我們來計算兩個超幾何函數(shù)的積分

先看第一個，因為是無窮區(qū)間上的廣義積分而且還是平方的形式，可以考慮積分變換里面的卷積定理，這里我們采用梅林變換，因為超幾何函數(shù)的梅林變換是很容易得到的。

這梅林變換利用2F1的積分表達或者拉馬努金主定理就能得到。再利用梅林變換的卷積定理有

令s=c得到

帶入數(shù)據(jù)得到第一題的結(jié)果

再來看3F2的這個積分，難度提升了不少，首先由拉馬努金主定理給出梅林變換

那么利用卷積定理我們有

該問題的關(guān)鍵是如何計算這無窮高直線上的積分，也許會想到像處理barnes積分一樣，但是這個地方不好計算，但是注意到γ的選取是任意的，通過待定系數(shù)法很容易找到最合適的γ=1/4

于是積分可寫為

注：

梅林變換的卷積定理:

對于第二個積分能否直接和barnes積分一樣使用留數(shù)計算呢？也就是直接計算積分

而存在的問題就是需要計算一個4F3以及二階極點的留數(shù)，好像并不容易。