【導論】

????? 研究空間直角坐標系，首先需要知道空間直角坐標系的定義，以及空間中兩點間的距離公式。

向量是空間直角坐標系的重要角色。向量的基礎概念在高中已經學習過，在回顧一遍。向量相等的條件是模的大小相等，方向一致，共線的條件則是方向一致或者相反。向量的基礎運算，包括加減，乘法。還有與某一個向量方向一致，但是模的長度為1的，我們稱之為單位向量。后面則可以討論向量與空間直角坐標系的關系。向量向坐標軸投影，類似于我們高中所學的因式分解，將一個任意方向的向量分解為三個方向向量的加和，有助于我們對空間向量進行定量計算。描述一個空間中的向量，需要討論它的模（長度）以及與x，y，z軸的方向。另外，在電腦文體中，以標紅形式表示向量。

向量之間的積有三種，一種是較為簡單的數量積，第二種是定義了與兩向量所構成平面垂直的數量積，還有一種是同時運用了數量積和向量積的混合積。其中數量積最為常用，而向量積則在之后的空間線面計算中有奇效。

在學習完向量的知識以后，我們可以從面入手?？臻g中的面分為曲面和平面，曲面中又含有柱面和旋轉曲面（這里討論范圍限定在橢球面，橢圓拋物面，橢圓錐面，單葉雙曲面，雙葉雙曲面，馬鞍面）這些用傳統(tǒng)的幾何方式難以解決，所以必須數形結合，用坐標，向量的知識配合圖形以進行精準的定量計算。面可以用通用的方程F（x，y，z）=0來進行描述，而平面的方程則更為簡潔，是關于x，y，z的一次方程，除了一般式之外還可以用點法式來進行描述，即知道垂直平面的向量以及過一定點，即可“橫切”出一個平面。在對平面定量分析的基礎上，可以計算兩平面夾角和點面距離。

空間中的線，是三維空間中的二維結構，簡單來講就是兩個面相交得出一條線。線分為曲線和直線，描述曲線的有一般方程和參數方程，描述直線的有一般方程，對稱式方程和參數方程。而過直線的平面有無數個，可以推導出這些平面的集合，即平面束。關于直線的計算有兩直線的夾角，線面夾角以及平行垂直的特殊情況討論。

【正文】

一、坐標系

Ⅰ空間直角坐標系（八個卦象）

插圖1

插圖2

插圖3

插圖4

?ab=|a||b|cosθ =a Prj （a） b

（2）向量積

插圖5

①大?。簗c|=|a||b|sinθ

②方向：c垂直于a，b所在平面，且a向b旋轉（a x b）時，若為逆時針則指向上方向，若為順時針則指向下方向。

③平行判定：ax b=0

④運算定律

a x b+b x a=0

（a+b）x c=axc+bxc

（λa）xc=ax（ λc）

⑤行列式：關于向量積叉乘，我們可以用坐標的方式進行定量計算。

插圖6

（3）向量混合積

①定義：abc：（axb）c=（axc）b

②意義：表示為以a，b，c為棱的平行六面體的體積

?

三、面

Ⅰ曲面

1定義：x，y，z三者的關系方程可以描述曲面，即F(x,y,z)=0

2柱面：直線l作為母線，沿著定曲線C（即準線）平行移動形成的曲面為柱面。比如說，F(x,y)=0表示以C 為準線，l平行于z軸的柱面，其中z是任取的。

3旋轉曲面：以YoZ上圖形為例

插圖7

插圖8

插圖10

插圖11

Ⅱ平面

1表示方式

（1）點法式：用已知點以及法向量來確定一個平面的辦法。

①設M0：（x0，y0，z0），n=（A,B,C），M：（x，y，z）

②n MM0=0，A（x-x0）+B（y-y0）+C(z-z0)=0.這里運用的是向量垂直的基本法則

（2）一般式：Ax+By+Cz+D=0。這就是平面方程的待定系數

（3）截距式：x\a+y\b+z\c=1, ?a,b,c為x，y，z軸截距

2相關計算

（1）平面夾角：用兩個平面的法向量的夾角θ 來計算，兩個平面的夾角即其法向量夾角（在0°與90°之間）。

Cosθ =|cos（n1，n2）|

（2）點到平面：Ax+By+Cz+D=0

P0：（x0,y0,z0） P1(x1,y1,z1) P1為垂足

插圖13

四、線

Ⅰ曲線

1描述

（1）一般方程：用兩個面的方程組來確定一條曲線

F（x,y,z）=0

G(x,y,z)=0

（2）參數方程：

X=x(t)

Y=y(t)

Z=z(t)

2坐標面投影

插圖14

C為準線，l母線平行于z軸，C投影到XOY平面上，C’為投影曲線，投影柱面的方程可以描述為：

H(x，y)=0

z=0

Ⅱ直線

1描述方式

（1）一般方程（通用方程）

①A1x+B1y+C1z+D1=0

②A2x+B2y+C2z+D2=0

（2）對稱式方程-參數方程

①設方向為s=（m，n，p），M0：（x0，y0，z0）為起點，

M（x，y，z）為線上點，M0M=（x-x0，y-y0，z-z0）

②向量平行公式：

(x-x0)\m=(y-y0)\n=(z-z0)\p

當m，n，p中分母有一項為零時，那么分子對應也為零

③由向量平行公式推導參數方程：

X=x0+mt

Y=y0+nt

Z=zo+pt

2相關計算

（1）兩直線夾角

根據對稱式方程，分母構成向量（m，n，p）與直線通向，那么向量的夾角其實就是直線的夾角

（2）線面夾角：

插圖15

本質就是先求出直線與法向量夾角的余弦值，然后其余弦值等于線面角的正弦值。本質仍然是兩直線夾角的求法

至于求線面交點，則聯(lián)立方程來解答。

（3）平面束

一根直線可以在無數個平面之中，只要一個平面同時滿足構成直線的兩個方程組，那么這個平面則包含這條直線。我們把所有滿足這樣條件的平面集合稱為平面束。

平面束基本形態(tài)

設線：A1x+B1y+C1z+D1=0

????? A2x+B2y+C2z+D2=0

平面束表示為：A1x+B1y+C1z+D1+λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0