龐加萊群描述閔可夫斯基時(shí)空的對稱性，粒子在閔可夫斯基時(shí)空中運(yùn)動(dòng)。不同種類的粒子由質(zhì)量、自旋、和一些其他的量子數(shù)加以區(qū)分，每個(gè)粒子具有一定的四維動(dòng)量和自旋在某個(gè)方向上投影的量子數(shù)，對它做空間旋轉(zhuǎn)和洛倫茲增速變換時(shí)，四維動(dòng)量會(huì)改變，自旋投影值也可能改變，變化的方式由洛倫茲變換決定，但質(zhì)量、自旋等其他量子數(shù)不會(huì)改變。當(dāng)時(shí)，有：

因此四維動(dòng)量算符在量子時(shí)空平移變換下不變，從而內(nèi)積也不變。另一方面，是洛倫茲標(biāo)量算符，于是它的本征值是龐加萊變換下的不變量。對單個(gè)粒子有質(zhì)殼關(guān)系成立，因此對單個(gè)粒子，這個(gè)不變量就是質(zhì)量的平方。

實(shí)際上，粒子態(tài)由龐加萊群的不可約幺正表示表述。1939年尤金·魏格納完成了這些表示的分類工作，一個(gè)粒子用在量子龐加萊變換下相互轉(zhuǎn)化的態(tài)矢來定義，其中四維動(dòng)量是四維動(dòng)量算符在態(tài)矢的本征值，即：

而指標(biāo)表征所有其他自由度，通常取分立值。標(biāo)量場單粒子態(tài)就是這樣的態(tài)矢。

在量子時(shí)空平移變換的作用下，單粒子態(tài)的變換為：

只出現(xiàn)相位上的改變。另一方面，用量子洛倫茲變換作用得到單粒子態(tài)滿足：

因此，的四維動(dòng)量本征值為。這意味著它必定是的線性組合，即：

現(xiàn)在，我們要了解系數(shù)的形式。

在固有保時(shí)向洛倫茲變換下，的內(nèi)積不變，的符號也不會(huì)改變，他們是所有慣性參考系的不變量。的每個(gè)數(shù)值和的每個(gè)符號決定了一組通過固有保時(shí)向洛倫茲變換聯(lián)系起來的四維動(dòng)量，可以從中選取一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)四維動(dòng)量，使得：

其中是依賴于的固有保時(shí)向洛倫茲變換。從而，標(biāo)準(zhǔn)四維動(dòng)量就全權(quán)代表了這組四維動(dòng)量?？梢詫⑵渲腥我庠?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=p%5E%5Cmu" alt="p%5E%5Cmu">對應(yīng)的單粒子態(tài)定義為：

其中是依賴于四維動(dòng)量的歸一化因子。上式左右兩邊出現(xiàn)同一個(gè)指標(biāo)，實(shí)際上，這個(gè)式子規(guī)定了指標(biāo)與四維動(dòng)量的聯(lián)系。對這個(gè)單粒子態(tài)做量子洛倫茲變換，得到：

其中，固有保時(shí)向洛倫茲變換：

把它作用于標(biāo)準(zhǔn)四維動(dòng)量之上：

可見保證標(biāo)準(zhǔn)四維動(dòng)量不變，所有讓標(biāo)準(zhǔn)四維動(dòng)量不變的洛倫茲變換構(gòu)成洛倫茲群的一個(gè)子群，稱為該標(biāo)準(zhǔn)四維動(dòng)量對應(yīng)的小群，類似于（10.5）式，有：

對于小群中的任意兩個(gè)變換，由上式推出：

從而得到同態(tài)關(guān)系：

可見，矩陣集合構(gòu)成這個(gè)小群的一個(gè)線性表示。把（10.11）代入（10.8），得到：

根據(jù)（10.7）式，得到：

代入（10.14）式，得到：

與（10.5）式比較，得到系數(shù)公式：

上述討論表明，我們可以通過標(biāo)準(zhǔn)四維動(dòng)量和相應(yīng)的小群對單粒子態(tài)分類，物理上有以下三種情況：

（1）質(zhì)量非零的粒子：且，其中質(zhì)量。

此時(shí)四維動(dòng)量是類時(shí)的，取標(biāo)準(zhǔn)四維動(dòng)量為，任意空間旋轉(zhuǎn)保證標(biāo)準(zhǔn)四維動(dòng)量不變，因此這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)四維動(dòng)量對應(yīng)的小群是SO(3)。

在量子力學(xué)中，歸一化后的態(tài)矢仍具有一些任意性。態(tài)矢與相差一個(gè)相因子的態(tài)矢描述相同的態(tài)。因此，量子洛倫茲變換的同態(tài)關(guān)系應(yīng)當(dāng)修正為：

若實(shí)相位不為零，則不是洛倫茲群的線性表示，而是投影表示。

對于任意小群變換，則有：

左右兩邊分別作用在態(tài)矢上，利用（10.11）式，得到：

故：

若相因子不恒為零，則{D(W)}構(gòu)成SO(3)的一個(gè)投影表示。

在李群的群空間，每個(gè)點(diǎn)對應(yīng)一個(gè)群元。由于群的封閉性，兩個(gè)群元的乘積一定對應(yīng)于群空間中的某個(gè)點(diǎn)。從而，群空間中的一條曲線意味著一系列的群乘積，乘出來的群元連續(xù)地組合成這條曲線?？紤] SO(3) 群空間內(nèi)一條閉合曲線，它從恒元出發(fā)，通過一系列群乘積相繼經(jīng)過和兩個(gè)點(diǎn)再回到恒元，則相應(yīng)的量子變換是。如果這條曲線能連續(xù)地收縮成恒元這一點(diǎn)，則是恒等變換1。如果這條曲線包含奇數(shù)次對徑點(diǎn)跳躍，就不能連續(xù)收縮到恒元一點(diǎn)，不一定是恒等變換。不過，依這條曲線的路徑重復(fù)兩次，則包含偶數(shù)次對徑點(diǎn)跳躍，則可通過連續(xù)形變消除這些跳躍，從而收縮為恒元一點(diǎn)。則：

由此得到，即：

可見，SO(3)群的相因子可取±1。

SO(3)的覆蓋群SU(2)是單連通的，群空間中的任意經(jīng)過恒元的閉合曲線都能收縮到恒元一點(diǎn)處，因此相因子等于1，不具有投影表示。群論知識告訴我們，SU(2)群的不等價(jià)不可約表示都是幺正表示，記為：

這里的s就是自旋量子數(shù)。線性表示是2s+1維的，表示矩陣元表達(dá)為，其中是自旋在某個(gè)方向上投影出來的本征值。因此，自旋為s的有質(zhì)量粒子具有2s+1種自旋極化態(tài)。根據(jù)（10.16）式，自旋為s的有質(zhì)量單粒子態(tài)的量子洛倫茲變換為：

可見，量子洛倫茲變換把一個(gè)極化態(tài)變成多個(gè)不同極化態(tài)的線性組合。

當(dāng)s是整數(shù)時(shí)，是SU(2)群的非忠實(shí)線性表示，同時(shí)也是SO(3)的線性表示，描述整數(shù)自旋的粒子。是這兩個(gè)群的恒等表示，描述零自旋粒子（例如希格斯粒子）。是SO(3)的基礎(chǔ)表示，描述自旋為1的粒子（例如光子）。

當(dāng)s是半奇數(shù)時(shí)，是SU(2)群的非忠實(shí)線性表示，同時(shí)也是SO(3)的雙值表示，描述半奇數(shù)自旋粒子。是SU(2)群的基礎(chǔ)表示，描述自旋為的粒子（例如電子）。

固有保時(shí)向洛倫茲群也是雙連通的，它的覆蓋群是復(fù)域上的特殊線性群。在龐加萊群空間中，與恒元連通的部分對應(yīng)于與時(shí)空平移群的半直積群，它是雙連通的，與之對應(yīng)的覆蓋群是與時(shí)空平移群的半直積群。