我們知道，對于勻速運動來說，速度等于一段時間內(nèi)移動的距離與這段時間的大小之比。

但對于變速運動來說，速度怎么求呢？

這里的問題在于，理想的變速運動，是在每一個點上速度都是變化的，而數(shù)學(xué)上的點是沒有大小的。那怎樣才能求出變速運動中每個沒有大小的點上的速度呢？

導(dǎo)數(shù)的定義如上圖。這里的關(guān)鍵在于，delta x是趨于0的。那這里的無限趨于0該怎么理解呢？我們看下圖：

現(xiàn)在假設(shè)我們要求的是中間那個點的速度，那么我們可以這樣認(rèn)為：當(dāng)時間t在無限趨近于中間那個時間點t0的時候，已經(jīng)進入了上圖的delta區(qū)域，在這個區(qū)域內(nèi)，其它時間點與t0這個時間點之間的差距delta已經(jīng)無法用任何一個數(shù)字來表示，我們也就可以認(rèn)為，這個區(qū)域內(nèi)只有t0這一個點。這就保證了導(dǎo)數(shù)定義中求變速運動中某個固定點速度的問題。

我們知道，導(dǎo)數(shù)就等于曲線在這個點上的切線的斜率。注意，不是約等于。

如上圖。在割線P0P無限趨近于P0那條切線的過程中，似乎總會存在那么一點差距，但當(dāng)割線和切線完全重合的時候，似乎切線和曲線又只有一個交點。那怎么理解導(dǎo)數(shù)就是切線的斜率這個事實呢？

上圖表明，割線在向切線無限趨近的過程中，一定能夠找到除了切點a之外的另外一個點b，點b同時在切線和曲線上，理論依據(jù)就是數(shù)學(xué)上的點是沒有大小的，我們甚至可以進一步認(rèn)為，除了點b之外，再沒有第三個點同時在曲線和切線上面，點b也是最靠近點a的那個點。既然點沒有大小，當(dāng)我們想找到上圖的b點的時候，我們就可以采取想怎么接近就怎么接近的方法找到它。找到b點之后，我們就可以用a,b,c三點構(gòu)成一個直角三角形，從而在這一點上，曲線的斜率就等于切線的斜率，兩者之間不存在任何誤差。

簡單來說：

1：導(dǎo)數(shù)是用來求數(shù)學(xué)上某個點的變化率的，而且這個點在數(shù)學(xué)上是沒有大小的。

2：導(dǎo)數(shù)表示曲線上某一點的變化率就等于這一點切線的斜率，而不是約等于。