跟大家講個(gè)事情，發(fā)生在2018年的一個(gè)清晨

那天和風(fēng)習(xí)習(xí)，我和我的朋友皮皮在飯?zhí)贸燥?，皮皮在網(wǎng)上看到了校園貸的廣告，由于家庭條件不好，生活費(fèi)緊張，皮皮動(dòng)了心。于是，他下載了相關(guān)APP，進(jìn)行了第一次貸款。

嘗到甜頭的小謝一發(fā)不可收拾，開(kāi)始了拆了東墻補(bǔ)西墻的生活。皮皮自認(rèn)為他的生活方式十分刺激，同時(shí)認(rèn)為自己推動(dòng)了資金的流通與轉(zhuǎn)移，為中國(guó)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展盡到了自己的綿薄之力。同時(shí)，他也發(fā)現(xiàn)自己實(shí)際上還款時(shí)的利率遠(yuǎn)大于廣告所宣傳的名義利率。由于皮皮是設(shè)計(jì)學(xué)院的，因此他

根 ?本 ?不 ?懂 ?數(shù) ?學(xué)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （以上故事純屬虛構(gòu)）

我呢，雖熱完全沒(méi)有接觸過(guò)這些東西，但是在網(wǎng)上，貼吧之類的地方，看見(jiàn)很多人，雖然看上去老謀深算，但是實(shí)際上嘛

一個(gè)公式就把他們搞暈了

今天就想幫幫他們

『10%的利息是怎么變成高利貸的？』

『自然常數(shù)e與連續(xù)復(fù)利關(guān)系』

說(shuō)明一下，方便閱讀，符號(hào)按照數(shù)學(xué)習(xí)慣使用，財(cái)經(jīng)方向的學(xué)生請(qǐng)以教材為準(zhǔn)！

單利計(jì)息法

單利是指一筆資金無(wú)論存期多長(zhǎng)，只有本金計(jì)取利息，而以前各期利息在下一個(gè)利息周期內(nèi)不計(jì)算利息的計(jì)息方法。

其中，n表示計(jì)息期數(shù)，a為一個(gè)計(jì)息期內(nèi)的利率。

例如借出100元，計(jì)息期為1年，年利率為1.05，那么

習(xí)慣中的“第一年”按數(shù)學(xué)習(xí)慣記為0年

計(jì)息期對(duì)利息的影響

計(jì)息期是指計(jì)算一次利息的時(shí)間間隔。

例如對(duì)于利率：0.05/年

如果計(jì)息期為1個(gè)月，那么每月月利率為0.05/12≈0.0041每月

由分式的性質(zhì)可以得出，對(duì)于單利來(lái)說(shuō)，不論計(jì)息周期是多少，對(duì)于一定的時(shí)間，我們實(shí)際獲得的本利和都是不變的。

分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

大家都知道整數(shù)次方的含義，例如32的含義是3*3，也就是說(shuō)xn的含義是x乘上n次。

那么分?jǐn)?shù)指數(shù)冪呢【初二以上自覺(jué)跳過(guò)】

把一個(gè)數(shù)乘上2.5次是什么意思？

?

分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是一個(gè)數(shù)的指數(shù)為分?jǐn)?shù)，正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是根式的另一種表示形式。分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是一個(gè)數(shù)的指數(shù)為分?jǐn)?shù).

來(lái)看看：

其中，n是正整數(shù)，m是非負(fù)整數(shù)，當(dāng)m=0時(shí)，式子得1.

這樣我們就可以把分?jǐn)?shù)指數(shù)冪拆解成整數(shù)

比如說(shuō)2^(3/2)=根號(hào)（2^3）

?

復(fù)利

和單利不同的是，復(fù)利將上個(gè)計(jì)息期的利息計(jì)入本金。這樣就形成了一個(gè)指數(shù)增長(zhǎng)的趨勢(shì)。稍有常識(shí)的人都可以理解，指數(shù)增長(zhǎng)速度是很**的。例如，對(duì)于年利率為0.05的情況：

第1年初利息為（0.05+1）×A=1.05A

第二年初利息為（0.05+1）^2×A=1.1025A

第三年初利息為（0.05+1）^3×A=1.57625A

來(lái)看看下面的圖片，就可以體現(xiàn)復(fù)利和單利對(duì)于同一本金A的本利和的區(qū)別

顯然，對(duì)于長(zhǎng)期貸款來(lái)說(shuō)，復(fù)利的收益顯著高于單利。

連續(xù)復(fù)利

如果債主讓你明確知道了復(fù)利計(jì)息，并告知了你利率，你覺(jué)得還有什么貓膩嗎？不要忘記我們前面提到了計(jì)息期。

為了方便定義，經(jīng)濟(jì)學(xué)中將我們上面所接觸的年利率稱為“名義年利率”。

“名義”這個(gè)詞，emmmm，聽(tīng)起來(lái)有點(diǎn)意思呀。在單利的情況下，如果我們將計(jì)息期縮短，每期的利率也以相同的形式減少，因此計(jì)息期的變化不會(huì)影響單利的本利和。

復(fù)利可就不一樣了，由于每期的利率以分式的形式減少，而期數(shù)則加在指數(shù)上，這種變化并不對(duì)稱，本利和當(dāng)然就會(huì)變。

例如

年復(fù)利公式

月復(fù)利公式

日復(fù)利公式

變小還是變大？

假設(shè)年名義利率是10%，我們來(lái)計(jì)算1年內(nèi)的情況

當(dāng)計(jì)息期為1年的時(shí)候，本利和為1.1A

計(jì)息期·為1.1047A

1.1051A

為了方便大家理解，用軟件作圖，表示當(dāng)利率都是10%時(shí)，當(dāng)計(jì)息期分別為年，月，日時(shí)本利和的變化規(guī)律

從中可以看出，當(dāng)計(jì)息期縮短的時(shí)候，即使每期的利率除以了相應(yīng)值，本利和依然增大。

這種增大的趨勢(shì)是不是無(wú)限的呢?試想我想多賺點(diǎn)，設(shè)計(jì)一個(gè)秒利，每秒記一次利息，那么最終本利和會(huì)變得非常大嗎？

第二重要極限

極限是一種數(shù)學(xué)概念，例如y=1/x，當(dāng)x無(wú)窮大的時(shí)候，y變得越來(lái)越小娥，好像和0一樣，我們就說(shuō)當(dāng)x趨近于正無(wú)窮時(shí)，1/x趨近于零。

借助某高科技暴力計(jì)算

,他的結(jié)果如下表

將他的圖線畫出，我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)函數(shù)隨著x的增大趨近于一個(gè)固定值。

這個(gè)值是多少呢？別問(wèn)我，我不知道。（←_←）

我們不知道這個(gè)值的準(zhǔn)確值是多少，但是它是一個(gè)在2.7~2.8的一個(gè)數(shù)。我們就把它記做e吧

數(shù)學(xué)老師告訴我：只要括號(hào)內(nèi)第二項(xiàng)和指數(shù)項(xiàng)是倒數(shù)關(guān)系，那么他的極限就是e。

那么就有

其中n表示年數(shù)

直觀的觀察下面的圖片，就可以看出單利。年復(fù)利。連續(xù)復(fù)利情況下本利和的變化了

借款有風(fēng)險(xiǎn)，自己動(dòng)手，豐衣足食?(^?^*)

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最后在問(wèn)大家一個(gè)問(wèn)題：

既然有第二重要極限，你們知道第一重要極限是什么嗎？

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