3.????? 歐拉方程(Euler Equation)

在兩期模型中，效用最大化收跨期預算約束的影響。這也就是說，

效用最大化受下面這個等式影響。

而且在高中的時候，我們就知道導數(shù)是函數(shù)在一點上的變化率，所以在經(jīng)濟中，邊際效用就可以通過導數(shù)來表達。在一次導的情況下，我們可以得出

這個公式是現(xiàn)代宏觀經(jīng)濟學的基礎——歐拉方程(Euler Equation)。讓我們?yōu)殡y看看我們能從歐拉公式中學到些什么。首先，是最明顯的，時期1的消費邊際效用（marginal utility of consumption）等于時期2的消費邊際效用乘總利率乘耐心度。這就相當于一個邊際成本和邊際收益的等式。因為在時期1，消費者除了消費就是存款，U'(C1)是在時期1每增加一單位的消費得到的效用。當然，我們也可以反著來說，U'(C1)是在時期1每放棄一單位的消費所支付的成本（收獲開心的機會成本）。而

就是在時期2每增加一單位的消費得到的效用。到這里，我們就會有一個疑問，如果他倆不相等會怎么樣？假設，

我們可以發(fā)現(xiàn)，消費者在時期1消費的效用大于在時期2消費收到的效用。這說明消費者可以減少時期2的消費并在時期1多消費一點。

如果

消費者在時期2消費收到的效用大于時期1消費收到的效用，那消費者可以減少時期1的消費并在時期2多消費一點。這樣，只有等式成立，消費者才不會改變他們的消費。這時，消費者的決定是最合意的，他們的效用也最大化了。

4.????? 消費平滑化(Consumption Smoothing)

歐拉方程也向我們解釋了消費平滑化的問題。首先，什么是消費平滑化？

從這張圖，我們可以看出來，消費曲線（紅線）要比收入曲線（藍線）更加平緩，波動更少。這說明消費者的消費變化很小，也就是消費很平滑。

通過上圖和

我們可以知道，消費者收到的效用在U(C1)和U(C2)之間。因為邊際效用遞減，在高消費的時候減少一單位消費所放棄的效用要小于在低消費的時候增加一單位消費所得到的效用。因此，消費者們都愿意在消費少的時候盡可能的多消費一點，在消費高的時候盡可能節(jié)省一點，就如同歐拉方程所表達的那樣。因此，消費者們喜歡平滑化他們的消費。