彎曲是桿件的基本變形之一，是由垂直于桿件軸線的外力引起的，表現(xiàn)為原為直線的軸線變形成為曲線。其中，對稱彎曲是當(dāng)作用在梁上的載荷和支反力均位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時(shí)，梁的軸線由直線彎成一條位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的曲線的彎曲形式。

一、受彎桿件的簡化

1．支座的基本形式

（1）固定鉸支座

限制支承的橫截面沿水平和垂直方向移動，相應(yīng)的支座反力如圖

（2）可動鉸支座

使桿件沿支承面方向移動亦可繞支承點(diǎn)轉(zhuǎn)動，相應(yīng)的支座反力如圖

（3）固定端

限制被支承的橫截面沿水平和垂直方向移動和繞某一軸轉(zhuǎn)動，相應(yīng)的固定端的支反力如圖

2．載荷的簡化

（1）集中載荷

載荷的作用范圍遠(yuǎn)小于桿件軸向尺寸。

（2）分布載荷

沿軸向連續(xù)分布在桿件上的載荷，常用?q?表示單位長度上的載荷，稱為載荷集度，如風(fēng)力、水力、重力。常用的有均布載荷，線性分布載荷。

（3）集中力偶

3．靜定梁的基本形式

為方便梁的求解，通常將梁簡化，以便得到計(jì)算簡圖。當(dāng)梁上支反力數(shù)目與靜力平衡方程式的數(shù)目相同時(shí)，即支反力通過靜力平衡方程即可完全確定時(shí)，稱之為靜定梁，以下三種形式的梁均為靜定梁。

（1）簡支梁

一端為固定鉸支座，一端為可動鉸支座，如圖

（2）外伸梁

一端或兩端向外伸出的簡支梁，如圖

（3）懸臂梁

一端固定支座一端自由，如圖

二、剪力和彎矩

1．剪力

剪力是指抵抗剪切作用的內(nèi)力，是與橫截面相切的分布內(nèi)力系的合力。

符號規(guī)定：左側(cè)相對于右側(cè)有向上錯(cuò)動的趨勢，或有順時(shí)針轉(zhuǎn)動的趨勢，則剪力為正；反之，剪力為負(fù)。左側(cè)梁段向上的外力引起剪力為正，右側(cè)梁段向下的外力引起的剪力為正；反之為負(fù)。

對于平面曲桿（軸線為平面曲線，且荷載作用于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)），規(guī)定：以剪力對所考慮一段曲桿內(nèi)任一點(diǎn)取矩，若力矩為順時(shí)針，則剪力為正。

2．彎矩

彎矩是指抵抗彎曲作用的力矩，是垂直于橫截面的分布內(nèi)力系的合力偶之矩。

符號規(guī)定：外力對截面形心的力矩使梁下凸上凹，彎矩為正；反之，彎矩為負(fù)。左側(cè)梁段外力引起的順時(shí)針彎矩為正，右側(cè)梁段外力引起的逆時(shí)針彎矩為正；反之為負(fù)。

對于平面曲桿，規(guī)定：使軸線曲率增加的彎矩為正。

3．剪力方程和彎矩方程

（1）剪力（彎矩）方程：

以橫坐標(biāo)?x?表示橫截面在梁軸線上的位置，表示各橫截面上的剪力（彎矩）的函數(shù)表達(dá)式。（2）方法：

①根據(jù)梁上外力及其變化情況分段。

分段點(diǎn)：剪力方程的分段點(diǎn)是集中力作用處和分布荷載的開始、結(jié)束處。

彎矩方程的分段點(diǎn)是集中力、集中力偶的作用處和分布荷載的開始、結(jié)束處。

②在每段上以任意截面?x?作為代表，求其剪力?FS（x）和彎矩?M（x）。

三、剪力圖和彎矩圖的繪制

剪力圖（彎矩圖）：用平行于梁軸的橫坐標(biāo)?x?表示橫截面的位置，以縱坐標(biāo)表示相應(yīng)截面上的剪力（彎矩），這種圖線稱為剪力圖（彎矩圖）。

繪制方法：

1．列方程作圖

作圖步驟：①求支座反力；②列內(nèi)力方程；③根據(jù)方程繪制剪力圖和彎矩圖。

應(yīng)注意的是：平面剛架的彎矩圖應(yīng)畫在受壓側(cè)；平面曲桿的彎矩圖畫在軸線的法向方向，并畫在受壓側(cè)。

2．利用載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系作梁的內(nèi)力圖

（1）載荷集度?q（x）、剪力?FS（x）和彎矩?M（x）間三者之間的微分關(guān)系為

（2）利用推論繪制內(nèi)力圖

①若?q（x）＝0，則

因此，剪力圖為平行于?x?軸的直線，彎矩圖為斜直線，且當(dāng)剪力為正值時(shí)，彎矩表現(xiàn)為單調(diào)增；剪力為負(fù)值時(shí)，彎矩圖表現(xiàn)為單調(diào)減。

②若?q（x）＝常數(shù)，則

因此，F(xiàn)S（x）為斜直線，M（x）為拋物線圖，且集度?q（x）的正負(fù)決定著剪力圖的單調(diào)增或者減，以及彎矩圖開口向上或者向下。

③若?q＝f（x），則剪力圖為拋物線，彎矩圖為三次曲線。

④若?FS（x）＝0，則

此時(shí)該截面上彎矩有極值（極大值或極小值）。此外，彎矩的極值還可能出現(xiàn)在集中力和集中力偶作用處截面。

⑤利用載荷、剪力與彎矩的關(guān)系校核所繪制的彎矩圖和剪力圖。任意兩截面上的剪力之差等于相應(yīng)兩截面間載荷圖的面積，任意兩截面上的彎矩之差等于相應(yīng)兩截面間剪力圖的面積。

3．外力與內(nèi)力圖的內(nèi)在聯(lián)系

（1）斜率規(guī)律剪力圖在任一截面處的斜率值等于該截面外力分布載荷的集度值，同理彎矩圖在任一截面處的斜率值等于該截面剪力值

（2）凹凸性規(guī)律集度?q?向下，為負(fù)，曲線圖開口朝下。

（3）突變規(guī)律

在集中力作用的截面，剪力圖在該處發(fā)生突變，突變高度等于該處集中力的大??；在集中力偶作用的截面，彎矩圖在該處發(fā)生突變，突變高度等于該處集中力偶矩的大小。

習(xí)題狂練

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【1】．畫出圖所示梁的剪力圖和彎矩圖。[北京航空航天大學(xué)?2015?研]

解：由力的平衡方程∑Fy＝0，易知，固定端的剪力為?0。固定端的彎矩為M＝qa·a－qa2－qa·3a/2＝－3qa2/2剪力圖、彎矩圖如圖

【2】如圖所示，梁?AB?和?BC?在?B?處用鉸鏈連接，A?端固定，C?端鉸支。受力及各部分尺寸均示于圖中，F(xiàn)＝40kN，q＝20kN/m。試畫出梁的剪力圖和彎矩圖。[北京航空航天大學(xué)?2016?研]

解：以?BC?桿為研究對象，建立平衡方程∑M（B）＝0，F(xiàn)Cy·4－2F＝0解得?FCy＝F/2＝20kN（↑）?！艶y＝0，F(xiàn)Cy＋FBy－F＝0解得?FBy＝20kN（↑）。A?截面處的彎矩為?MA＝（－1/2）×20×42－20×4＝－240kN·m

【3】．作如圖?所示梁的剪力圖和彎矩圖。[南京航空航天大學(xué)?2018?研]

解：設(shè)固定端?C?點(diǎn)的支反力?FC向上，彎矩?MC順時(shí)針。對?C?點(diǎn)建立平衡方程∑Fy＝0，－F－2q·2l＋FCy＝0解得?FCy＝5ql?！芃（C）＝0，－ql·3l＋m－2q·2l·l＋MC＝0解得?MC＝3ql2。剪力圖和彎矩圖如圖

【END】本章首要任務(wù)是掌握剪力圖彎矩圖的繪制，具體可參考教科書。

https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzIyNjE0NDA5Mg==&mid=2247484315&idx=1&sn=6d4bab608571321cc0333c59f3c13dee&chksm=e875b9a8df0230be496b025d58dc1e9a7078953a072b04260965d8b50d18329d42294a363f37&scene=178&cur_album_id=2528330897279696899#rd