簡介：

1905年，Einstein提出了“光量子”假說，成功解釋了光電效應(yīng)。于是，光成為了第一個同時以波動性和粒子性存在的實體。1924年，de Broglie提出“波粒二象性”，指出所有物質(zhì)都類似于光，同時存在波動性，即物質(zhì)波。在此基礎(chǔ)上，Schr?dinger建立了Schr?dinger方程，成為了非相對論量子力學(xué)的基石。

這里我們從幾何光學(xué)出發(fā)，通過對比哈密頓體系引入“光子”的概念，再利用光子的“波粒二象性”，配合哈密頓體系，給出光子的Schr?dinger方程，從而推廣至任意粒子。

一、Hamiltonian體系

首先，簡單的回顧一下Hamiltonian力學(xué)體系。

對于每一個力學(xué)體系，都存在一個特殊的標(biāo)量，稱為作用量(Action)，記為。在Lagrangian體系下，給定運(yùn)動軌跡兩端，，其中為拉格朗日量(Lagrangian)，是廣義坐標(biāo)。在最小作用量原理下，給出歐拉-拉格朗日方程(E-L)：。同時，若拉格朗日量不顯含時，則系統(tǒng)能量守恒：，其中稱為廣義動量，系統(tǒng)總能量為：，是動能，是勢能，為質(zhì)量。

對不含時拉格朗日量做勒讓德變換，可得，其中稱為哈密頓量(Hamiltonian)。易見不含時下為系統(tǒng)能量。根據(jù)全微分關(guān)系，可給出，稱為哈密頓方程。

現(xiàn)在考慮運(yùn)動軌跡的終點不固定，是坐標(biāo)和時間的函數(shù)，則此時，根據(jù)定義有，而，于是，稱為哈密頓-雅可比方程(H-J)。

列一下之后要用到的關(guān)系：

哈密頓量：；

廣義動量：，在笛卡爾系下可寫成，是普通動量；

哈密頓-雅可比方程 H-J：。

二、幾何光學(xué)下的《光子》

*本節(jié)采用朗道二卷《場論》第53節(jié)的內(nèi)容，已經(jīng)在《特殊電磁場分析》中講解過，歡迎觀看。

從電磁場分析角度，光是一種電磁波，具體的表達(dá)式可以用一個靜止源的推遲勢在遠(yuǎn)場近似下給出。在這種情況下，對遠(yuǎn)場波區(qū)做平面波近似，用函數(shù)來統(tǒng)一表示場，則平面單色光給出，其中是波矢，是角頻率，是頻率，是初相。同時，考慮波長趨向于0，則可以引入幾何光學(xué)概念：波面，即相位相同的點；光線，為每一點的切線都與光的波矢相同的線，類比流線......

對于任意光，自然沒有類似的形式，但同樣我們可以寫出，其中相位稱為程函。在幾何光學(xué)下，程函本質(zhì)上是一個非常大的數(shù)，對比波長而言。因此，在遠(yuǎn)場波區(qū)可以對原點展開到一階：，將對矢徑的偏導(dǎo)記作梯度，則對比平面單色光有：。

略去初相，可以看到程函方程有類似哈密頓體系的形式：。

于是，在形式上可以由此引入《光子》(Photon)的概念，這是一個對波動光的近似粒子的概念，其對應(yīng)的力學(xué)量為，進(jìn)一步可以驗證，角頻率對波矢和矢徑有類似哈密頓方程的形式：。

因此，對于波動的《光子》，其程函在一定程度上就代表了它的作用量，波矢是動量，角頻率則是哈密頓量。這就是光的“波粒二象性”的一個定量化解釋。

進(jìn)一步，我們可以從波包的角度，即單色光在小區(qū)域中的疊加來對比波和粒子之間的關(guān)系。同樣的，我們也可以從Einstein的光量子公式出發(fā)，驗證上述類比的正確性。同樣的，我們可以看到，若我們將電磁波對波矢做傅里葉變換，則同樣也能給出類似的結(jié)論，這稱為《真空電磁場的本征振動》，最終我們可以給出電磁波關(guān)于波矢的哈密頓量，以及用波矢分量表示的哈密頓方程，完全類似于一維振子的哈密頓量，由此可以說明光的量子化，從而和量子場論接軌。這一部分參考二卷的第52節(jié)，我也同樣介紹過，這里不做過多的闡述。

三、Schr?dinger方程

現(xiàn)在我們就可以推導(dǎo)Schr?dinger方程了。

在正式開始之前，先給出物質(zhì)波的de Broglie公式：，其中為約化Plank常數(shù)，也就是說粒子給出的物質(zhì)波的波矢和粒子本身的動量間相差一個約化Plank常數(shù)作為系數(shù)。

介紹完背景之后，我們正式開始。先從光子入手。

首先，根據(jù)光子的“波粒二象性”原理，將它的波矢和粒子動量代入de Broglie公式，可以得到。于是，對于光子，我們有，是前文中光的“波粒二象性”的具體定量關(guān)系式。

因此，光子的方程就可以寫為：。

其次，考慮光子關(guān)于時間的變化，帶入H-J方程有：。帶入粒子的哈密頓量，我們有：。

隨后，再考慮光子的位移變化：，微分兩次可得，于是有。代入上式可得。

再利用“波粒二象性”原理，將場函數(shù)寫成任意粒子的物質(zhì)波函數(shù)，就可以得到Schr?dinger方程。

當(dāng)然相信大家已經(jīng)可以看到上式有類似于特征方程的形式，引入力學(xué)算符，則Schr?dinger方程為。在不含時情況下，，即定態(tài)薛定諤方程。

四、總結(jié)

在推導(dǎo)中，我們可以看到此處我們完全沒有涉及相對論的內(nèi)容，全部均從經(jīng)典力學(xué)體系出發(fā)給出。因此Schr?dinger方程是經(jīng)典體系下的方程，并不符合相對論體系。同時，此處我們也可以看到，Schr?dinger方程是可以從變分法給出的，這個和所有的物理體系均一致。于是我們就完成了從幾何光學(xué)到Schr?dinger方程的推導(dǎo)。

關(guān)于此處物質(zhì)波的具體解釋，也就是《哥本哈根詮釋》，以及關(guān)于算符的細(xì)節(jié)，具體在量子力學(xué)中再詳細(xì)闡述，這里不做過多的介紹。