數(shù)值求解波動方程 [2]

2022-08-22 14:13 作者:nyasyamorina 0人讀過 | 我要投稿

周期邊界條件

????????上一篇忘記說另外一個常用的邊界條件了,? 就是循環(huán)邊界.? 它對應著連續(xù)函數(shù)里的周期條件:?? $%5Cforall%20x%3A%5C%3Af(x%2BL)%3Df(x)$ ,? 其中 $L$ 是周期.? 在使用有限差分法截斷計算區(qū)間時,? 邊界外部的點重新映射到計算區(qū)間內,? 即? $f_%7B0%2Ct%7D%3Df_%7Bl%2Ct%7D$ ?和 $f_%7Bl%2B1%2Ct%7D%3Df_%7B1%2Ct%7D$ ?(julia 索引).? 一般來說,? 循環(huán)邊界必定成對出現(xiàn) (即波可以從兩邊穿過邊界到達另一邊),? 但也可以實現(xiàn)波從一邊穿過邊界但另一邊不能穿過.? 下面是循環(huán)邊界的實現(xiàn)例子:

數(shù)值求解的兩個問題

????????在上圖可以看到數(shù)值求解的一個問題.? 上圖使用的相速度? $c%3D1$ ,? 并且初值條件為 $u(x%2C0)%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D1%2B%5Ccos(20%5Cpi%20x)%2C%5C%2C%7Cx%7C%3C0.05%5C%5C0%2C%5C%2C%7Cx%7C%5Cgeq0.05%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ 和? $%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20t%7D(x%2C0)%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D20%5Cpi%5Csin(20%5Cpi%20x)%2C%5C%2C%7Cx%7C%3C0.05%5C%5C0%2C%5C%2C%7Cx%7C%5Cgeq0.05%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ ,? 利用已知的一維波動方程的數(shù)學解 (見《數(shù)理方程》),? 可以得出在無限空間里的特解為? $u(x%2Ct)%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D1%2B%5Ccos(20%5Cpi(x-t))%2C%5C%2C%7Cx-t%7C%3C0.05%5C%5C0%2C%5C%2C%7Cx-t%7C%5Cgeq0.05%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ ,? 即這是單個向右傳播的波包.

????????觀察上圖,? 除了一個向右傳播的波包,? 還有一個向左傳播的比較毛糙的波包.? 這是由離散化造成的,? 由連續(xù)的初值條件離散化得到求解系統(tǒng)的初狀態(tài)時就已經損失了一部分信息了.? 通過增加網(wǎng)格精度 (即減少 $%5CDelta%20x$ ) 可以緩解這個情況,? 但這意味著? $%5CDelta%20t$ ?也要一并減少以確保不會出現(xiàn)空間數(shù)值不穩(wěn)定,? 也就是計算成本會快速上升.? 下圖是使用兩倍網(wǎng)格精度求相同條件的解:

????????使用數(shù)值求解還需要注意另外一樣東西:??時間數(shù)值不穩(wěn)定和高頻分量.? 在部分情況下,??不可以選擇參數(shù)使得數(shù)值穩(wěn)定,? 那么這時候寧愿時間數(shù)值不穩(wěn)定也不要空間數(shù)值不穩(wěn)定.

????????繼續(xù)以上面循環(huán)邊界的情況為例,? 比較波包寬度為 0.1 和 0.04 兩種情況,? 可以看到波包寬度為 0.04 的情況彌散現(xiàn)象更嚴重.??所以需要選擇合適的精度以處理情景中的高頻分量.

????????但就算選擇參數(shù)恰好是數(shù)值穩(wěn)定的,? 也不代表就能很好地處理高頻分量.? 如下圖所示,? 當選擇? $%5CDelta%20x%3D0.003$ ?時,? 波包寬度為 0.04 的情況仍然會數(shù)值不穩(wěn)定.

非均勻介質

????????在研究波的傳播時肯定少不了對非均勻介質的研究.? 在原波動方程里的相速度? $c$ ?為常數(shù).? 當在非均勻介質里,? 相速度與空間位置有關,? 表示為 $c(x)$ ,? 那么相應的波動方程為 $%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%20u%7D%7B%5Cpartial%20t%5E2%7D%3Dc(x)%5E2%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2u%7D%7B%5Cpartial%20x%5E2%7D$ .? 形式上與原波動方程相同,? 但因為相速度與位置有關,? 所以離散化后得到的系數(shù)也與位置有關,? 那么離散化后得到 $u_%7Bx%2Ct%2B1%7D%3D%5Cfrac%7Bc_x%5E2%5CDelta%20t%5E2%7D%7B%5CDelta%20x%5E2%7D(u_%7Bx-1%2Ct%7D%2Bu_%7Bx%2B1%2Ct%7D)%2B2%5Cleft(1-%5Cfrac%7Bc_x%5E2%5CDelta%20t%5E2%7D%7B%5CDelta%20x%5E2%7D%5Cright)u_%7Bx%2Ct%7D-u_%7Bx%2Ct-1%7D$ .

????????關于連續(xù)波動方程的反射/透射系數(shù)可以見專欄底部.

????????需要注意應該避免在任意位置上出現(xiàn)空間數(shù)值不穩(wěn)定,? 亦即? $%5Cforall%20x%3A%20%5Cfrac%7Bc(x)%5E2%5CDelta%20t%5E2%7D%7B%5CDelta%20x%5E2%7D%5Cleq1$ .? 最后,? 這種模型實現(xiàn)不適用于連續(xù)變化的介質,? 當連續(xù)變化介質的相速度會被離散化為多層間斷的相速度.? 波會在間斷的相速度處出現(xiàn)反射波 (上圖所示),? 但準確的連續(xù)變化介質是沒有反射波的.? 下圖是一個連續(xù)變化介質的例子,? 可以看到反射波隨著時間越來越大,? 這是極其錯誤的.

非均勻介質的一小點數(shù)學

????????因為《數(shù)理方程》里沒有提到非均勻介質,? 所以這里稍微小提一下.

????????假設無限空間里有兩種介質在 $x_0$ 處為界,? 相速度由? $c(x)%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dc_1%2C%5C%2Cx%3Cx_0%5C%5Cc_2%2C%5C%2Cx%3Ex_0%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ ?給出.? 其中? $c_1%2C%5C%2Cc_2$ ?為常數(shù).? 假設有波在無窮遠處從左往右傳播,? 那么有? $u%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Du_i%2Bu_r%2C%5C%2Cx%3Cx_0%5C%5Cu_t%2C%5C%2Cx%3Ex_0%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ , 如下:

????????原波動方程的特解為? $e%5E%7Bi(kx-%5Comega%20t)%7D$ ,? 其中 $%5Comega$ ?為頻率,? $k$ ?為波數(shù) (wave number),? 并且有關系 $%5Comega%3Dc%7Ck%7C$ .? 當 $k%3E0$ 時,? 解表示為從左往右傳播的波,? 反之為從右往左,? 那么? $u$ 表示為:

$u_i%3De%5E%7Bi(%5Comega%20x%2Fc_1-%5Comega%20t)%7D%3B%5C%3Bu_r%3DAe%5E%7Bi(-%5Comega%20x%2Fc_1-%5Comega%20t)%7D%3B%5C%3Bu_t%3DBe%5E%7Bi(%5Comega%20x%2Fc_2-%5Comega%20t)%7D$

其中? $A%2C%20B$ ?為待定系數(shù).

????????在邊界上,? 應有? $%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20x_0%5E-%7Du(x%2Ct)%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20x_0%5E%2B%7Du(x%2Ct)$ ?和 $%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20x_0%5E-%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7D(x%2Ct)%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20x_0%5E%2B%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7D(x%2Ct)$ ,? 即

$e%5E%7Bi(%5Comega%20x_0%2Fc_1-%5Comega%20t)%7D%2BAe%5E%7Bi(-%5Comega%20x_0%2Fc_1-%5Comega%20t)%7D%3DBe%5E%7Bi(%5Comega%20x_0%2Fc_2-%5Comega%20t)%7D$

$%5Cfrac%7B%5Comega%7D%7Bc_1%7De%5E%7Bi(%5Comega%20x_0%2Fc_1-%5Comega%20t)%7D-A%5Cfrac%7B%5Comega%7D%7Bc_1%7De%5E%7Bi(-%5Comega%20x_0%2Fc_1-%5Comega%20t)%7D%3DB%5Cfrac%7B%5Comega%7D%7Bc_2%7De%5E%7Bi(%5Comega%20x_0%2Fc_2-%5Comega%20t)%7D$

????????可以解得? $A%3D%5Cfrac%7Bc_2-c_1%7D%7Bc_2%2Bc_1%7D%5Calpha$ ?和 $B%3D%5Cfrac%7B2c_2%7D%7Bc_2%2Bc_1%7D%5Cbeta$ ,? 其中 $%5Calpha%2C%5Cbeta$ ?為相位部分,? 不太重要.? 可以由上面的示例進行驗證: