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零膨脹泊松回歸分析

計數(shù)研究模型中，常用泊松回歸模型，但泊松回歸模型理論上是要求平均值與標(biāo)準(zhǔn)差相等，如果不滿足，則可使用負(fù)二項(xiàng)回歸模型。

在實(shí)際研究中，會出現(xiàn)一種情況即因變量為計數(shù)變量，并且該變量包括非常多的數(shù)字0，當(dāng)出現(xiàn)此種情況下，此時可考慮使用零膨脹泊松回歸模型，也或者零膨脹負(fù)二項(xiàng)回歸模型。零膨脹模型的特點(diǎn)是將模型分為兩階段進(jìn)行（即設(shè)置為混合分布模型），第1階段（零膨脹階段）為計數(shù)變量是否為0的擬合，SPSSAU默認(rèn)使用二元logit模型進(jìn)行擬合，第2階段為泊松分布模型擬合。零膨脹泊松回歸模型如下所示：

零膨脹泊松回歸模型分為兩個階段，第1階段即零膨脹階段可擬合因變量是否為0，此階段中可放入一些自變量X用于擬合因變量是否取數(shù)字0的模型，當(dāng)然也可不放入；第2階段放入的自變量X為真實(shí)研究的變量項(xiàng)。

實(shí)際研究中，如果因變量中出現(xiàn)較多的數(shù)字0時，則可使用零膨脹泊松回歸進(jìn)行研究，當(dāng)然還可以使用零膨脹負(fù)二項(xiàng)回歸模型。至于零膨脹泊松回歸模型與零膨脹負(fù)二項(xiàng)回歸模型的選擇上，建議可結(jié)合AIC或BIC信息準(zhǔn)則進(jìn)行判斷，以信息準(zhǔn)則值較小的模型作為最終模型。除此之外，相關(guān)文獻(xiàn)中還使用Vuong檢驗(yàn)進(jìn)行判斷，該檢驗(yàn)在學(xué)術(shù)研究中受到置疑問，SPSSAU暫未來提供該檢驗(yàn)（具體可參考下述文獻(xiàn): Wilson P . The misuse of the Vuong test for non-nested models to test for zero-inflation[J]. Economics Letters, 2015.）。

零膨脹泊松回歸案例

1 背景

當(dāng)前有一份關(guān)于美國犯罪率的研究，數(shù)據(jù)包括被捕次數(shù)，該變量為計數(shù)變量，并且包括大量的數(shù)字0（即被捕次數(shù)為0），除此之外，包括另外5個自變量，分別是‘有前科比例’、‘平均判邢月數(shù)’、‘18歲以來入獄月數(shù)’、‘1986年合法收’和‘是否黑人’，其中是否黑人這項(xiàng)，使用數(shù)字1表示黑人，數(shù)字0表示不是黑人。部分?jǐn)?shù)據(jù)截圖如下：

2 理論

零膨脹泊松回歸模型研究X對于Y的影響，且Y為計數(shù)變量且Y包括較多的數(shù)字0。除此之外，零膨脹泊松回歸模型分為兩個階段，第1階段為判斷Y是否為0的二元logit模型，第1階段中可包括影響Y是否為數(shù)字0的影響因素X，當(dāng)然也可沒有（如果沒有此為常數(shù)）；第2階段為真實(shí)的研究模型。

特別提示：

• 很多時候需要零膨脹泊松回歸模型與零膨脹負(fù)二項(xiàng)回歸模型進(jìn)行選擇對比使用，建議結(jié)合模型輸出的AIC或BIC信息準(zhǔn)則，以該兩值較小值對應(yīng)的模型作為最終模型。

• 研究中也可考慮首先過濾掉數(shù)字0然后進(jìn)行普通泊松回歸（甚至OLS回歸研究），但此種做法會丟失大量有意義樣本。

3 操作

本例子中研究被捕次數(shù)的影響因素，其中影響因素包括‘有前科比例’、‘平均判邢月數(shù)’、‘18歲以來入獄月數(shù)’、‘1986年合法收’和‘是否黑人’，操作截圖如下。

本案例時第1階段零膨脹模型并不包括任何影響因素，因而‘零膨脹項(xiàng)X【可選】’框留空，不放入分析項(xiàng)。與此同時，本案例數(shù)據(jù)為原始數(shù)據(jù)并非帶‘基數(shù)Exposure’格式數(shù)據(jù)，因而基數(shù)項(xiàng)框留空。

4 SPSSAU輸出結(jié)果

零膨脹泊松回歸模型一共輸出4個表格，說明如下：

5文字分析

上表格展示‘被捕次數(shù)’的數(shù)字0分布情況，從上表格可以看到，共計2725個樣本中有72.29%為數(shù)字0，因而意味著應(yīng)該使用零膨脹模型較為適合。

從上表格可以看到：模型通過似然比檢驗(yàn)(χ =213.709, p =0.000<0.05)，即意味著模型構(gòu)建有意義。除此之外，上表格展示出AIC值和BIC值，如果需要進(jìn)行模型對比選優(yōu)，可使用該兩個指標(biāo)，該兩個指標(biāo)值越小越好。

上表格展示出零膨脹泊松回歸結(jié)果，首先零膨脹模型中僅列出常數(shù)值，因?yàn)楸景咐辛闩蛎浤Ｐ筒]有設(shè)置影響‘被捕次數(shù)’是否為0的影響因素項(xiàng)。

從上表格可以看到：有前科比例呈現(xiàn)出0.01水平的顯著性，回歸系數(shù)值為-0.489，即意味著有前科比例越高時，被捕次數(shù)反倒越少。與此同時，合法收入也呈現(xiàn)出0.01水平的顯著性，該項(xiàng)回歸系數(shù)為-0.009<0，即意味著合法收越高的群體，其被捕次數(shù)越低。是否黑人這項(xiàng)的回歸系數(shù)為0.493并且呈現(xiàn)出0.01水平的顯著性，即說明相對來講，黑人群體被捕次數(shù)明顯會更高。與此同時，平均判刑月數(shù)、18歲以來入獄月數(shù)這兩項(xiàng)對于被捕次數(shù)并沒有影響關(guān)系，p值均大于0.05。

SPSSAU針對模型回歸系數(shù)進(jìn)行簡化格式展示，如上表格所示。

6 剖析

零膨脹泊松分析涉及以下幾個關(guān)鍵點(diǎn)，分別如下：

• 首先需確保因變量包括較多的數(shù)字0，如果不是這樣，此時應(yīng)使用普通的泊松模型即可；

• 如果需要在零膨脹泊松回歸模型或者零膨脹負(fù)二項(xiàng)回歸模型之間進(jìn)行取值，建議結(jié)合AIC或BIC信息準(zhǔn)則越小越好原理進(jìn)行決擇即可。

• 零膨脹模型時共有兩個階段，第1階段為零膨脹模型即研究因變量是否為0的模型，該模型中也可放入影響因素X，不放入時則該模型中僅有常數(shù)；第2階段模型為真實(shí)研究和關(guān)注的模型。