滑模觀測(cè)器的基本原理及仿真實(shí)現(xiàn)

2022-05-17 19:36 作者:學(xué)海行舟 0人讀過(guò) | 我要投稿

????????我們知道現(xiàn)實(shí)中控制策略中控制的設(shè)計(jì)離不開(kāi)系統(tǒng)狀態(tài)的采集，然而現(xiàn)實(shí)中總存在一些狀態(tài)不好測(cè)量，亦或者測(cè)量的成本比較高。這時(shí)候如果能夠采用其他手段把需要知道的狀態(tài)觀測(cè)出來(lái)則可以極大的減低控制的成本，因此，觀測(cè)器技術(shù)應(yīng)運(yùn)而生。

????????在講滑模觀測(cè)器之前，我們首先需要知道的是什么樣的系統(tǒng)它的狀態(tài)是能觀的。首先，我們考慮如下定常系統(tǒng)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? $%5Cbegin%7Bequation%7D%0A%5Cleft%5C%7B%0A%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%26%5Cdot%7Bx%7D%3DAx%2BBu%5C%5C%0A%26y%3DCx%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A%5Cright.%0A%5Cend%7Bequation%7D$

式中，x為n維向量；u為p維輸入向量；y是q維輸出向量；A為 $n%5Ctimes%20n$ 維系統(tǒng)矩陣；B為 $n%5Ctimes%20p$ 維輸入矩陣；C為 $q%5Ctimes%20n$ 維輸出矩陣。

????????由現(xiàn)代控制理論可知如果 $%5C%7BA%2CC%5C%7D$ 能觀，即矩陣 $%5BC%20%5Cquad%20CA...%20CA%5E%7Bn-1%7D%5D%5ET$ 滿秩。

????????知道能觀的概念之后，則可以設(shè)計(jì)最基本的狀態(tài)觀測(cè)器，其中最常見(jiàn)的觀測(cè)器便是luenberger觀測(cè)器（全維觀測(cè)器），它的基本思想是人為的構(gòu)建一個(gè)和原系統(tǒng)有相同參數(shù)和輸入的系統(tǒng)，即

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? $%5Cbegin%7Bequation%7D%0A%5Cleft%5C%7B%0A%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%26%5Cdot%7B%5Chat%7Bx%7D%7D%3DA%5Chat%7Bx%7D%2BBu%5C%5C%0A%26%5Chat%7By%7D%3DC%5Chat%7Bx%7D%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A%5Cright.%0A%5Cend%7Bequation%7D$

????????這個(gè)時(shí)候的觀測(cè)誤差可以定義為

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? $%5Cwidetilde%7Bx%7D%3Dx-%5Chat%7Bx%7D$

? ? ? ? ?則其誤差微分為

?????????????????????????????????????????????????????? $%5Cdot%7B%5Cwidetilde%7Bx%7D%7D%3DA(x-%5Chat%7Bx%7D)%3DA%5Cwidetilde%7Bx%7D$

????????由上式可以知道，在沒(méi)有引入反饋的情況下，觀測(cè)的誤差的動(dòng)態(tài)性完全由系統(tǒng)矩陣A決定，若A的特征根都在復(fù)平面的左邊，則觀測(cè)的誤差會(huì)隨時(shí)間推移而趨近于零，然而當(dāng)系統(tǒng)本身不穩(wěn)定時(shí)則需要通過(guò)引入反饋對(duì)其零極點(diǎn)進(jìn)行配置，于是luenberger觀測(cè)器的設(shè)計(jì)可以表示為

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? $%5Cbegin%7Bequation%7D%0A%5Cleft%5C%7B%0A%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%26%5Cdot%7B%5Chat%7Bx%7D%7D%3DA%5Chat%7Bx%7D%2BBu%2BL(y-%5Chat%7By%7D)%5C%5C%0A%26%5Chat%7By%7D%3DC%5Chat%7Bx%7D%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A%5Cright.%0A%5Cend%7Bequation%7D$

????????此時(shí)，觀測(cè)器誤差的動(dòng)態(tài)性可以表示為

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? $%5Cdot%7B%5Cwidetilde%7Bx%7D%7D%3D(A-LC)%5Cwidetilde%7Bx%7D$

? ? ? ? 則通過(guò)對(duì)L的選擇，使得上式的特征根為適當(dāng)?shù)闹?，從而保證誤差能夠衰減到零并保持，而且不依賴于控制輸入u(t)和系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(0)。為了更加形象的了解luenberger觀測(cè)器，我們給出了它的系統(tǒng)框圖，如下所示。

????????通過(guò)上面的介紹可以知道，luenberger觀測(cè)器通過(guò)引入線性反饋的形式，對(duì)被觀測(cè)量x進(jìn)行控制。它控制的本質(zhì)是使得 $%5Chat%7Bx%7D$ 能夠跟蹤x。

? ? ? ?從上面分析可以知道，luenberger觀測(cè)器其實(shí)也是類似一種控制方式，只不過(guò)它的控制是對(duì)觀測(cè)的狀態(tài)進(jìn)行跟蹤。看到這我們可能會(huì)想是不是其他的控制手段是否也能做成觀測(cè)器呢？

????????事實(shí)確實(shí)如此，滑?？刂谱鳛橐环N魯棒性和相應(yīng)速度很快的控制策略，同樣可以用于觀測(cè)器的設(shè)計(jì)?；诨？刂频挠^測(cè)器同樣具備滑模控制的優(yōu)勢(shì)。它最初是由S. Drakunov在論文《Sliding mode observers. tutorial》中提出。本文的滑模觀測(cè)器的設(shè)計(jì)也是以他論文的設(shè)計(jì)為主。目前各式各樣的滑模觀測(cè)器已經(jīng)被應(yīng)用到電機(jī)控制領(lǐng)域用于無(wú)感控制。

????????首先，我們針對(duì)本文開(kāi)頭的定常系統(tǒng)，假設(shè)只有 $x_1$ 變量是可以測(cè)量的，且輸出的表達(dá)方程中C矩陣表示為

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? $C%3D%5B1%20%5Cquad%200%20%5Cquad%200...%5D$

????????則A矩陣可以改寫(xiě)為下面的形式

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? $A%3D%5Cbegin%7Bequation%7D%0A%09%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%09%20a_%7B11%7D%20%26%20A_%7B12%7D%20%20%5C%5C%0A%09A_%7B21%7D%20%26%20A_%7B22%7D%20%0A%09%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%5Cend%7Bequation%7D%0A$

? ? ? ? ?類似luenberger觀測(cè)器的設(shè)計(jì)，我們可以設(shè)計(jì)如下滑模觀測(cè)器

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? $%5Cbegin%7Bequation%7D%0A%5Cleft%5C%7B%0A%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%26%5Cdot%7B%5Chat%7Bx%7D%7D%3DA%5Chat%7Bx%7D%2BBu%2BLv(%5Chat%7Bx%7D_1-x_1)%5C%5C%0A%26%5Chat%7By%7D%3DC%5Chat%7Bx%7D%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A%5Cright.%0A%5Cend%7Bequation%7D$

? ? ? ? ?式中，v表示是誤差e的非線性函數(shù)，L表示觀測(cè)增益矩陣，為了方便，我們把L記成下面的形式

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? $L%3D%5Cbegin%7Bequation%7D%0A%09%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%09%20-l_%7B1%7D%20%20%20%5C%5C%0A%09-L_%7B2%7D%20%20%0A%09%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%5Cend%7Bequation%7D%0A$

? ? ? ? ?其中，L2是一個(gè)列向量，我們把對(duì)x狀態(tài)的估計(jì)誤差定義為 $e%3D(e_1%2Ce_2%2C...e_n)%5ET$ ，則估計(jì)誤差的動(dòng)態(tài)特性可以表示為

? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?? $%5Cdot%7Be%7D%3D%5Cdot%7B%5Chat%7Bx%7D%7D-%5Cdot%7Bx%7D%3DA(%5Chat%7Bx%7D-x)%2BLv(%5Chat%7Bx_1%7D-x_1)%3DAe%2BLv(e_1)$

? ? ? ? ?接著，我們回顧滑?？刂频脑O(shè)計(jì)可知，滑模控制的設(shè)計(jì)在于通過(guò)對(duì)滑模面和趨近律的設(shè)計(jì)，使得系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面，并做滑模運(yùn)動(dòng)?；Ｓ^測(cè)器的設(shè)計(jì)也是類似。

????????我們定義滑模面 $s%3De_1$ ，則滑模面的導(dǎo)數(shù)可以表示為

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? $%5Cdot%7Bs%7D%3D%5Cdot%7Be%7D_1%3Da_%7B11%7De_1%2BA_%7B12%7DE_2-l_1v(s)$

? ? ? ? 其中， $E_2%3D(e_2%2Ce_3%2C...e_n)%5ET$

? ? ? ?根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性的條件可知，為了使得觀測(cè)器達(dá)到滑模面，則 $s%5Cdot%7Bs%7D%3C0$ 。

? ? ? ?因此，我們可以定義v的表達(dá)式為滑模控制中的符號(hào)函數(shù)sgn(s)，則 $l_1$ 需要滿足下面的條件：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? $l_1%3Emax%5C%7Ba_%7B11%7De_1%2BA_%7B12%7DE_2%5C%7D$

? ? ? 則通過(guò)上式的設(shè)計(jì)可以使得 $e_1$ 滿足誤差跟蹤。當(dāng)我們把上述非線性函數(shù)產(chǎn)生的不連續(xù)控制記做 $u_%7Beq%7D$ 時(shí)，考慮系統(tǒng)到達(dá)滑模面情況，下面的等式將滿足：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? $0%3D%5Cdot%7Bs%7D%3DA_%7B12%7DE_2-u_%7Beq%7D$

? ? ???則可得到下面關(guān)系式

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? $u_%7Beq%7D%3DA_%7B12%7DE_2$

? ? ???當(dāng) $e_1$ 趨近于0時(shí)，我們?cè)诜治?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=E_2" alt="E_2">的跟蹤情況有

? ? ? ? ?? $%5Cbegin%7Bequation%7D%0A%09%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%09%20%5Cdot%7Be%7D_%7B1%7D%20%20%20%5C%5C%0A%09%20%5Cdot%7Be%7D_%7B2%7D%20%20%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cvdots%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cdot%7Be%7D_%7Bn%7D%0A%09%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%3DA_2%0A%09%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%09%20e_%7B1%7D%20%20%20%5C%5C%0A%09%20e_%7B2%7D%20%20%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cvdots%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20e_%7Bn%7D%0A%09%20%5Cend%7Bbmatrix%7D-L_2v(s)%3DA_2%20E_2-L_2A_%7B12%7DE_2%3D(A_2-L_2A_%7B12%7D)E_2%0A%5Cend%7Bequation%7D%0A$

????????為了滿足收斂的條件，則L2的選擇要使得矩陣 $(A_2-L_2A_%7B12%7D)$ 滿足Hurwitz穩(wěn)定。

????????最后為了驗(yàn)證上述理論，我們?cè)赟imulink環(huán)境下搭建相關(guān)的仿真，我們首先給出了仿真系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下所示

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? $%5Cbegin%7Bequation%7D%0A%5Cleft%5C%7B%0A%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%26%5Cdot%7Bx%7D_1%3Dx_1%2Bx_2%2Bu%5C%5C%0A%26%5Cdot%7Bx%7D_2%3D-x_1%5C%5C%0A%26y%3Dx_1%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A%5Cright.%0A%5Cend%7Bequation%7D$

? ? ? 為了對(duì)觀察效果進(jìn)行比較，我們同樣設(shè)計(jì)了luenberger觀測(cè)器，并選擇它期望的極點(diǎn)為 $%5B-8%20%5Censpace%20-8%5D%5ET$ ，則可得到增益矩陣L為 $%5B16%20%5Censpace%2063%5D%5ET$ 。滑模觀測(cè)器的觀測(cè)增益矩陣L設(shè)置為 $%5B-1%20%5Censpace%20-2%5D%5ET$ 。系統(tǒng)的輸入是正弦信號(hào)，我們同時(shí)加入白噪聲以模擬實(shí)際過(guò)程中的控制輸入。搭建的滑模觀測(cè)器如下所示。