? ? ? UP在閑暇時花了點時間去推導(dǎo)恒壓電源給電容充電，電容電壓和時間的關(guān)系式。推之前UP并沒有去看過有關(guān)這些公式的推導(dǎo)過程，也許采用的方法比較笨，但是推完還是挺自豪的，寫篇專欄水下。_(:з」∠)_

在網(wǎng)上搜的話會有直接現(xiàn)成的公式，這里先給出：

式子相關(guān)參數(shù)

Vt：電容的瞬時電壓（伏特、V）

V0：電容的初始電壓

Vcc：電源的電壓（充電電壓）

t：時間（秒、s）

R：電阻（歐姆、Ω）

C：電容容量（法拉、F）

e：自然常數(shù)，≈2.7182818284

分析過程：

首先畫一個電路圖：

看不懂？轉(zhuǎn)換下形式看得懂了吧：

? ? ? 現(xiàn)在不妨定性分析下：剛開始時，電容初始電壓和電源電壓的差值最大，所以充電電流最大，電容電壓迅速上升。隨著充電，電壓差越來越小，充電電流越來越小，電容電壓上升速度也會逐漸減慢。最后逐漸接近電源電壓。

所以該函數(shù)是個上凸函數(shù)，一次求導(dǎo)＞0，二次求導(dǎo)＜0。

這里給出其圖像：

計算時，要動用三條公式：

I：電流（安培、A），Q：電荷量（庫倫、C）

U指的是電容上的電壓，相當(dāng)于Vt。

?

現(xiàn)在這里有個問題，電容電壓隨時間變化，而充電電流又隨電容電壓變化，影響著電容電壓的變化，怎么計算呢？這里要做些假設(shè)。

1、設(shè)電容電壓不會因為電流流入而變化，即電容電壓不變，這樣電流也恒定了，方便計算。

2、充電一段時間后，計算這段時間充進來的電荷，然后計算電容的電壓，然后讓電壓突變。

?

? ? ? 這樣電壓就不是曲線變化，而是突然變化了。這樣能簡化計算過程，但是誤差比較大，怎樣減少誤差？

?

我們給一個電容充電充了t秒，然后把t秒分成n等份，每份充電時間為△t。

比如n=1，t=2，我們給電容充了2秒電，然后2秒后電容電壓突然變化。

比如n=2，t=2，充1秒電，電容電壓突變一次，1秒后，再突變一次。

……

當(dāng)n→+∞時，每隔△t秒，電容電壓突變一次。這樣最后的電壓十分接近真實值了。

推導(dǎo)過程：

各位可以嘗試先從n=1，n=2推幾次，熟悉下過程，這里直接給出n=n的過程。

?

從Vt=Q/C開始，把電容上的電荷Q分n+1份，其中Q0是電容初始的電荷量，剩下的Q1，Q2，…（n份）是在每一階段充進的電荷量。借助Q=I△t，把Q轉(zhuǎn)化I，再把歐姆定律代入，得到下式。

怎么突然冒出一堆V出來了？別慌，把V拆開。

V1=V0+I1△t/C

V2=V0+I1△t/C+I2△t/C

V3=V0+I1△t/C+I2△t/C+I3△t/C

……

繼續(xù)拆開式子

回到原點？沒事，繼續(xù)重復(fù)操作即可，重復(fù)n次

繼續(xù)拆

循環(huán)拆解，最后我們得到Vt的展開式

剩下的就是數(shù)學(xué)的問題了。

注意式子中有帶有上下標(biāo)的C，那個是數(shù)學(xué)的組合式，不是電容的符號C。

現(xiàn)在我們已經(jīng)得到Vt簡化后的式子，我們只需對它進行剩下的處理。

最后我們令n→+∞即可。

至此，電容充電的電壓與時間的關(guān)系式推導(dǎo)完成！

? ? ? 如果我們想知道把電容的電壓充到某個值所需要的時間，只需把這個式子變換下形式，把t抽出來即可。這里給出它的表達(dá)式：

后記

雖然說UP花了點時間去推導(dǎo)，其實是花了幾天。UP僅僅知道些極限的知識，對于高等數(shù)學(xué)完全一竅不通，就嘗試用初等數(shù)學(xué)的方法推導(dǎo)，很多同學(xué)都不看好我能推出來，叫我放棄，最后我竟然推出來了！ε=ε=(ノ≧?≦)ノ

感謝楊月華給我補充極限方面的知識。

如果發(fā)現(xiàn)有錯誤歡迎在評論區(qū)指出。

送上一些UP的手稿以及一些推導(dǎo)過程的發(fā)現(xiàn)（對于學(xué)過高等數(shù)學(xué)的可能這不算發(fā)現(xiàn)吧）

(′?_?`)