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最近我們被客戶要求撰寫(xiě)關(guān)于Copula的研究報(bào)告，包括一些圖形和統(tǒng)計(jì)輸出。

在這項(xiàng)工作中，我通過(guò)創(chuàng)建一個(gè)包含四只基金的模型來(lái)探索 copula，這些基金跟蹤股票、債券、美元和商品的市場(chǎng)指數(shù)

摘要

然后，我使用該模型生成模擬值，并使用實(shí)際收益和模擬收益來(lái)測(cè)試模型投資組合的性能，以計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(VaR)與期望損失(ES)。

一、介紹與概述

Copulas 對(duì)多元分布中變量之間的相關(guān)性進(jìn)行建模。它們?cè)试S將多變量依賴關(guān)系與單變量邊緣分布相結(jié)合，允許我們對(duì)構(gòu)成多變量數(shù)據(jù)的每個(gè)變量使用許多單變量模型。Copulas 在 2000 年代開(kāi)始流行。根據(jù) Salmon (2009) 的說(shuō)法，Li (2000) 最近提出的Copulas應(yīng)用之一是 2008 年開(kāi)始的金融危機(jī)。我們將使用 copulas 來(lái)模擬四個(gè) ETF 基金的行為：IVV，跟蹤標(biāo)準(zhǔn)普爾 500 指數(shù)；TLT，跟蹤長(zhǎng)期國(guó)債；UUP，追蹤外匯指數(shù)；以及商品的 DBC

二、理論背景

copula 是一個(gè)多變量 CDF，其邊緣分布都是 Uniform (0,1)。假設(shè) Y 有 d 維，并且有一個(gè)多元?

?和邊緣?

。很容易證明，每個(gè)

?都是 Uniform(0,1)。因此，

?的 CDF 根據(jù)定義是一個(gè) copula。使用 Sklar (1973) 的定理，然后我們可以將我們的隨機(jī)變量 Y 分解為一個(gè) copula CY ，它包含關(guān)于我們的變量 Y 之間相互依賴的信息，以及單變量邊緣 CDFs FY ，它包含關(guān)于每個(gè)變量的所有信息單變量邊緣分布。對(duì)于 d 維，我們有：

并使每個(gè)

，我們有：

如果我們對(duì)等式（2）進(jìn)行微分，我們會(huì)發(fā)現(xiàn) Y 的密度為：

方程 (3) 中的結(jié)果允許我們創(chuàng)建多變量模型，這些模型考慮了變量的相互依賴性（方程的第一部分）和每個(gè)變量的分布（方程的第二部分）。我們可以使用 copula 和邊緣部分的參數(shù)版本來(lái)創(chuàng)建可用于運(yùn)行測(cè)試和執(zhí)行預(yù)測(cè)的模型。在接下來(lái)的幾節(jié)中，我們將使用用于統(tǒng)計(jì)計(jì)算的 R 語(yǔ)言將高斯和 t-copula 擬合到介紹中描述的 ETF 的對(duì)數(shù)收益率。有了 copula 和邊緣，我們將使用模型來(lái)確定投資的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值 (VaR) 和預(yù)期損失 (ES)。

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R語(yǔ)言多元Copula GARCH 模型時(shí)間序列預(yù)測(cè)

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三、算法實(shí)現(xiàn)與開(kāi)發(fā)

像往常一樣，我們從讀取文件開(kāi)始。圖 1 顯示了價(jià)格圖：注意 IVV 和 DBC（股票和商品）之間的關(guān)系以及 TLT 和 UUP（元和國(guó)債）之間的關(guān)系。

#?將?ETF?讀入read.zoo("F.csv")#?獲取最近501天tf[(T-500):T,]#?繪制價(jià)格pdf("價(jià)格.pdf")

在這種情況下，我們計(jì)算對(duì)數(shù)收益率。圖 2 顯示了收益圖。

#?計(jì)算對(duì)數(shù)收益le?<-?lag(e，-1log(ef)?-?log(lef)?)?*?100

然后我們做一個(gè)配對(duì)圖來(lái)確定結(jié)果是否相關(guān)，例如，正如期望的那樣，IVV 和 DBC 之間存在非常高的相關(guān)性。圖 3 顯示了配對(duì)圖。然后我們獲得邊距的參數(shù)，擬合每個(gè)變量的分布。結(jié)果見(jiàn)表一

#?擬合分布?fitdr##?得到結(jié)果矩陣#?將?AIC?函數(shù)應(yīng)用于第一項(xiàng)（值）#?params?列表的第四項(xiàng)?(loglik)AIC(saply?(saply(prms,?4))#?params?列表的第一項(xiàng)（估計(jì)）sapply?(sapply(pams,3))

圖 4 顯示了擬合分布與來(lái)自變量的真實(shí)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較的圖?，F(xiàn)在我們有了邊緣分布，我們需要找到模型的 copula。我們首先使用概率變換并獲得?

?中的每一個(gè)，我們知道它們是 Uniform(0,1)。這是通過(guò)以下代碼完成的：

#?現(xiàn)在我們需要均勻分布 IV?<-?pct(IVV,?a) rt?<-?cbind(uV?uL,?UP,?DC)

圖 5 顯示了均勻分布之間的相關(guān)性。通過(guò)均勻分布，我們可以看到哪種類型的參數(shù) copula 最適合。我們將擬合高斯 copula 和 t-copula，記錄它們的 AIC 并查看哪一個(gè)提供了最佳擬合。

圖 5：均勻分布之間的相關(guān)性

#?擬合高斯?copulafit.gaussian?<-?fitCopula?(ncp))#?記錄擬合的AICfit.aic?=?AIC(filik,###############################################?#############?現(xiàn)在是?t-copulafitCopula?(tcop,?url00))#?記錄擬合的AIC

AIC(fiik length(fite)

比較兩種擬合，如表 II 所示，我們發(fā)現(xiàn) t-copula 擬合最好，因此我們將根據(jù) t-copula 的參數(shù)創(chuàng)建一個(gè)模型。然后，我們使用該模型生成 10,000 個(gè)觀察結(jié)果，模擬我們模型的可能結(jié)果。我們的模擬模型與擬合模型之間的圖形比較可以在圖 6 中看到 - 模擬非常接近擬合模型。

tCopula(parun") cop.dist?<-?mvdc(copt, parast1)rmvdc(co00)

現(xiàn)在我們有了模擬的觀察結(jié)果，我們將使用參數(shù)方法計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值 (VaR) 和預(yù)期損失 (ES)。我們將假設(shè)一個(gè)投資組合（任意選擇）在 IVV 中投資 30%，在 TLT 中投資 15%，在 UUP 中投資 35%，在 DBC 中投資 20%。為了計(jì)算投資組合 w 的收益率 Rp，我們簡(jiǎn)單地使用矩陣代數(shù)將我們的模擬收益率 Rs 乘以權(quán)重，如 Rp = Rs × w。然后我們將 t 分布擬合到 Rp 并使用它來(lái)估計(jì) VaR 和 ES。對(duì)于 t 分布，VaR 和 ES 的公式為：

其中：

? S：倉(cāng)位大小

? F -1 ν：逆 CDF 函數(shù)

? fν：密度函數(shù) ? μ：平均值

? λ：形狀/尺度參數(shù)

? ν：自由度

? α：置信水平

R中公式的應(yīng)用實(shí)現(xiàn)如下。請(qǐng)注意，在代碼中，VaR 和 ES 被四舍五入到最接近的千位。結(jié)果在表III中。

#?計(jì)算模擬值的?VaR?和?ESfitdistr(re,?"t") es?<-?-m+lada*es1*es2

我們的最終任務(wù)是計(jì)算非參數(shù) ES 和 VaR，由以下公式給出：

其中：

? S：倉(cāng)位大小

? q?(α)：樣本收益率的分位數(shù)

? Ri：第 i 個(gè)樣本收益率

R 實(shí)現(xiàn)如下：

#?計(jì)算真實(shí)值的?VaR?和?ESret?<-?(rf?%*%?w)?/?100ES?<-?-S?*?sum(ret?*?ir)?/?sum?(iar)

結(jié)果示于表III中。

四、計(jì)算結(jié)果

表 I 顯示了 ETF 邊緣 t 分布的估計(jì)參數(shù)和 AIC 的結(jié)果：

表 I 邊緣分布

兩個(gè) copula 擬合的 AIC 都在表 II 中。

表 II Copula AIC

VaR 和 ES 在表 III 中。

表三 VaR 和 ES

五、總結(jié)與結(jié)論

這項(xiàng)工作展示了如何估計(jì)邊緣和 copula，以及如何應(yīng)用 copula 來(lái)創(chuàng)建一個(gè)模型，該模型將考慮變量之間的相互依賴性。它還展示了如何計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值 (VaR) 和期望損失 (ES)。

本文摘選?《?R語(yǔ)言Copula估計(jì)邊緣分布模擬收益率計(jì)算投資組合風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR與期望損失ES?》?，點(diǎn)擊“閱讀原文”獲取全文完整資料。

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