02｜勾股定理：為什么在西方叫畢達(dá)哥拉斯定理？ - 得到APP (dedao.cn)

數(shù)學(xué)和自然科學(xué)不同，它不相信測(cè)量，不是建立在實(shí)證基礎(chǔ)之上，而是建立在邏輯基礎(chǔ)之上的，這樣整個(gè)數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)才得以穩(wěn)固。

畢達(dá)哥拉斯定理

中國(guó)

：據(jù)漢朝的數(shù)學(xué)書《周髀算經(jīng)》的記載，早在公元前1000年的時(shí)候，周公和商高這兩個(gè)人就談到了“勾三股四弦五”，于是稱之為勾股定理或者商高定理。

如果再往前推，

美索不達(dá)米亞人

早在公元前18世紀(jì)左右就知道很多組的勾股數(shù)（包括勾三股四弦五），而且留下了實(shí)物證據(jù)。

古埃及人

在建造大金字塔時(shí)就已經(jīng)按照勾股數(shù)在設(shè)計(jì)墓室的尺寸了。

但是以上古代文明不過(guò)是舉出了一些

特例

而已，甚至沒有提出

假說(shuō)

，只有

古希臘人

完成了數(shù)學(xué)

證明

。

數(shù)學(xué)和自然科學(xué)的三個(gè)本質(zhì)差別

測(cè)量和邏輯推理的區(qū)別

：無(wú)論中國(guó)還是古埃及人都只是在進(jìn)行測(cè)量，沒有總結(jié)出一般性的規(guī)律，而測(cè)量與觀察出的經(jīng)驗(yàn)結(jié)果是可能有誤差的，但推理不會(huì)。

數(shù)學(xué)上的結(jié)論只能從定義和公理出發(fā)，使用邏輯嚴(yán)格證明得到，不能通過(guò)經(jīng)驗(yàn)總結(jié)出來(lái)

。

用事實(shí)證實(shí)和用邏輯證明的區(qū)別

：在自然科學(xué)中，一個(gè)假說(shuō)通過(guò)實(shí)驗(yàn)證實(shí)，就變成了定律，但是，在數(shù)學(xué)上，用實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證一個(gè)假說(shuō)（猜想）是不被允許的，

數(shù)學(xué)理論必須要證明，保證沒有例外

?。比如波義耳和馬略特的壓強(qiáng)定理，人們真的發(fā)現(xiàn)當(dāng)壓強(qiáng)特別大時(shí)，這個(gè)定律就不管用了。但是沒有關(guān)系，在大多數(shù)條件下，這個(gè)定理依然成立。

科學(xué)結(jié)論相對(duì)性和數(shù)學(xué)結(jié)論絕對(duì)性的區(qū)別

：因?yàn)閿?shù)學(xué)上的每一個(gè)定理都是一塊基石，后人需要在此基礎(chǔ)上往前走，試圖建立一塊新的基石，然后數(shù)學(xué)的大廈就一點(diǎn)點(diǎn)建成了。在這個(gè)過(guò)程中不能有絲毫的缺陷，一旦有，整個(gè)數(shù)學(xué)大廈就轟然倒塌了。

數(shù)學(xué)定理確立的過(guò)程

大致是這樣的，一開始可能只是大家注意到幾個(gè)特例，然后發(fā)現(xiàn)很多例證提出猜想，猜想經(jīng)過(guò)證明就成為了定理，定理會(huì)有推論，在此基礎(chǔ)上，會(huì)有新的定理和應(yīng)用。

03｜數(shù)學(xué)的預(yù)見性：如何用推理走出認(rèn)知盲區(qū)？ - 得到APP (dedao.cn)

世界上有很多我們不能依靠直覺和生活經(jīng)驗(yàn)理解的事物，但是我們可以從數(shù)學(xué)出發(fā)，經(jīng)過(guò)一步步推導(dǎo)得到正確的結(jié)論。

從畢達(dá)哥拉斯定理到無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)

畢達(dá)哥拉斯堅(jiān)信世界的本源是數(shù)字，而數(shù)字必須是完美的。整數(shù)很完美，而且分?jǐn)?shù)的分子分母也都是整數(shù)（有理數(shù)）

但畢達(dá)哥拉斯定理被證明之后，就發(fā)現(xiàn)了問題。假設(shè)某一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)都是1，那么斜邊是無(wú)法用

有理數(shù)

（A/B）表示。

無(wú)理數(shù)

的危機(jī)也帶來(lái)了數(shù)學(xué)思想一次大的飛躍，它告訴人們，人類在對(duì)數(shù)字的認(rèn)識(shí)上還具有局限性，需要有新的思想和理論來(lái)解釋。

據(jù)說(shuō)畢達(dá)哥拉斯的學(xué)生希帕索斯最初發(fā)現(xiàn)了上述矛盾，于是就去和他的老師講了。而畢達(dá)哥拉斯是個(gè)把數(shù)學(xué)看成宗教的人，出現(xiàn)無(wú)限的不循環(huán)小數(shù)在畢達(dá)哥拉斯看來(lái)是數(shù)學(xué)的漏洞，但他又無(wú)法把這件事解釋圓滿，于是畢達(dá)哥拉斯決定把這位學(xué)生扔到海里殺死，好把這件事隱瞞下來(lái)。

數(shù)學(xué)的預(yù)見性

：人類在科技?xì)v史上，很多重大的發(fā)明發(fā)現(xiàn)恰恰來(lái)自于上述的矛盾。

首先，在遇到數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)的矛盾時(shí)，我們需要仔細(xì)檢查推理的過(guò)程是否有疏漏，這種情況占大多數(shù)。在排除了推導(dǎo)的錯(cuò)誤后，接下來(lái)，兩種情況必居其一：

要么，我們的眼睛和

我們的認(rèn)知欺騙了我們

，就如同我們以為所有的數(shù)都是有理數(shù)，但其實(shí)不是。這是常有的事。

要么，

最初的假設(shè)錯(cuò)了或者說(shuō)不夠好

。這種事情在歷史上偶爾發(fā)生過(guò)，但是很少，我們后面在介紹非歐幾何時(shí)會(huì)仔細(xì)講到這種情況。這種情況我們通常不需要考慮。

天體物理學(xué)家亞當(dāng)·里斯（Adam Riess）等人通過(guò)計(jì)算，發(fā)現(xiàn)宇宙的質(zhì)量是負(fù)數(shù)，這怎么可能？難道是數(shù)學(xué)錯(cuò)了，還是我們對(duì)宇宙的理解完全錯(cuò)了？里斯在做了仔細(xì)的檢查后首先排除了推理有誤的可能性，然后他們不得不承認(rèn)數(shù)學(xué)的結(jié)論是對(duì)的，出錯(cuò)的是我們眼睛（包括觀測(cè)的儀器）。于是，他們認(rèn)定宇宙中一定存在我們看不見，更不了解的東西，那些就是所謂的

暗能量

，亞當(dāng)·里斯等人后來(lái)因此獲得了諾貝爾獎(jiǎng)。

當(dāng)然，可能有讀者朋友會(huì)想，那些預(yù)見性可能和我們相去甚遠(yuǎn)，其實(shí)不然，后面我們會(huì)舉一些和大家相關(guān)的例子，比如如何識(shí)破

龐氏騙局

，為什么不能

做空股票

，等等。

該筆記已整合入個(gè)人知識(shí)體系，詳見 [筆記1](http://wangc.site/cbrain/share?nodeid=b6149f8e3125090b)