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圖片來源｜網(wǎng)絡(luò)

1．極限、平均數(shù)與公倍數(shù)題——極值法

2．例題1：極限題的「反套路」陷阱

3．例題2：百分數(shù)極限題的賦值技巧

4．例題3：根據(jù)限制確定不等式的要求

5．例題4：最小公倍數(shù)的特點

6．例題5：「最不利」情況的簡單描述

7．例題6：排除干擾，準確認識到數(shù)據(jù)的關(guān)系

8．例題7：極限題的簡單思路

9．例題8：熟練掌握「賦值」技巧很重要

10．例題9：極限題的極限值選擇

11．例題10：「極限」題的潛臺詞要求

12．例題11：是做對了，還是蒙對了呢？

「數(shù)量關(guān)系」中有一類「極限題」，此類題目對「極限大/小值」有要求。同時，部分和平均數(shù)、公倍數(shù)有關(guān)的題目也需要去求「極限值」，此類題目都可以使用「極值法」去做。

一、極限、平均數(shù)與公倍數(shù)題——極值法

「極值法」非常簡明，就是根據(jù)題干要求創(chuàng)造一個極限值，再進行相關(guān)計算，得出答案即可。

為什么會有「極值」呢？答案很簡單，那就是「極值」是量變與質(zhì)變的界限，超過極值，就是質(zhì)變；不超過，就還屬于量變的范疇。

舉兩個很簡單的例子。

例1：將一些蘋果分給3個人，保證有人分得4個或更多蘋果，則蘋果至少幾個？

「保證分得或更多」說明極限值為「所有人都分得剛好小于4個」，即3個人都分得3個，此時再加1個蘋果，無論分給誰，都能保證有人有至少4個蘋果，因此蘋果至少3×3+1=10個。

例2：雞兔同籠題，總只數(shù)、腿數(shù)已確定，求雞兔各多少只。

此類題非常經(jīng)典，從小學一直做到公務(wù)員考試。遇到這種題最好不要列方程，先假設(shè)「籠子里全是兔子」，則腿數(shù)=總只數(shù)×4。由于1只兔子比1只雞多2條腿，則「每多1只雞就少2條腿」，用上述結(jié)果減去實際腿數(shù)后，除以2即為答案。

比如雞兔共35只，100條腿，則答案為（35×4-100）÷2=20只雞，則兔子15只。

雞兔同籠題雖然沒有要求「求極限」，但是設(shè)「極值」可以避免列方程，從而方便計算。

此類題也可以假設(shè)籠子里都是雞，則多一只兔子多2條腿，計算公式為（100-35×2）÷2=15只兔子，結(jié)果相同。

希望每一個小伙伴，都能通過上述例子和下面的真題理解「極值法」的使用技巧。

二、例題1：極限題的「反套路」陷阱

【2018國考地市級卷67題／ 省級卷69題】棗園每年產(chǎn)棗2500公斤，每公斤固定盈利18元。為了提高土地利用率，現(xiàn)決定明年在棗樹下種植紫薯（產(chǎn)量最大為10000公斤），每公斤固定盈利3元。當紫薯產(chǎn)量大于400公斤時，其產(chǎn)量每增加n公斤將導致棗的產(chǎn)量下降0.2n公斤。

該棗園明年最多可能盈利多少元？
（A）46176
（B）46200?
（C）46260?
（D）46380

該棗園明年最多可能盈利多少元？
（A）46176
（B）46200?
（C）46260?
（D）46380

正確率50%，易錯項B

列出題干數(shù)據(jù)關(guān)系：
①棗2500公斤，每公斤18元
②加種紫薯，產(chǎn)量最大10000公斤，每公斤3元
③紫薯＞400公斤后，增加n則棗下降0.2

本題一眼就可以看出是一道求極限值的題，即：
紫薯產(chǎn)量提高獲得的盈利，在什么情況下開始小于棗產(chǎn)量降低帶來的損失

由①②可知：
紫薯盈利：棗盈利=3:18=1:6
由③可知：
超過400kg后，紫薯產(chǎn)量增加：棗產(chǎn)量降低=n：0.2n=5:1

也就是說，紫薯產(chǎn)量超過400kg后：
紫薯產(chǎn)量相對棗增加的倍數(shù)＜棗盈利相對于紫薯的倍數(shù)

此后，紫薯種的越多越賠錢。所以，在紫薯種植量為400kg，即棗產(chǎn)量未開始下降時），盈利最大。因此，棗園明年最多可盈利：
2500×18+400×3=45000+1200=46200元，B選項正確。

解析可發(fā)現(xiàn)這道題不需要刻意去尋找極值，紫薯一點都不能多種，收入最高之時就是「紫薯再多種就棗就少收」之時。

本題是一道數(shù)量關(guān)系中非常有特色的「反套路」題，反的就是考生對于極限值題目的心理預期。

很多考生看到「數(shù)量關(guān)系的極限題」后的心理預期就是「這類值有個先大后小/先小后大的變化」，然后會下意識地尋找這個「極限」，但本題根本沒有這種變化，棗產(chǎn)量不下降時收益最大，針對的就是這種套路。

各位小伙伴一定要有自己的想法，避免陷入思維定式的陷阱。

三、例題2：百分數(shù)極限題的賦值技巧

【2018國考省級卷67題】書法大賽的觀眾對5幅作品進行不記名投票。每張選票都可以選擇5幅作品中的任意一幅或多幅，但只有在選擇不超過2幅作品時才為有效票。5幅作品的得票數(shù)（不考慮是否有效）分別為總票數(shù)的69%、63%、44%、58%和56%。

本次投票的有效率最高可能為多少？
（A）65%?
（B）70%?
（C）75%?
（D）80%

本次投票的有效率最高可能為多少？
（A）65%?
（B）70%?
（C）75%?
（D）80%

正確率42%，易錯項C

列出題干數(shù)據(jù)關(guān)系：
①5作品投票，不超過2作品為有效票
②總得票數(shù)分別為：69%、63%、44%、58%、56%
③求本次投票最高有效率

根據(jù)①可知，每個觀眾最多投2票才是有效票，在100%觀眾都投2票的情況下，5幅作品的滿意率可達到200%。

根據(jù)②可知，實際滿意率為：
69%+63%+44%+58%+56%=290%，超過200%

求的是「最高有效率」，即「有效率再高一點（限制每人2票再多一點），票數(shù)就達不到要求了」。因此，可假設(shè)所有觀眾都在規(guī)則內(nèi)投出了最多的票，看它和實際情況又多少差距，然后在逐步增加無效票的比例，直至接近最終答案。

當盡量少的觀眾違反規(guī)則且投出最大票數(shù)（5幅參賽作品→5票）且其他遵守規(guī)則的觀眾都投2票時，有效率最高。

由于所有數(shù)據(jù)均為百分數(shù)，所以可設(shè)觀眾有100名（這樣算出的結(jié)果無需轉(zhuǎn)化直接計入百分數(shù)即可），則全部觀眾遵守規(guī)則時，最多有：
100×2=200票。

每多一名觀眾違反規(guī)則且投出最大票數(shù)時，總票數(shù)（即題干中的滿意率）會增加：
5-2=3票。

實際滿意率290%，轉(zhuǎn)化票數(shù)為：
100×290%=290票，比遵守規(guī)則內(nèi)的最多數(shù)字多出290-200=90票。

即有90/3=30人投出無效票，本次投票的有效率最高為（100-30）%=70%，B選項正確。

本題頗有新意，在沒有給出具體觀眾數(shù)、得票數(shù)的情況下求一個「百分比」的極值，如果對此類題目不太熟悉的考生，是較難從短時間內(nèi)找出正確思路的。

解題關(guān)鍵在于將觀眾的數(shù)量設(shè)為100，可以把滿意率方便轉(zhuǎn)化為實際票數(shù)。

四、例題3：根據(jù)限制確定不等式的要求

【2018國考地市級卷69題／ 省級卷73題】新能源汽車企業(yè)計劃在A、B、C、D四個城市建設(shè)72個充電站，其中在B市建設(shè)的充電站數(shù)量占總數(shù)的1/3，在C市建設(shè)的充電站數(shù)量比A市多6，在D市建設(shè)的充電站數(shù)量少于其他任一城市。

至少要在C市建設(shè)多少個充電站？
（A）20?
（B）18?
（C）22?
（D）21

至少要在C市建設(shè)多少個充電站？
（A）20?
（B）18?
（C）22?
（D）21

正確率25%，易錯項B

列出題干數(shù)據(jù)關(guān)系：
①ABCD共有72個
②B占1/3
③C比A多6個
④D比ABC都少
⑤求C至少多少個

根據(jù)①②可知：
A+B+C+D=72，且B=1/3×72
即B=24，A+C+D=48

根據(jù)③可知C-A=6，即A=C-6，代入上文，可得：
（C-6）+C+D=48，
→2C+D=54
→D=54-2C

根據(jù)④可知D比ABC都小，即：
D＜A=C-6
D＜B=24
D＜C

由于A+C+D=48=2B，即：
A+（A+6）+D=2B
→A+3+D/2=B，即A＜B

即ABC中A最小，因此需要求出D＜A的范圍，即：
D＜A
→D＜C-6
→54-2C＜C-6
→60＜3C→C＞20

由于充電站數(shù)量必須為整數(shù)，因此C至少為21，D選項正確。一定要明確A在ABC中最小，才能通過D＜A得出C的「極小值」為不等式中C范圍中的最小值。

本題易錯項為B，考生需要注意不能把不等式D＜C-6直接帶入2C+D=54中，得出3C＜60后認為C比20小，因此誤選B，這個關(guān)系正好和原題是相反的。

如果考生能夠掌握不等式的解題要點，那么本題難度并不高，但對于不熟悉不等式的考生來說，這道題可能就會花費較多時間了。另外，有的考生因為時間緊張等原因沒有解出答案，這是非?？上У?。

五、例題4：最小公倍數(shù)的特點

【2017年國考省級卷64題】某超市購入每瓶200毫升和500毫升兩種規(guī)格的沐浴露各若干箱，200毫升沐浴露每箱20瓶，500毫升沐浴露每箱12瓶，定價分別為14元/瓶和25元/瓶。貨物賣完后，發(fā)現(xiàn)兩種規(guī)格沐浴露銷售收入相同。

這批沐浴露中，200毫升的最少有幾箱？
（A）3
（B）8?
（C）10
（D）15

這批沐浴露中，200毫升的最少有幾箱？
（A）3
（B）8?
（C）10
（D）15

正確率51%，易錯項B

列出題干數(shù)據(jù)關(guān)系：
①200mL、500mL兩種規(guī)格
②200mL1箱20瓶，14元/瓶；500mL1箱12瓶，25元/瓶
③兩種規(guī)格收入相同，求200mL最少幾箱

根據(jù)②可知：
200mL規(guī)格每箱20×14=280元
500mL規(guī)格每箱25×12=300元

要求在銷售收入相同的條件下，200mL規(guī)格最少，在未給出其他限制條件的前提下，一定是求銷售額的「最小公倍數(shù)」。

總銷售額的最小公倍數(shù)為：
（280，300）
→（28，30）×10
→（14,15）×2×10
→14×15×2×10=4200元

200mL規(guī)格最小銷售箱數(shù)為：
4200÷280=15，D選項正確

「最小公倍數(shù)」往往和「結(jié)果相同」（例如本題的「收入相同」）有關(guān)，遇到此類問法一定要注意。

本題的解題關(guān)鍵是「兩種產(chǎn)品銷售收入相同」。在每箱價格不同的情況下，銷售收入相同的最小值和最小公倍數(shù)有關(guān)，理解了這一點就很容易解題了。對于此類題目，一定要先理清題意，確定其屬于極限類還是最小公約/公倍數(shù)類。

六、例題5：「最不利」情況的簡單描述

【2013國考65題】某單位組織黨員參加黨史、黨風l廉政建設(shè)、科學發(fā)展觀和業(yè)務(wù)能力四項培訓，要求每名黨員參加且只參加其中的兩項。無論如何安排，都有至少5名黨員參加的培訓完全相同。

該單位至少有多少名黨員？
（A）17
（B）21
（C）25
（D）29

該單位至少有多少名黨員？
（A）17
（B）21
（C）25
（D）29

正確率50%，易錯項B

列出題干數(shù)據(jù)關(guān)系：
①4項培訓，每個黨員參加兩項
②至少5黨員參加培訓完全相同
③求至少多少黨員

根據(jù)②③可知，當所有參加培訓的情況都有4黨員時，再加1黨員，則加入任何隊伍都會使其變?yōu)?人，符合「至少5黨員參加培訓完全相同」的要求。

根據(jù)①可知，參加培訓的情況共有：
C（4，2）=4×3÷2=6種

因此結(jié)果為：
6×4+1=25黨員，C選項正確。

此類題被一些公考機構(gòu)稱之為「最不利原則」、「最倒霉原則」，從字面意思上就能大致理解其含義，但希望各位小伙伴們能夠真正理解，能夠徹底掌握此類題的原理?！钢辽儆小拐f明在正確答案基礎(chǔ)上減去1會引發(fā)質(zhì)變，滿足不了「至少」的條件。理解這一點，就明白此類題的本質(zhì)了。

本題計算非常簡單，但敘述有些難以理解，不熟悉此類表述的考生很容易做錯。

七、例題6：排除干擾，準確認識到數(shù)據(jù)的關(guān)系

【2013國考71題】公路上有三輛同向行駛的汽車，其中甲車的時速為63公里，乙、丙兩車的時速均為60公里，但由于水箱故障，丙車每連續(xù)行駛30分鐘后必須停車2分鐘。早上10點，三車到達同一位置。

1小時后，甲、丙兩車最多相距多少公里？
（A）5
（B）7
（C）9
（D）11

1小時后，甲、丙兩車最多相距多少公里？
（A）5
（B）7
（C）9
（D）11

正確率49%，易錯項A

列出題干數(shù)據(jù)關(guān)系：
①時速：甲63km，乙、丙60km
②丙行駛30min停2min
③三車一點，求1小時候甲丙最大距離

1h后甲行駛63km，甲丙距離最大，則「極值」為丙停車時間最長，根據(jù)題意可令計時開始時丙恰好處于停車階段。

則1h內(nèi)丙的情況為：
停車2min→開車30min→停車2min→開車26min

即丙行駛了56min，共行駛路程為：
60×（56/60）=56km

甲丙最多相距63-56=7km，B選項正確。

本題需要注意時間限制為「1小時后」，而不是「丙行駛時間一共為1小時」?？梢园l(fā)現(xiàn)，乙車的時速除了干擾考生思路，沒有任何作用。

八、例題7：極限題的簡單思路

【2012國考79題】草地上插了若干根旗桿，已知旗桿的高度在1至5米之間，且任意兩根旗桿的距離都不超過它們高度差的10倍。如果用一根繩子將所有旗桿都圍進去，在不知旗桿數(shù)量和位置的情況下，最少需要準備多少米長的繩子?
（A）40
（B）60
（C）80
（D）100

最少需要準備多少米長的繩子?
（A）40
（B）60
（C）80
（D）100

正確率33%，易錯項B

列出題干數(shù)據(jù)關(guān)系：
①旗桿高度1~5m
②任意兩根旗桿距離不超過高度差10倍
③求圍住旗桿，最少需要準備多少米長的繩子

本題要求取旗桿間的極限距離。顯然當一個旗桿5m，另一個旗桿1m的時候，兩者距離為40m最長，此時用80m的繩子可以將其「對折」后圍住，C選項正確。

注意此類題一定要直接考慮極限距離，所有旗桿在一條直線上才能使其距離最遠。有興趣的小伙伴可以嘗試一下旗桿不在一條直線上的情形。

九、例題8：熟練掌握「賦值」技巧很重要

【2011國考76題】某單位共有A、B、C三個部門，三部門人員平均年齡分別為38歲、24歲、42歲，A和B兩部門人員平均年齡為30歲，B和C兩部門人員平均年齡為34歲。

該單位全體人員的平均年齡為多少歲？
（A）34
（B）35?
（C）36?
（D）37

該單位全體人員的平均年齡為多少歲？
（A）34
（B）35?
（C）36?
（D）37

正確率58%，易錯項C

列出題干數(shù)據(jù)關(guān)系：
①ABC部門平均年齡分別為38、24、42
②A+B平均為30，B+C平均為34

題干關(guān)系非常簡明，直接按照①的要求賦值，代入②獲取不同部門的關(guān)系即可。

設(shè)A、B部門年齡全部為38、24，可發(fā)現(xiàn)38=30+8，24=30-6
→「1個A部門人員比平均數(shù)多8，1個B部門成員比平均數(shù)少6」
→A：B部門人數(shù)存在6:8的關(guān)系

同理，設(shè)B、C部門年齡全部為24、42，可發(fā)現(xiàn)24=34-10，42=34+8
→即「1個B部門人員比平均數(shù)少10，1個C部門成員比平均數(shù)多8」。
→B：C部門人數(shù)存在8:10的關(guān)系

可得A：B：C部門人數(shù)比恰好為6:8:10，簡化為3:4:5，即ABC部門各有3、4、5人，直接代入平均數(shù)公式計算即可。

全體人員平均年齡為：
（38×3+24×4+42×5）÷（3+4+5）
=（114+96+210）÷12
=420÷12=35，B選項正確。

「賦值」是一個非常簡便有效的方法，熟練掌握后可使得很多題的做題過程變的簡單。這道題的解題過程同時應(yīng)用了「賦值」「極限值」「最小公倍數(shù)」等技巧，是一道很不錯的題目。

注意B部門比例恰好在兩次賦值時數(shù)值相同，如果不同，再按比例轉(zhuǎn)化一次即可。

十、例題9：極限題的極限值選擇

【2011國考79題】某城市9月平均氣溫為28.5度，如當月最熱日和最冷日的平均氣溫相差不超過10度，則該月平均氣溫在30度及以上的日子最多有多少天？
（A）24
（B）25
（C）26
（D）27

該月平均氣溫在30度及以上的日子最多有多少天？
（A）24
（B）25
（C）26
（D）27

正確率49%，易錯項C

列出題干數(shù)據(jù)關(guān)系：
①9月平均氣溫28.5度
②最熱、最冷日氣溫≤10度
③求30度及以上最多幾天

根據(jù)③「最多幾天」的描述，可確定②中最熱、最冷日氣溫差=10度，且只有兩種溫度，即：
最熱溫度=30度
最冷溫度=30-10=20度

可發(fā)現(xiàn)：
1個「最熱溫度」超出平均溫1.5度
1個「最冷溫度」低于平均溫8.5度

兩者天數(shù)之比=85:15=17:3，其中：
「最熱溫度」占17/20
「最冷溫度」占3/20

9月份30天，「最熱溫度」所占天數(shù)為：
30×17/20=25.5天

由于天數(shù)必須為整數(shù)，且本題求的為「最多有多少天」，因此必須向下取整，即為25天，B選項正確。

本題前面的步驟略復雜但并不難理解，但很多考生栽在最后一步。「天數(shù)」和「人數(shù)」一樣，必須為整數(shù)，因此「最多」時應(yīng)向下取整。同理，「最小」時向上取整。

「踏過萬水千山，小河溝翻船」的窘境是一定要盡量避免的。

十一、例題10：「極限」題的潛臺詞要求

【2010國考49題】某城市居民用水價格為：每戶每月不超過5噸的部分按4元/噸收取，超過5噸不超過10噸的部分按6元/噸收取；超過10噸的部分按8元/噸收取。某戶居民兩個月共交水費108元。

該戶居民這兩個月用水總量最多為多少噸？
（A）21
（B）24
（C）17.25
（D）21.33

該戶居民這兩個月用水總量最多為多少噸？
（A）21
（B）24
（C）17.25
（D）21.33

正確率38%，易錯項B

列出題干數(shù)據(jù)關(guān)系：
①不超過5噸：4元/噸
②5~10噸：6元/噸
③10噸+：8元/噸
④兩個月共交108元，求用水總量最多

根據(jù)①②③的描述可看出，水用的越多，交費越多，因此兩月用水總量最多時必然用水量相等，此時每月交費相等，即為108÷2=54元。

由于用水量增多時，不影響之前限額的水價，因此逐階段考慮交費情況即可。

5噸→5×4=20元
10噸→20+（10-5）×6=50元
此時距離54元還有4元的距離，即10+后的用水量為4÷8=0.5噸

即：
每月用水量=10+0.5=10.5噸
兩月最多用水=10.5×2=21噸，A選項正確。

每道「極限」題都有潛臺詞，即「想要達到這個極限，必須在其他方面做到極限」。本題水費越來越高，顯然每月用水量相等時，單月最高用水量產(chǎn)生高價的量最小，即符合題干「用水量最多」的要求。

本題誤選C的很多，C屬于「最少多少噸」，情況為「兩月中一個月不用水」。

十二、例題11：是做對了，還是蒙對了呢？

【2010國考53題】科考隊員在冰面上鉆孔獲取樣本，測量不同孔之間的距離，獲得的部分數(shù)據(jù)分別為1米、3米、6米、12米、24米、48米。

科考隊員至少鉆了多少個孔？
（A）4?
（B）5?
（C）6?
（D）7

科考隊員至少鉆了多少個孔？
（A）4?
（B）5?
（C）6?
（D）7

正確率31%，易錯項C

列出題干數(shù)據(jù)關(guān)系：
①鉆孔，測不同孔之間的距離為1、3、6、12、24、48米
②求至少鉆多少孔

很顯然，以某個孔為基準，則距離該孔1、3、6、12、24、48米處各鉆一個孔，則共有7個孔。如果有的小伙伴也是這么想的，那么要恭喜做對了這道題，但是本題并不這么簡單。

觀察題干可發(fā)現(xiàn)，其要求的是「不同孔之間的距離」，而不是「不同孔距離第一孔之間的距離」，因此要思考有沒有可能是其他2孔之間的距離也符合要求。例如，如果不同孔之間的距離為1、2、3，則只需要3個孔，而不需要4個孔，如圖：

上圖中AB=1m，AC=2m，則BC=3m，不需要鉆第4個孔。

而觀察本題可發(fā)現(xiàn)：
1+3＜6
1+3+6＜12
1+3+6+12＜24
1+3+6+12+24＜48

也就是說，即使所有孔在一條直線上，前面的空距離最大值（相加之和）也達不到后面孔的距離，因此不存在「利用前面孔的距離來少鉆后面孔」的情形，因此D選項正確。

不知道各位小伙伴是做對的多，還是蒙對的多呢？

本題雖然沒有直接考察「極值」，但是卻將「多孔組合成新距離」的陷阱埋在了題目的敘述中，目的就是測試考生能否認識到這一點。

這道題還需要注意「測6個距離」需要「7個孔」的關(guān)系。