今天木木給大家分享的是一篇由Northwestern University的Wing Kam Liu、UC Berkeley的Shaofan Li和Boston University的Harold S. Park于2021年聯(lián)合發(fā)表的《Eighty Years of the Finite Element Method: Birth, Evolution, and Future》，帶著大家回顧有限元方法自1941年初露端倪至今的80年發(fā)展歷程。

木木看完之后，感觸頗深，深感國內(nèi)有限元發(fā)展的處境，相比于歐美來說，差距是真的大！想要突破卡脖子技術(shù)，絕對不能停留于“虛張聲勢”，應(yīng)潛下心鉆研核心技術(shù)難題，不應(yīng)人云亦云。

希望大家?guī)е牴适碌男那闉g覽本期分享的FEM發(fā)展史~

有限元早期(1941-1965)

1. In 1941, A. Hrennikoff，在數(shù)學(xué)問題上首次將求解域離散為晶格結(jié)構(gòu)，成為有限元思想的開端；

1. On May 3rd, 1941,R. Courant ，用變分方法求解二階偏微分方程，使用了Rayleigh Ritz方法，并在有限三角形子域上定義了一個試函數(shù)，這是有限元方法的一種原始形式；

1. In 1952 ,Ray Clough,使用桿單元組合替代平面應(yīng)力問題，應(yīng)用于三角機翼應(yīng)力分析，標(biāo)志著FEM正式誕生，成立加州分校伯克利研究小組，將有限元應(yīng)用于一系列的分析和實驗活動中，從設(shè)計建筑和結(jié)構(gòu)以抵御核爆炸或地震，到分析航天器和深海鉆井的結(jié)構(gòu)要求；（可以看到外國對于科學(xué)應(yīng)用的重視，而不是像國內(nèi)，未完成一些列的科研任務(wù)而去造一些“輪子”，任務(wù)完成后，程序的研發(fā)也隨之滯留，未能付諸大量實踐）

1. In 1956,Turner, Clough, Martin, and Topp開發(fā)了三角形單元的有限元插值方法，該方法適用于任意形狀的結(jié)構(gòu)件。在某種意義上，三角形單元的發(fā)明是一次“quantum leap”，因此，對于工程領(lǐng)域的大范圍來說，F(xiàn)EM的開始于此；

2. In 1957年，R. Clough就在加州大學(xué)伯克利分校開設(shè)了第一個研究生階段的有限元課程；

【趣事】：Clough于1960年發(fā)表了一篇《The Finite Element Method in Plane Stress Analysis》后，引起了他的好友Zienkiewicz(Northwestern University)的興趣，邀請Clough為他的學(xué)生做一個關(guān)于有限元方法的研討會，Zienkiewicz是世界上應(yīng)用有限差分法求解土木工程連續(xù)介質(zhì)力學(xué)問題的專家之一，在對有限元方法提出了幾個尖銳的問題之后，Zienkiewicz幾乎立刻就由有限差分法轉(zhuǎn)向了有限元法；

1. 50年代初，該方法被稱作為Matrix Stiffness Method（矩陣剛度法），1960年，Ray Clough正式命名為有限元；

2. In 1960，中科院馮康，發(fā)表一篇名為《基于變分原理的差分格式》，與Clough并駕齊驅(qū)，從數(shù)學(xué)角度發(fā)展有限元方法應(yīng)用于有限元法的收斂性等領(lǐng)域的研究；

1. In 1958, E.L. Wilson of UC Berkeley,開發(fā)了第一個基于波音公司開發(fā)的矩形平面應(yīng)力有限元的自動化有限元程序；

2. In 1963,Best and Oden編寫了當(dāng)時最早的通用有限元計算機代碼之一，包括三維彈性單元、二維平面彈性單元、三維梁和桿單元、復(fù)合材料層狀板和殼單元以及通用復(fù)合材料單元，能夠處理特征值模態(tài)分析，以及在三角形和四面體單元上的數(shù)值積分；

FEM黃金時期(1966-1991)

1. In 1967,TJR Hughes 呼吁成立有限元程序設(shè)計小組，于1969年，編制了57000行GENSAM程序;

2. 20世紀(jì)70年代，聚焦于有限元的收斂性問題，人們的注意力轉(zhuǎn)向了基于混合變分原理的有限元方法；

3. 20世紀(jì)70年代，F(xiàn)EM的發(fā)展開始專注于模擬結(jié)構(gòu)的動態(tài)行為，包括汽車工業(yè)中的耐撞性，各種時間積分方法已經(jīng)發(fā)展，包括Newmark-beta方法，Wilson-theta方法，Hilbert-Hughes-Taylor算法，Houbolt積分算法和顯式時間積分算法；

4. 20世紀(jì)70年代末，T. Belytschko、K. C. Park和后來的TJR Hughes提出采用顯式或隱式、顯式-多重顯式時間積分以及帶阻尼控制的隱式時間積分來解決非線性結(jié)構(gòu)變形和結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題。結(jié)果表明，顯式時間積分技術(shù)使有限元技術(shù)成為乘用車設(shè)計和耐撞性分析的主要工具。到20世紀(jì)80年代末，在美國的三大汽車制造商中有數(shù)千個工作站運行顯式的基于時間集成的FEM代碼。（不得不感嘆工業(yè)應(yīng)用能力）；

5. 20世紀(jì)80年代，主要的有限元研究課題之一是利用有限元技術(shù)求解Navier-Stokes方程；

6. 20世紀(jì)80年代，Simo和Taylor開發(fā)了計算塑性的一致切線算子，發(fā)展了幾何精確的梁和殼理論及其有限元公式，為混合變分公式開發(fā)了各種假設(shè)應(yīng)變或增強應(yīng)變方法；

7. ALE有限元法的發(fā)明可以歸功于Hirt, Amsden和Cook，C. Farhat是第一個使用大規(guī)模并行ALE-FEM求解器計算流固耦合問題的人，他和他的團隊系統(tǒng)地將基于有限元的計算流體力學(xué)(CFD)求解器應(yīng)用于飛機結(jié)構(gòu)設(shè)計和分析，他們開發(fā)了有限元撕裂和互連(FETI)方法，用于大規(guī)模方程系統(tǒng)在大規(guī)模并行處理器上的可擴展求解；

8. 有限元流固耦合研究對許多實際應(yīng)用產(chǎn)生了重大影響，例如為血管疾病的患者特異性建模提供了基礎(chǔ)，Holzapfel、Eberlein、Wriggers和Weizs?cker開發(fā)了用于軟生物膜的大應(yīng)變有限元公式；

9. 20世紀(jì)80年代末，由W. K. Liu和T. Belytschko通過考慮載荷條件、材料行為、幾何構(gòu)型和支承或邊界條件的不確定性，提出了隨機場有限元法，已成為民用和航空航天工程及不確定性量化領(lǐng)域的重要研究課題；

10. 20世紀(jì)80年代早期，通用汽車研究實驗室的M.E. Botkin和密歇根大學(xué)的N. Kikuchi和他的團隊為汽車工業(yè)開發(fā)了結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化有限元方法，開發(fā)了一種均質(zhì)化方法來尋找在規(guī)定載荷下結(jié)構(gòu)的最佳形狀以及后來的拓?fù)鋬?yōu)化；

11. 20世紀(jì)80年代中期，計算應(yīng)變軟化中的網(wǎng)格敏感性問題成為一個具有挑戰(zhàn)性的課題，Pijaudier-Cabot和Bazant發(fā)展了一種有效的非局部有限元方法，其中非局部性僅應(yīng)用于損傷應(yīng)變；

12. In 1976，Hughes、Taylor、Sackman、Curnier和Kanoknukulchai發(fā)表了一篇題為“一類接觸-沖擊問題的有限元方法”的論文，這是計算接觸力學(xué)中最早的有限元分析之一，例子包括鈑金成形，目標(biāo)沖擊和滲透，路面和輪胎之間的相互作用；

FEM工業(yè)時期(1992-2017)

1. 20世紀(jì)90年代，Zienkiewicz-Zhu后驗誤差估計器通過自適應(yīng)地細(xì)化網(wǎng)格，以優(yōu)化計算資源的方式提供有限元解決方案的質(zhì)量控制，Ainsworth和Oden用后驗誤差估計來提高質(zhì)量已經(jīng)被提升到貝葉斯推理和貝葉斯更新的高度；

1. 20世紀(jì)90年代，研究工作集中在基于變分原理的離散化方法來解決斷裂力學(xué)問題或應(yīng)變局部化問題。1981年，S.T. Pietruszczak和Z. Mroz就提出了第一個土體剪切破裂的粘性有限元，后來，西北大學(xué)Bazant的團隊開發(fā)了各種界面有限元方法，如微平面模型，以研究混凝土材料和其他復(fù)合材料的尺寸效應(yīng)；1994年，Xu和Needleman開發(fā)了cohesive zone model (CZM)，該模型可以模擬裂紋擴展而不需要重網(wǎng)格；

2. T. Belytschko和WK發(fā)展了無網(wǎng)格伽遼金(EFG)方法和再現(xiàn)核粒子方法(RKPM)；

3. 繼而I. Babuska開發(fā)了統(tǒng)一單元劃分法(PUFEM)，后來于1996年發(fā)展了廣義有限元法(GFEM)；

4. In 1999，Ted Belytschko、T. Black、N. Moes和J. Dolbow，開發(fā)了擴展有限元(X-FEM)，該方法利用各種豐富的不連續(xù)形狀函數(shù)，在不重網(wǎng)格的情況下準(zhǔn)確地捕捉裂紋體的形態(tài)。

1. In 2000，A. Karma提出了相場有限元法來解決裂紋擴展和裂紋擴展問題，可以準(zhǔn)確預(yù)測材料脆性斷裂損傷；

2. In 1997，TY Hou提出了多尺度均質(zhì)化有限元方法，該方法主要適用于微結(jié)構(gòu)隨機的復(fù)合材料；

3. In 1982，D. Piece、RJ Asaro和Needleman首次提出晶體塑性有限元方法(CPFEM)，可以計算位錯、晶體取向等織構(gòu)信息，在計算過程中考慮晶體的各向異性，現(xiàn)已應(yīng)用于模擬晶體的塑性變形、表面粗糙度、斷裂等；

4. In 2013，由L. Beir?o da Veiga和F. Brezzi領(lǐng)導(dǎo)的一組意大利科學(xué)家和工程師提出了一種所謂的虛擬單元方法(virtual element method, VEM)，當(dāng)網(wǎng)格發(fā)生畸變時，VEM在數(shù)值計算中顯示了魯棒性和準(zhǔn)確性；

5. In 1963，E.L. Wilson和R. Clough開發(fā)了一個結(jié)構(gòu)力學(xué)有限元代碼，稱為符號矩陣解釋系統(tǒng)(Symbolic Matrix Interpretive System, SMIS)，然后Wilson發(fā)起并開發(fā)了一個通用的靜態(tài)和動態(tài)結(jié)構(gòu)分析程序SAP?；赟AP IV和NONSAP開發(fā)了非線性有限元程序ADINA。

6. 與此同時，NASA也開發(fā)了自己的名為NASTRAN的FEM代碼；

7. 約在20世紀(jì)60年代末的同一時間，J. Swanson要求他的雇主Westinghouse開發(fā)FEM計算機代碼，他的建議被拒絕，然后他離開了公司，并開發(fā)了最初的ANSYS FEM代碼；

8. 幾年后，J.O. Hallquist也開發(fā)了一種稱為DYNA3D的三維非線性有限元代碼，后來發(fā)展為LS-DYNA；

9. 到20世紀(jì)90年代末和21世紀(jì)初，F(xiàn)EM軟件行業(yè)已經(jīng)成為一個數(shù)十億美元的業(yè)務(wù)。有ANSYS、ABAQUS、ADINA、LS-DYNA、NASTRAN、COMSOL Multiphysics、CSI等知名有限元軟件公司；

FEM新時代(2018- present)

這一塊實屬知識盲區(qū)，就隨便摘抄了點，詳細(xì)請看原文獻。

1. 基于機器學(xué)習(xí)的有限元方法和降階模型的發(fā)展成為有限元研究的新焦點；

2. In 1993，J. Takeuchi和Y. Kosugi提出了一種求解泊松方程問題的有限元方法的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)表示；

3. In 1995，G. Yagawa and O. Aoki用互連神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(nn)的網(wǎng)絡(luò)能量代替了有限元函數(shù)，解決了一個熱傳導(dǎo)問題；

4. In 2019，F. Ghavamiana和A . Simone使用深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為回歸模型來學(xué)習(xí)材料行為或微觀結(jié)構(gòu)響應(yīng)；

5. In 2020，Zhang等人發(fā)表了第一篇關(guān)于基于DNN的層次性質(zhì)構(gòu)建常規(guī)有限元形狀函數(shù)的論文，稱為分層深度學(xué)習(xí)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；