主要關(guān)注相變的三個toy model：

• Percolation model

• Ising model

• Potts model

  當(dāng)然第三個是第二個的推廣。

下面考慮的圖全部是hypercubic lattice Z^d，它代表Z^d這個格點集合（作為V）加上所有鄰近的邊（作為E）組成的圖。

說起來這跟實際物理系統(tǒng)的相變還是差的太遠(yuǎn)了。單純是水蒸發(fā)這個過程我們了解的也很少。不過上面的這三個模型可以作為有限維相變的toy model。

Bernoulli Percolation

考慮(bond) Bernoulli percolation，即每條邊獨立地以概率p open(1)，1-p closed(0)。這樣一個概率測度是良定義的，只需要通過有限維柱集構(gòu)建出sigma field就行了。p作為相變的參數(shù)。比如說p=0.51的時候畫出來的圖就是這樣的

可以看到存在一個很大的團(tuán)簇。我們想要考察的現(xiàn)象是無窮大cluster的存在與否。我們考慮這樣一個函數(shù)：

\theta(p)=P_p(0在一個無限大團(tuán)簇里面)

顯然這個函數(shù)具有如下性質(zhì)：

• \theta(0)=0

• \theta(1)=1

• \theta(p)隨p單調(diào)遞增

• \theta(p)隨維度d單調(diào)遞增

這只是很粗糙的刻畫。我們想知道(0,0)和(1,1)到底是怎么連接起來的。定義critical probability p_c:=\theta(p)開始大于0的點（inf）。下面的定理是研究的出發(fā)點：

對于d>1，0<p_c<1。

這個定理看起來很無聊，實際上是我們研究的出發(fā)點。它說明，在Bernoulli percolation中存在非平凡的相變現(xiàn)象，\theta(p)會從一段0之后的相變點上升到非0。這也是研究percolation的原因，如果沒有相變，那就沒什么奇怪的東西了。它至少讓我們稍微看清了\theta(p)的樣子，之后我們再去研究\theta(p)更加細(xì)致的刻畫，把它的樣子看得更清楚一些，比如是否連續(xù)，光滑，解析，等等。\theta(p)刻畫的就是相變過程，對相變的研究就是對\theta(p)樣子更清楚的分析。

要證明這個定理只是技術(shù)性的。下面來仔細(xì)分析一下。

第一部分是p_c>0。也就是要證明，對于很小的p，0所處的cluster必定是有限的。只需要做如下的概率估計：

P_p(0在無限大團(tuán)簇中)

<=P_p(對于任意n，存在0出發(fā)長度為n的self-avoiding path)

<=P_p(存在0出發(fā)長度為n的self-avoiding path)（任選一個n）

<=(2d)^n P_p(存在0出發(fā)長度為n的某條特定的self-avoiding path)

=(2dp)^n

這就證明了p_c>=1/(2d)，是一個更強(qiáng)的bound。

多說一句，\theta(p)隨d單調(diào)遞增，說明p_c隨d單調(diào)遞減。而1/(2d)這個lower bound也是單調(diào)遞減的。

第二個部分是p_c<1。這時候我們要請出更加有力的技術(shù)：對偶技術(shù)。

首先，因為\theta(p)隨d單調(diào)遞增，只需要證明二維的p_c<1。而對于二維平面，就可以做對偶。這個對偶是這樣定義的：（直接畫一張圖就明白了）

于是對于比較接近1的p，可以做一個粗糙的概率估計：

1-\theta(p)

=P_p(0所處的cluster有限大)

=P_p(對偶圖中有一個圈把0圍住)

<=\sum_n P_p(對偶圖中有一個圈把0圍住，這個圈與x軸正半軸的交點為n+1/2)

=\sum_n P_p(對偶圖中有一個邊長至少為2n+4的圈把0圍住，這個圈與x軸正半軸的交點為n+1/2)

<=\sum_n P_p(對偶圖中有一個邊長為2n+4的圈，這個圈與x軸正半軸的交點為n+1/2)

<=\sum_n 4^{2n+4}P_p(對偶圖中有一個特定的邊長為2n+4的圈，這個圈與x軸正半軸的交點為n+1/2)

=\sum_n?(4(1-p))^{2n+4}<1

于是\theta(p)>0。證畢。

綜上，我們證明了這個非平凡的相變現(xiàn)象的存在。

Lattice Spin Model

Lattice spin model相比于Bernoulli percolation就要復(fù)雜一點。一般的lattice spin model是這樣定義的：同樣是在d維格點上，每個格點賦予一個spin variable \sigma_x，spin一般地可以是一個向量，雖然在Ising/Potts模型里就是離散的一維數(shù)字。系統(tǒng)的狀態(tài)由整體的spin configuration \sigma刻畫，也就是所有\(zhòng)sigma_x的集合。

在這個系統(tǒng)上賦予概率測度。每個構(gòu)型\sigma分配到的權(quán)重為

C用來歸一化，其倒數(shù)就是配分函數(shù)（partition function）。Hamiltionian一般定義為相鄰點spin的點積之和的相反數(shù)，也就是Ising的那個形式，用來刻畫鄰近粒子之間的相互作用。它的意義是：完全同質(zhì)化的構(gòu)型能量最低，最穩(wěn)定。d\sigma這個測度怎么理解呢？它是“i.i.d.”的d\sigma_x的乘積測度，每個d\sigma_x相當(dāng)于說：“高溫極限”下，Hamiltonian變成0，每個spin都獨立地按照某一個概率分布取值，這個概率分布就是d\sigma_x。所以說這個d\sigma_x可以理解為“沒有相互作用的粒子的spin的概率分布”。在加上鄰近粒子的相互作用之后，測度就畸變了，要乘上一個Hamiltionian的指數(shù)項。所以可以想見在高溫下這個系統(tǒng)就是一片混亂，各個粒子都是各玩各的。

這個形式的測度叫做Gibbs測度，也就是統(tǒng)計力學(xué)里邊熟悉的Gibbs分布的樣子。\beta=1/(k_BT)即逆溫度，是系統(tǒng)的相變參數(shù)。其物理含義是很明顯的。溫度很高，\beta很小，前面已經(jīng)討論過。溫度很低，\beta很大，系統(tǒng)傾向于以大概率處于穩(wěn)定點即完全同質(zhì)化狀態(tài)?？梢韵胂筮@中間有一個相變。

到此為止這個概率測度還沒定義好，因為上面的定義只適用于有限子圖。如果要擴(kuò)展到整個Z^d上，必須把圖擴(kuò)大，然后把測度取weak limit。這個現(xiàn)在只是一提，以后仔細(xì)看。

另外要區(qū)分自由邊界(f)和邊界條件約束(b)。在物理上，后者相當(dāng)于說一塊磁鐵周邊spin給定。二者的極限測度也不同。

上面的定義是一般的lattice spin model。取具體的spin和\sigma就可以得到不同的模型。比如說：

• Ising模型，spin取+-1，d\sigma取為counting measure。

• Potts模型，把Ising模型推廣到多狀態(tài)（q個狀態(tài)）。d\sigma仍然取為counting measure。相同狀態(tài)的Hamiltonian還是-1，不同狀態(tài)則定義為1/(q-1)。這個1/(q-1)其實是無所謂的，變成其它數(shù)字只是相當(dāng)于把\beta變換一下，算一下就知道了。

• Spin O(n)模型。它的spin取為單位球面，測度取為均勻測度。它的意思相當(dāng)于說，自旋是一個自由旋轉(zhuǎn)的單位向量（1維就變回Ising了），同樣是自旋越接近能量越低，只不過變成了一個連續(xù)模型。

最后是lattice spin model的相變。它的相變相比于Bernoulli percolation也更復(fù)雜?？梢杂米园l(fā)磁化、長程有序、correlation的指數(shù)下降來表征相變，這樣就有三個critical inverse temperature。結(jié)果總結(jié)于下表：