鑄 王敬蹇 傅若男?編著）》）——

三角形各邊依次以同比分之，則三個(gè)分點(diǎn)所成的三角形必與原三角形有相同的重心：

即已知三角形ABC三邊AB，BC，CA上個(gè)一點(diǎn)L，M，N，有AL/LB=BM/MC=CN/NA，且三角形ABC的重心為G，三角形LMN的重心為W，試證G與W重合。

證：由三角形重心公式易知G=（A+B+C）/3，W=（L+M+N）/3，現(xiàn)證明（A+B+C）=（L+M+N）——

1. 記AL/LB=BM/MC=CN/NA=k，由定比分點(diǎn)公式：L=（A+kB）/（1+k），M=（B+kC）/（1+k），N=（C+kA）/（1+k）；

2. L+M+N=（A+kB）/（1+k）+（B+kC）/（1+k）+（C+kA）/（1+k）=A+B+C，證畢。

先到這里！