????## 寫在最前面：這是一道物競(jìng)題，培訓(xùn)時(shí)做到，現(xiàn)回憶起，和雙曲函數(shù)、反雙曲函數(shù)一起講解。

????????懸鏈線：一根密度均勻的繩子或鐵鏈兩端固定在水平桿上，受重力作用自然下垂后形成的曲線。

????????下面我們來(lái)求解懸鏈線方程。

????????為方便起見，認(rèn)為繩子（當(dāng)然也可以是鐵鏈，下略）兩端固定在同一高度上。（事實(shí)上，如果不在同一高度，結(jié)果也是類似的，只不過是其一部分罷了）同時(shí)，設(shè)繩子最低處為坐標(biāo)原點(diǎn)。

????????為方便求解，引入以下參數(shù)。

????????????：繩子線密度

????????????：重力加速度

????????????：懸鏈線切線與水平面夾角，如圖所示

????????顯然，我們需要研究繩子微元。

????????考察橫坐標(biāo)為處，長(zhǎng)度為的繩子微元，則其所受重力為。對(duì)繩子進(jìn)行受力分析，如圖所示

????????注意：我們并不在意繩子張力究竟是多少，我們只是在意繩子張力的差值是多少。

????????根據(jù)受力平衡，得到

????????兩式相除，得到

????????根據(jù)角度關(guān)系，有

????????此處為常量，因而有

????????于是得到

????????這是核心的微分方程。

????????下面開始解微分方程。

????## 分離變量

????## 兩邊積分

????????根據(jù)積分公式

????## 這里面的叫做反雙曲正弦函數(shù)，后面的專題中會(huì)提到。

????????我們得到

? ? ## 這里面的叫做雙曲正弦函數(shù)，后面的專題中會(huì)提到。

????????根據(jù)處，我們得到

????????故

? ? ## 分離變量

? ? ## 兩邊積分

????????根據(jù)積分公式

? ? ? ? 我們得到

????????根據(jù)處，我們得到

????????故

????????這里的仍然為未確定的參數(shù)，取決于繩長(zhǎng)和兩懸掛點(diǎn)間距。