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原文出處：拓端數(shù)據(jù)部落公眾號

簡介

本文對結(jié)構(gòu)方程模型進(jìn)行效能分析。

本文從一些簡單的例子開始。其余部分提供了一些關(guān)于統(tǒng)計背景的說明，各種效應(yīng)大小的定義，以及本包所含函數(shù)的詳細(xì)描述。

背景介紹

數(shù)學(xué)模型的統(tǒng)計評價通常是通過考慮測試統(tǒng)計量來進(jìn)行的，測試統(tǒng)計量表示觀察數(shù)據(jù)和擬合模型的數(shù)據(jù)之間的差異。在SEM中，大小為N的樣本的相關(guān)測試統(tǒng)計量由T = F?(N - 1)給出。F?表示所選差異函數(shù)（如最大似然）的最小化樣本值，從而表明模型與樣本數(shù)據(jù)的不匹配。因此，T允許對模型正確的無效假設(shè)（H0）進(jìn)行似然比檢驗(yàn)。如果假設(shè)的模型在總體中成立，可以證明T在漸進(jìn)上遵循中心χ 2（df）分布，df=.5-p（p+1）-q自由度，其中p是表現(xiàn)變量的數(shù)量，q表示自由參數(shù)的數(shù)量。這就是為什么T經(jīng)常被稱為 "卡方模型檢驗(yàn)統(tǒng)計量"。

給出一個卡方檢驗(yàn)統(tǒng)計量的觀察值，可以進(jìn)行一個無效假設(shè)的顯著性檢驗(yàn)。通常的檢驗(yàn)過程如下。給定一個特定的α-誤差水平（通常是α=0.05），從漸近中心χ 2（df）分布中得到一個臨界卡方值。如果卡方檢驗(yàn)統(tǒng)計量的觀察值超過臨界值，則拒絕模型符合數(shù)據(jù)的無效假設(shè)。否則，H0被保留。發(fā)現(xiàn)觀察統(tǒng)計量超過臨界值（意味著上尾概率低于指定的α水平），就會導(dǎo)致統(tǒng)計學(xué)上的判斷，即假設(shè)和實(shí)際人口協(xié)方差矩陣之間的差異太大，不能僅僅歸因于抽樣誤差。因此，具有統(tǒng)計學(xué)意義的卡方檢驗(yàn)統(tǒng)計數(shù)字提供了反對假設(shè)模型有效性的證據(jù)。

當(dāng)使用這個框架測試統(tǒng)計假設(shè)時，會出現(xiàn)兩種類型的錯誤。不正確地拒絕一個真正的H0（一個正確的模型）的α錯誤（或I型錯誤）和不正確地保留一個錯誤的H0（一個錯誤的模型）的β錯誤（或II型錯誤）。

如果H0為假，則卡方檢驗(yàn)統(tǒng)計量不再是中心χ 2（df）分布，而是可以證明遵循非中心χ 2（df，λ）分布，具有非中心性參數(shù)λ和期望值df + λ（MacCallum, Browne, & Sugawara, 1996）。非中心性參數(shù)λ將非中心χ 2（df，λ）分布的期望值移到相應(yīng)中心分布的右邊。在確定了與中心χ 2（df）分布的期望α概率相關(guān)的臨界值之后，可以通過構(gòu)建具有一定非中心性參數(shù)λ的相應(yīng)非中心χ 2（df，λ）分布并獲得該分布向右的面積（即。相應(yīng)地，統(tǒng)計效能是非中心χ 2（df，λ）分布在臨界值右邊的面積（即積分）。一般情況如圖1所示。

圖1描述了中心（實(shí)線）χ 2（df）和非中心（虛線）χ 2（df，λ）分布，df=200，λ=100。中心分布χ 2（df）在臨界值右側(cè)的面積反映了α誤差。實(shí)線表示臨界值為234，對應(yīng)于α=0.05。虛線表示從折衷效能分析中得到的臨界值為244，與α=0.018有關(guān)。臨界值左邊的χ 2（df，λ）分布區(qū)域是β-錯誤概率（臨界值234和244的β=0.006和β=0.018）。統(tǒng)計效能定義為1-β，即臨界值右邊的非中心χ 2（df，λ）分布下的面積。

衡量標(biāo)準(zhǔn)

為了定義H0和H1模型之間的差異，可以使用任何基于非中心性的效果測量。

F0

F0是最大似然擬合函數(shù)的總體最小值，定義為

其中Σ是p總體協(xié)方差矩陣，Σ?是p模型隱含的協(xié)方差矩陣，p是觀測變量的數(shù)量。如果模型是正確的，Σ?=Σ，F(xiàn)0=0。否則，F(xiàn)0>0，數(shù)值越大，表示模型與數(shù)據(jù)的差異越大（不匹配）。?

RMSEA

近似根均方誤差（RMSEA；Browne & Cudeck, 1992；Steiger & Lind, 1980）通過模型的自由度來衡量F0。

使RMSEA以零為界，較低的值表示較好的擬合。隱含的F0是：?

用RMSEA來定義一個效應(yīng)需要說明自由度。

Mc

Mc（McDonald，1989）是F0在0-1區(qū)間上的變換，數(shù)值越大表示越適合。

GFI

擬合指數(shù)（GFI；J?reskog & S?rbom, 1984；Steiger, 1990）在0-1的區(qū)間內(nèi)對F0進(jìn)行標(biāo)度，數(shù)值越高表示擬合度越好。?

由于GFI取決于觀察變量的數(shù)量（p），在用GFI定義效能時需要提供這個數(shù)字。

AGFI

調(diào)整后的擬合指數(shù)（AGFI；J?reskog & S?rbom，1984；Steiger，1990）對GFI進(jìn)行了修改，包括對自由參數(shù)數(shù)量的懲罰，由模型的自由度來衡量。

用AGFI來說明效果，需要同時說明觀察變量的數(shù)量（p）和模型的自由度（df）。

不基于非中心性的方法

不基于非中心性的擬合指數(shù)與F0沒有直接的關(guān)系，因此不太適合于效能分析。但是，如果通過H0和H1協(xié)方差矩陣來定義效應(yīng)，至少可以計算出度量。

SRMR

標(biāo)準(zhǔn)化根-均方殘差（SRMR）是對（標(biāo)準(zhǔn)化）模型和總體協(xié)方差矩陣之間平均（平方）差值的衡量，因此它的范圍是0到1，數(shù)值越小表示擬合度越高。設(shè)E0為模型隱含與人群協(xié)方差矩陣之間的差值，E0=Σ-Σ?，vech表示矢量化變換，Q為維度為.5p(p+1)的對角矩陣，包含觀測變量i和j的標(biāo)準(zhǔn)差的乘積的逆值，那么，SRMR可以定義為

殘差矩陣E0與F0的關(guān)系很復(fù)雜，取決于模型隱含的協(xié)方差矩陣，所以SRMR不太適合用F0來定義效應(yīng)（基于ML估計）。

CFI

比較擬合指數(shù)（CFI）是一個增量指數(shù)，表示假設(shè)模型（F0H）相對于空模型（F0N）的不合適比例減少，空模型被定義為一個將所有協(xié)方差約束為零的模型。在總體中，CFI的范圍是0到1，數(shù)值越高表示越適合。

雖然從CFI獲得F0很簡單，但這需要知道F0N，而這是很難先驗(yàn)確定的。

Power Analysis效能分析

進(jìn)行效能分析時，一般需要說明要檢測的效應(yīng)的量度和大小，并提供模型的自由度。根據(jù)效能分析的類型，還需要進(jìn)一步的論據(jù)。本節(jié)假設(shè)效應(yīng)是以上述方法之一來指定的，如何借助模型隱含的和總體協(xié)方差矩陣來定義效應(yīng)。

A-Priori：確定所需的N，給定α、β、效應(yīng)和df

先驗(yàn)效能分析的目的是在給定的α誤差下，確定檢測一個效應(yīng)所需的樣本量。在結(jié)構(gòu)方程模型的語言中，先驗(yàn)?zāi)芰Ψ治鰡柕氖牵?#34;我需要多少個觀測值才能達(dá)到效果？如果我的模型實(shí)際上是錯誤的（在所選效應(yīng)定義的范圍內(nèi)），我需要多少個觀測值才能以X%的概率（力量）來證偽我的模型？

進(jìn)行先驗(yàn)的效能分析需要指定α誤差、所需的效能（或者，等同于可接受的β誤差）、效應(yīng)的類型和大小以及模型df。根據(jù)所選擇的效應(yīng)大小指標(biāo)，可能還需要定義觀察變量的數(shù)量。?

假設(shè)，我們想要檢測一個模型（涉及df=100個自由度）的錯誤說明所需的樣本量，在α誤差為0.05的情況下，效能為80%，其中失擬量對應(yīng)于RMSEA=0.05。將結(jié)果存儲在一個名為ap1的列表中。?

1. effect = .05, effect.measure = 'RMSEA',

2. alpha = .05, power = .80, df = 100

3. 


在ap1上調(diào)用總結(jié)方法，輸出結(jié)果和相關(guān)的中心和非中心卡方分布圖?

這表明N=164產(chǎn)生了大約80%的效能來檢測指定的效果。輸出結(jié)果進(jìn)一步顯示了臨界Chi-Square，非中心性參數(shù)（NCP），以及錯誤概率之間的比率（隱含Alpha/Beta比率）。在這個例子中，阿爾法和貝塔之間的比率是0.25，表明犯Beta錯誤的可能性是犯Alpha錯誤的四倍。這顯然是所選輸入?yún)?shù)的結(jié)果，因?yàn)?.80的效能（1-β）意味著0.20的β誤差，是所選0.05的α誤差的四倍。?

1. effect = .05, effect.measure = 'RMSEA',

2. alpha = .05, power = .80

現(xiàn)在我們也得到了RMSEA=0.05的GFI和AGFI等效值，假設(shè)df=100，p=20。當(dāng)然也可以不指定所需的效能，而是指定可接受的β誤差。例如，調(diào)用?

1. effect.measure = 'RMSEA',

2. alpha = .05, beta = .20, df = 100, p = 20

?

給出了與上述相同的輸出。如果你對一定范圍內(nèi)的樣本量的效能變化感興趣，要求提供效能圖是很有用的，下面會詳細(xì)說明。
?

事后分析Post-hoc：給定α、N、效應(yīng)和df，確定達(dá)到的效能

事后效能分析的目的是確定在給定的樣本量下，在一定的α誤差下檢測特定效應(yīng)的實(shí)際達(dá)到的效能。用結(jié)構(gòu)方程模型的語言來說，事后效能分析問的是："在我手頭的樣本中，有多大？在我手頭的樣本中，如果我的模型確實(shí)是錯誤的（至少在所選效應(yīng)定義的范圍內(nèi)），那么偽造我的模型的概率（力量）有多大？進(jìn)行事后效能分析需要明確阿爾法誤差、樣本量、效應(yīng)的類型和大小以及模型df。同樣，根據(jù)所選擇的效應(yīng)大小指標(biāo)，可能還需要定義觀察變量的數(shù)量。假設(shè)，我們希望在樣本量為N=1000的情況下達(dá)到的效能能夠檢測到模型（涉及df=100自由度）的錯誤，α誤差為0.05，其中錯誤擬合量對應(yīng)于RMSEA=0.05。我們將結(jié)果存儲在一個名為ph1的列表中。

1. posthoc(effect = .05, effect.measure = 'RMSEA',

2. alpha = .05, N = 1000

在ph1上調(diào)用總結(jié)方法，顯示效能非常高（效能>.9999）。相關(guān)的誤差概率是以更高的精度提供的。具體來說，β誤差為β=2.903302e-17，轉(zhuǎn)化為2.9-10-17=0.000000000000000029。在實(shí)踐中，在這些條件下，一個RMSEA>=.05（或F0>=0.25或Mc<=.882）的模型很不錯。隱含的α/β比率是1.722177e+15，表明犯α錯誤的可能性是犯β錯誤的2萬億（1015）倍。如果你對一系列不同程度的效果（例如，對于RMSEA從0.01到0.15）的效能變化感興趣，要求提供效能圖是很有用的，下面會詳細(xì)說明。

折衷效能分析：給定α/β比率、N、效應(yīng)和df，確定α和β

折衷效能分析的目的是在給定的效應(yīng)、一定的樣本量以及期望的α和β比率的情況下，確定α和β（以及相關(guān)的卡方檢驗(yàn)統(tǒng)計量的臨界值）（Moshagen & Erdfelder, 2016）。用結(jié)構(gòu)方程模型的語言來說，折衷分析問的是："在我手頭的樣本中，應(yīng)該如何處理？在我手頭的樣本中，我應(yīng)該如何選擇卡方模型檢驗(yàn)的臨界值，來決定我的模型是與完全擬合的假設(shè)相一致時獲得相應(yīng)的α和β誤差？

假設(shè)，我們想確定臨界卡方和相關(guān)的α和β誤差，使它們相等（即比率為1）。我們的模型涉及100個df，我們的樣本量為N=1000，我們將不可接受的不合適H1模型定義為RMSEA至少為0.08的模型。將結(jié)果存儲在一個名為cp1的列表中。

1. compromise(effect = .08, effect.measure = 'RMSEA',

2. N = 1000, df = 100)

結(jié)果顯示，選擇臨界Chi-Square=312與平衡錯誤概率有關(guān)，α=1.2e-23和β=1.2e-23。按照要求，這兩個錯誤概率都一樣大。如果出于某種原因，你希望錯誤概率不同（例如，因?yàn)槟阏J(rèn)為錯誤地接受一個不正確的模型比錯誤地拒絕一個正確的模型要差100倍），你可以改變abratio參數(shù)。例如，要求α誤差是β誤差的100倍，可以通過設(shè)置 abratio = 100 來實(shí)現(xiàn)。?

1. compromise(effect = .08, effect.measure = 'RMSEA',

2. abratio = 100, N = 1000, df = 100)

Power Plots效能圖

效能圖顯示了隱含的效能與其他一些變量的關(guān)系。你可以繪制在不同樣本量范圍內(nèi)檢測某一效應(yīng)的實(shí)現(xiàn)效能?；蛘撸憧梢栽诮o定的N下繪制達(dá)到的效能，以檢測不同效應(yīng)大小的范圍。

確定給定效應(yīng)的效能是N的函數(shù)

創(chuàng)建了一個圖，顯示了在一定的樣本量范圍內(nèi)檢測一個給定的效應(yīng)的達(dá)到的效能。然而，由于很難指定給定效應(yīng)的診斷樣本量，我們需要提供所需的效能范圍。例如，假設(shè)我們對檢測RMSEA=.05的效應(yīng)的效能如何隨N的變化而變化感興趣，我們對從.05到.99的效能感興趣（注意效能不能小于α）?？梢酝ㄟ^設(shè)置參數(shù)power.min = .05和power.max = .99來實(shí)現(xiàn)。此外，與任何先驗(yàn)的效能分析一樣，需要定義效應(yīng)的類型和大小、df和α誤差。

powerPlot

這表明，當(dāng)N>250時，一個相關(guān)的RMSEA=0.05的模型被拒絕的效能非常大，而當(dāng)N<100時，效能就很小。

在給定的N下，確定效能與效應(yīng)大小的函數(shù)關(guān)系

創(chuàng)建了一個圖，顯示在給定的樣本量下，在效應(yīng)大小范圍內(nèi)達(dá)到的效能。例如，假設(shè)我們對N=500時的效能如何隨效應(yīng)大小的變化而變化感興趣，對應(yīng)的RMSEA范圍是0.001到0.10。此外，與任何事后效能分析一樣，需要定義樣本量、df和α誤差。

PlotEffect

這表明，在N=500的情況下，一個相關(guān)的RMSEA>0.04的模型被檢測到的效能非常大，而RMSEA<0.03的效能則相當(dāng)小。

參考文獻(xiàn)

? Browne, M. W., & Cudeck, R. (1992). Alternative ways of assessing model fit. Sociological Methods & Research, 21, 230–258.

? J?reskog, K. G., & S?rbom, D. (1984). LISREL VI user’s guide (3rd ed.). Mooresville: Scientific Software.

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