【趣味數(shù)學題】勾股容圓《九章算術·勾股16》
鄭濤 (Tao Steven Zheng) 著
【問題】
《九章算術·勾股16》
【原文】
今有勾八步，股十五步。問：勾中容圓徑幾何？
【今譯】
假設一個勾股形的勾是 8 步，股是 15 步。問：勾股形中內接一個圓，它的直徑是多少？
?
【題解】
設 為三角形的邊長，其中
為斜邊。令
為內接圓的半徑、?
為內接圓的直徑。把直角三角形分成 6 塊（圖 1）：2 塊朱色三角形、2 塊青色三角形、2 塊黃色三角形。
?
將把三種顏色的長方形復制 4 次（圖 2 上），然后把兩個同顏色的三角行拼成長方形（黃色三角形拼成正方形），再拼成一個大長方形（圖 2 下）。用這個大長方形來推導 3 個不同計算內接圓值徑的公式。
公式 1
大長方形的面積等于 4 個直角三角形的面積：
公式 2
從（圖 2 下）中可以立即看出：
已知 和
, 所以
公式 1
公式 2
因此，內接圓的直徑為6步。
《九章算術》的答案與解法
【原文】
答曰：六步。???????????
術曰：八步為勾，十五步為股，為之求弦。三位并之為法，以勾乘股，倍之為實。實如法得徑一步。
【今譯】
答案：6 步。
解法：以8步作為勾，15步作為股，求它們相應的弦。勾、股、弦三者相加，作為法，以勾乘股，加倍，作為實。實除以法，得到直徑的步數(shù)。
