卡方分布密度函數(shù)的推導(dǎo)過(guò)程，用到了隨機(jī)變量復(fù)合函數(shù)的概率，包括平方和求和兩種運(yùn)算，其過(guò)程還是比較復(fù)雜的。

假設(shè)

當(dāng)

對(duì)于

由于

兩個(gè)隨機(jī)變量之和的概率密度是通過(guò)卷積來(lái)求的：

也就是

將圖b與圖x對(duì)比，不考慮系數(shù)因素，可以推知 fn 的表達(dá)式中包含因子

因?yàn)閳Dx中包含因子y^(1/2-1),圖b中包含因子x^(2/2-1)。這一點(diǎn)可以用另外方法證明。

再將圖b中后面的積分用大寫(xiě)的C1表示，得到：

圖b的意思是圖a的積分中，x只是一個(gè)常數(shù)，因此可以假設(shè)t=ux,這應(yīng)該沒(méi)有問(wèn)題。

意思是把自由度為n+1的卡方分布，分解成自由度為n和自由度為1的卡方分布之和，由意思分析可以得出：

其中的大寫(xiě)的Cn就代表

小寫(xiě)的cn就按公式

進(jìn)行計(jì)算。

這段話的意思是說(shuō)，圖1與圖2的表達(dá)式相比，經(jīng)過(guò)暴力計(jì)算，

就等于

也就是自由度為（n+1）的卡方分布的系數(shù)。

由此可以看到，這個(gè)證明的最后，其系數(shù)的確定只是經(jīng)過(guò)計(jì)算表明兩者一致，這個(gè)證明還沒(méi)有完全從理論上給出。

這個(gè)卡方分布令人感到困惑的地方就是，一個(gè)由很多個(gè)隨機(jī)變量組成的變量，它的概率分布怎么就會(huì)和一個(gè)用于求階乘的伽馬函數(shù)如此緊密地聯(lián)系在一起呢