常微分方程（二）

2022-10-09 20:21 作者:啊啊啊每當(dāng)想起你 0人讀過(guò) | 我要投稿

前言：

本節(jié)介紹第二章：一階常微分的初等解法.

有一說(shuō)一其實(shí)筆者之前學(xué)過(guò)高數(shù)，所以對(duì)一階常微分方程的解法中的分離變量和常數(shù)變異法這兩種方法多少有點(diǎn)印象，本章除了介紹這兩種方法外還介紹了一種積分因子法（針對(duì)全微分方程的）.

2.1變量分離方程與變量變換

2.1.1變量分離方程

? ? 變量分離方程：形如

???? $%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3Df(x)%CF%86(y)$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2.1）

稱(chēng)為變量分離方程，這里 $f(x)%EF%BC%8C%CF%86(y)$ 分別是關(guān)于x，y的連續(xù)函數(shù).

如果 $%CF%86(y)%5Cneq0$ ，可將方程改寫(xiě)（即分離變量）為：

???? $%5Cfrac%7Bdy%7D%7B%CF%86(y)%7D%3Df(x)dx$ ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

兩邊積分得：

???? $%5Cint%5Cfrac%7Bdy%7D%7B%CF%86(y)%7D%3D%5Cint%7Bf(x)dx%7D%2Bc$ ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2.2）

此處常數(shù)c的取值必須要使（2.3）有意義.

【P.S. 需要注意，如果存在 $y_0$ 使得 $%CF%86(y_0)%3D0$ ，則直接驗(yàn)證 $y%3Dy_0$ 也是（2.1）的解，因此還必須尋求 $%CF%86(y)%3D0$ 的，當(dāng) $y%3Dy_0$ 不包括在方程（2.2）中時(shí)，必須補(bǔ)上特解 $y%3Dy_0$ .】

（之前看到丁版ODE時(shí)也看到了這點(diǎn)，不過(guò)是以例題的方式出現(xiàn)的；而大一學(xué)同濟(jì)版高數(shù)的時(shí)候沒(méi)有這點(diǎn)，包括很多課后習(xí)題也沒(méi)有提到）

2.1.2可化為變量分離方程的類(lèi)型（變量代換）

2.1.2.1齊次微分方程

????齊次微分方程：形如：

???? $%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3Dg(%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D)$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2.3）

的方程稱(chēng)為齊次微分方程，這里 $g(u)$ 為u的連續(xù)函數(shù).

????作變量代換

???? $u%3D%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? （2.4）

即 $y%3Dux$ ，兩邊對(duì)x求導(dǎo)得：

???? $%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3Dx%5Cfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D%2Bu$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?（2.5）

（2.4）與（2.5）式代入（2.3）式整理得：

???? $%5Cfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D%3D%5Cfrac%7Bg(u)-u%7D%7Bx%7D$ ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??（2.6）

????此時(shí)（2.6）式為一個(gè)變量分離方程，可用（2.2）式進(jìn)行求解，之后再將（2.4）式代入所得解中的u即可

2.1.2.2 $u%3Dax%2Bby%2Bc$ ?型

????定義：形如：

???? $%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3Df(ax%2Bby%2Bc)$ ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2.7）

的方程稱(chēng)為齊次微分方程，這里 $f(u)$ 為u的連續(xù)函數(shù).

????作變量代換

???? $u%3Dax%2Bby%2Bc$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2.8）

即 $y%3Dux$ ，兩邊對(duì)x求導(dǎo)得：

???? $%5Cfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D%3Da%2Bb%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D$ ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2.9）

（2.8）與（2.9）式代入（2.7）式整理得：

???? $%5Cfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D%3Da%2Bbf(u)$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?（2.10）

????此時(shí)（2.10）式為一個(gè)變量分離方程，可用（2.2）式進(jìn)行求解，之后再將（2.8）式代入所得解中的u即可

2.1.2.3 $f(%5Cfrac%7Ba_1x%2Bb_1y%2Bc_1%7D%7Ba_2x%2Bb_2y%2Bc_2%7D)$ ?型

????定義：形如：

???? $%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3Df(%5Cfrac%7Ba_1x%2Bb_1y%2Bc_1%7D%7Ba_2x%2Bb_2y%2Bc_2%7D)$ ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2.11）

的方程稱(chēng)為齊次微分方程，這里 $f(u)$ 為u的連續(xù)函數(shù).

????情形一： $c_1%3Dc_2%3D0$ ，則 $%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3Df(%5Cfrac%7Ba_1x%2Bb_1y%7D%7Ba_2x%2Bb_2y%7D)%3Df(%5Cfrac%7Ba_1%2Bb_1%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D%7D%7Ba_2%2Bb_2%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D%7D)%3Dg(%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D)$ ? ，此時(shí)為齊次方程（2.3）.

????情形二： $c_1%2Cc_2$ 不全為0，則討論方程（2.11）右端分子分母的一次多項(xiàng)式：

???? $%5Cbegin%7Bequation%7D%0A%5Cleft%5C%7B%0A%5Cbegin%7Baligned%7D%0Aa_1x%2Bb_1y%2Bc_1%3D0%20%5C%5C%0Aa_2x%2Bb_2y%2Bc_2%3D0%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A%5Cright.%0A%5Cend%7Bequation%7D%0A$ ??即 $%5Cbegin%7Bequation%7D%0A%5Cleft%5C%7B%0A%5Cbegin%7Baligned%7D%0Aa_1x%2Bb_1y%3D-c_1%20%5C%5C%0Aa_2x%2Bb_2y%3D-c_2%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A%5Cright.%0A%5Cend%7Bequation%7D%0A$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2.12）

對(duì)系數(shù)行列式 $D%3D%0A%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%0Aa_1%20%26%20b_1%20%5C%5C%0Aa_2%20%26%20b_2%0A%5Cend%7Bvmatrix%7D%0A$ 分兩種情況進(jìn)行討論：

（此處設(shè) $D_1%3D%0A%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%0A-c_1%20%26%20b_1%20%5C%5C%0A-c_2%20%26%20b_2%0A%5Cend%7Bvmatrix%7D%0A%3D-%0A%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%0Ac_1%20%26%20b_1%20%5C%5C%0Ac_2%20%26%20b_2%0A%5Cend%7Bvmatrix%7D%0A$ ， $D_2%3D%0A%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%0Aa_1%20%26%20-c_1%20%5C%5C%0Aa_2%20%26%20-c_2%0A%5Cend%7Bvmatrix%7D%0A%3D-%0A%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%0Aa_1%20%26%20c_1%20%5C%5C%0Aa_2%20%26%20c_2%0A%5Cend%7Bvmatrix%7D$ ）

????（1） $D%5Cneq0%0A$ ，則由Cramer法則可解得 $%5Cbegin%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%7Bcases%7D%0Ax%20%3D%20%5Calpha%20%5C%5C%0Ay%20%3D%20%5Cbeta%20%0A%5Cend%7Bcases%7D%0A%5Cend%7Bequation%7D%0A$ ，其中 $%5Calpha%20%3D%20%5Cfrac%7BD_1%7D%7BD%7D%0A$ ， $%5Cbeta%20%3D%20%5Cfrac%7BD_2%7D%7BD%7D%0A$ .

????若令? $%5Cbegin%7Bequation%7D%0A%5Cleft%5C%7B%0A%5Cbegin%7Baligned%7D%0AX%3Dx-%5Calpha%20%5C%5C%0AY%3Dy-%5Cbeta%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A%5Cright.%0A%5Cend%7Bequation%7D%0A$ ，則（2.12）式可化為： $%5Cbegin%7Bequation%7D%0A%5Cleft%5C%7B%0A%5Cbegin%7Baligned%7D%0Aa_1X%2Bb_1Y%3D0%20%5C%5C%0Aa_1X%2Bb_1Y%3D0%20%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A%5Cright.%0A%5Cend%7Bequation%7D%0A$

即（2.11）式可化為： $%5Cfrac%7BdY%7D%7BdX%7D%3D%0A%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D%0Af(%5Cfrac%7Ba_1%2Bb_1%5Cfrac%7BY%7D%7BX%7D%7D%7Ba_2%2Bb_2%5Cfrac%7BY%7D%7BX%7D%7D)%3Dg(%5Cfrac%7BY%7D%7BX%7D)$ ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2.13）

（2.13）式為齊次微分方程，求解代入原變量即可得方程（2.11）的解

????（2） $D%3D0%0A$ ，分以下三種情況

????（i） $a_1%3Db_1%3D0%0A$ 時(shí)，（2.11）式變?yōu)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3Df(%5Cfrac%7Bc_1%7D%7Ba_2x%2Bb_2y%2Bc_2%7D)" alt="%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3Df(%5Cfrac%7Bc_1%7D%7Ba_2x%2Bb_2y%2Bc_2%7D)">?，而 $a_2%3Db_2%3D0%0A$ 時(shí)，（2.11）式變?yōu)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3Df(%5Cfrac%7Ba_1x%2Bb_1y%2Bc_1%7D%7Bc_2%7D)" alt="%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3Df(%5Cfrac%7Ba_1x%2Bb_1y%2Bc_1%7D%7Bc_2%7D)">，二者均用（2.7）計(jì)算.

????（ii） $a_1%3Da_2%3D0%0A$ 時(shí)，（2.11）式變?yōu)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3Df(%5Cfrac%7Bb_1y%2Bc_1%7D%7Bb_2y%2Bc_2%7D)" alt="%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3Df(%5Cfrac%7Bb_1y%2Bc_1%7D%7Bb_2y%2Bc_2%7D)">?，而 $b_1%3Db_2%3D0%0A$ 時(shí)，（2.11）式變?yōu)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3Df(%5Cfrac%7Ba_1x%2Bc_1%7D%7Ba_2x%2Bc_2%7D)" alt="%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3Df(%5Cfrac%7Ba_1x%2Bc_1%7D%7Ba_2x%2Bc_2%7D)">，二者均為變量可分離方程（2.1）

????（iii） $%5Cfrac%7Ba_1%7D%7Ba_2%7D%3D%5Cfrac%7Bb_1%7D%7Bb_2%7D%3Dk%5Cneq0%0A$ 時(shí)，令 $u%3Da_2x%2Bb_2y$ ?，此時(shí) $%5Cfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D%3Da_2%2Bb_2%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D$ ，（2.11）式變?yōu)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=f(%5Cfrac%7Bk(a_2x%2Bb_2y)%2Bc_1%7D%7Ba_2x%2Bb_2y%2Bc_2%7D)%3Df(%5Cfrac%7Bku%2Bc_1%7D%7Bu%2Bc_2%7D)%3Dg(u)" alt="f(%5Cfrac%7Bk(a_2x%2Bb_2y)%2Bc_1%7D%7Ba_2x%2Bb_2y%2Bc_2%7D)%3Df(%5Cfrac%7Bku%2Bc_1%7D%7Bu%2Bc_2%7D)%3Dg(u)">?.方程（2.17）化為 $%5Cfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D%3Da_2%2Bb_2g(u)$ ，屬于變量分離方程（2.1）

2.2 線性微分方程與常數(shù)變易法

2.2.1 一階線性微分方程

????定義：形如：

???? $%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3DP(x)y%2BQ(x)$ ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2.14）的方程稱(chēng)為一階線性常微分方程，其中 $P(x)%2CQ(x)$ 在考慮的區(qū)間是x的連續(xù)函數(shù).

????若 $Q(x)%3D0$ ，則（2.14）式變?yōu)椋?/p>

???? $%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3DP(x)y$ ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2.15）

（2.15）稱(chēng)為一階齊次線性微分方程.若 $Q(x)%5Cneq0$ ，則（2.14）稱(chēng)為一階非齊次線性微分方程方程.

2.2.2常數(shù)變易法

????定義：將齊次微分方程中的常數(shù)c變易成待定函數(shù) $c(x)$ .

????解法：對(duì)于（2.15）式可用變量分離法解得其通解為 $y%3Dce%5E%7B%5Cint%7BP(x)dx%7D%7D$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??（2.16）

這里c是任意常數(shù).現(xiàn)在討論（2.14）式的通解，利用常數(shù)變易法，將任意常數(shù)c換成待定函數(shù) $c(x)$ ，得到（2.14）的形式求解，即： $y%3Dc(x)e%5E%7B%5Cint%7BP(x)dx%7D%7D$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? （2.17）

????對(duì)（2.17）式求導(dǎo)得：

???? $%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D%5Cfrac%7Bdc(x)%7D%7Bdx%7De%5E%7B%5Cint%7BP(x)dx%7D%7D%2Bc(x)P(x)e%5E%7B%5Cint%7BP(x)dx%7D%7D%0A%3DQ(x)%2Bc(x)P(x)e%5E%7B%5Cint%7BP(x)dx%7D%7D$ ?

即

???? $%5Cfrac%7Bdc(x)%7D%7Bdx%7D%0A%3DQ(x)e%5E%7B-%5Cint%7BP(x)dx%7D%7D$ ?

積分后得：

???? $c(x)%3D%5Cint%7BQ(x)e%5E%7B-%5Cint%7BP(x)dx%7D%7D%7D%2Bc'$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2.18）

（2.18）式代入（2.17）得通解為：?

???? $y%3De%5E%7B%5Cint%7BP(x)dx%7D%7D(%5Cint%7BQ(x)e%5E%7B-%5Cint%7BP(x)dx%7D%7D%7D%2Bc')$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?（2.19）

【P.S. 在同濟(jì)版高數(shù)大家見(jiàn)過(guò)的都是如下形式：

???? $%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%2BP(x)y%3DQ(x)$ ?

它的通解為： $y%3De%5E%7B-%5Cint%7BP(x)dx%7D%7D(%5Cint%7BQ(x)e%5E%7B%5Cint%7BP(x)dx%7D%7D%7D%2Bc')$

其實(shí)與（2.19）式一樣的，將等式左邊的 $P(x)$ 移至右側(cè)，得到 $%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D-P(x)y%2BQ(x)$ ?，便可以代入至（2.19）式進(jìn)行求解，得到上面的通解，只是要注意這個(gè)差別】

2.2.3 Bernoulli微分方程

????定義：形如：

???? $%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3DP(x)y%2BQ(x)y%5En$ ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?（2.20）

????解法：將（2.20）式兩邊同乘以 $y%5E%7B-n%7D$ ，得：

???? $y%5E%7B-n%7D%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3DP(x)y%5E%7B1-n%7D%2BQ(x)$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2.21）

設(shè)：

???? $z%3Dy%5E%7B1-n%7D$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2.22）

求導(dǎo)得：

???? $%5Cfrac%7Bdz%7D%7Bdx%7D%3D(1-n)y%5E%7B-n%7D%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2.23）

代入（2.20）式得：

???? $%5Cfrac%7Bdz%7D%7Bdx%7D%3D(1-n)P(x)z%2B(1-n)Q(x)$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2.24）

（2.24）式即可按一階線性微分方程求解，然后再代回原變量得到（2.20）式的通解.

（P.S.S需要注意的是，n>0時(shí)還需考慮y=0的解）

（由于專(zhuān)欄投稿只讓放100張圖片，公式也算圖片的，所以剩余部分包括整章感想將放到下一節(jié)去）

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