我們?cè)谛W(xué)二年級(jí)就知道要怎么判斷一個(gè)整數(shù)是不是2的倍數(shù)，只要它的末位是2的倍數(shù)，它就是2的倍數(shù)，同樣的，如果一個(gè)整數(shù)的末位是5的倍數(shù)，那么它就是5的倍數(shù)。而3的倍數(shù)要復(fù)雜一點(diǎn)，假如一個(gè)整數(shù)各位數(shù)之和是3的倍數(shù)，那么它就是3的倍數(shù)，有沒(méi)有覺(jué)得挺神奇的？（阿婆主小學(xué)的時(shí)候覺(jué)得非常神奇），下面我們來(lái)深究一下這個(gè)原理。

我們以三位數(shù)舉個(gè)例，眾所周知，一個(gè)三位數(shù)可以被寫成100a+10b+c的形式（a，b，c為整數(shù)），進(jìn)一步可以寫成（99a+9b）+（a+b+c）的形式，又因?yàn)閍，b是整數(shù)，所以99a+9b肯定可以被三整除，而只要后面的部分，也就是a+b+c可以被三整除，這個(gè)整體就可以被三整除。

這就是我們小學(xué)所學(xué)的這種方法的原理。

2和5的倍數(shù)其實(shí)是同理，因?yàn)?0剛好就是2和5的倍數(shù)，所以只要它的末位是2或5的倍數(shù)，它就是2或5的倍數(shù)。

那么其他數(shù)字的倍數(shù)該怎么判斷呢

我們先來(lái)看看7的倍數(shù)

我們的第一直覺(jué)還是沿用剛剛的方法，還是以三位數(shù)舉例，100a+10b+c可以被寫成（98a+7b）+（2a+3b+c），前面的98a+7b肯定是可以被7整除的，所以只要2a+3b+c可以被7整除，這個(gè)三位數(shù)就是7的倍數(shù)，例如392，因?yàn)?×2+9×3+2=35，35是7的倍數(shù)，所以392是7的倍數(shù)

但是這個(gè)方法貌似有點(diǎn)問(wèn)題，各位數(shù)前面的系數(shù)好像沒(méi)有什么規(guī)律，我們來(lái)研究一下

實(shí)際上，第n位數(shù)前面的系數(shù)就是10??1除以7的余數(shù)，例如100÷7=14……2，因此百位數(shù)前面的系數(shù)為2，而a除以b的余數(shù)，就會(huì)等于a-b[a/b]（數(shù)字加中括號(hào)表示其整數(shù)部分）。

1÷7=0.142857142857……，所以[10/7]=1，[100/7]=14，[1000/7]=142? ? ……

10 mod 7=10-7=3（a mod b表示a除以b的余數(shù)），100 mod 7=100-14×7=2，又由于余數(shù)一定小于7，所以余數(shù)是個(gè)位數(shù)，我們只需要將[a/b]的個(gè)位與7相乘，與最小的比它大的10的倍數(shù)做差即可，例如百位，4×7=28，30-28=2，所以百位的系數(shù)是2。

經(jīng)過(guò)計(jì)算，可以發(fā)現(xiàn)各位前的系數(shù)從左往右為1,3,2,6,4,5循環(huán)，也就是說(shuō)對(duì)于一個(gè)整數(shù)a+10b+100c+1000d……，只需要5a+4b+6c+2d+……是7的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是7的倍數(shù)。

方法是有了，但是規(guī)則比較復(fù)雜，有沒(méi)有更簡(jiǎn)單一點(diǎn)的方法呢

我們注意到21也是7的倍數(shù)，我們可以利用一下，要判斷651是不是7的倍數(shù)，我們可以判斷651-21=630是不是7的倍數(shù)，而630是不是7的倍數(shù)，我們只需要判斷63是不是7的倍數(shù)就可以了

我們一般化一下

還是以三位數(shù)舉例，對(duì)于整數(shù)100a+10b+c，我們可以減去21c，這樣就變成了100a+10b-20c，即10（10a+b-2c），只要10a+b-2c是7的倍數(shù)，100a+10b+c就是7的倍數(shù)

對(duì)于1個(gè)整數(shù)，我們只需要將前面的部分減去末位的兩倍，如果得到的倍數(shù)是7的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是7的倍數(shù)，如判斷693是不是7的倍數(shù)，因?yàn)?9-3×2=63，而63是7的倍數(shù)，所以693是7的倍數(shù)。

其他數(shù)字的倍數(shù)也可以用差不多的方法

如果一個(gè)數(shù)各個(gè)位上的數(shù)字和是3的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)。

如果一個(gè)數(shù)去掉末位后的數(shù)減去末位的2倍，得到的結(jié)果是7的倍數(shù)，那么原來(lái)的數(shù)就是7的倍數(shù)。

如果一個(gè)數(shù)去掉末位后余下的數(shù)減去末位，結(jié)果是11的倍數(shù)，那么原來(lái)的數(shù)就是11的倍數(shù)。

如果一個(gè)數(shù)奇數(shù)位的數(shù)字和減去偶數(shù)位的數(shù)字和，差是11的倍數(shù)，那么原來(lái)的數(shù)就是11的倍數(shù)。

如果一個(gè)數(shù)去掉末位后余下的部分減去末位的9倍，結(jié)果是13的倍數(shù)，那么原來(lái)的數(shù)就是13的倍數(shù)。

如果一個(gè)數(shù)去掉末位后余下的部分加上末位的4倍，結(jié)果是13的倍數(shù)，那么原來(lái)的數(shù)就是13的倍數(shù)。

如果一個(gè)數(shù)去掉末位后余下的數(shù)減去末位的5倍，結(jié)果是17的倍數(shù)，那么原來(lái)的數(shù)就是17的倍數(shù)。

如果一個(gè)數(shù)去掉末位后減去末位的17倍，結(jié)果是19的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)就是19的倍數(shù)。

如果一個(gè)數(shù)去掉末位后加上末位的2倍，結(jié)果是19的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)就是19的倍數(shù)。

把一個(gè)數(shù)的末三位和其余部分分成兩段，用這兩段數(shù)字做差，如果結(jié)果是7或者11或者13的倍數(shù)，那么原來(lái)的數(shù)就是7或者11或者13的倍數(shù)。

---轉(zhuǎn)自李永樂(lè)