平面幾何的特點

平面幾何是那種具有魔力的學(xué)問。下面談一談本人學(xué)習(xí)平面幾何25年的心得。

記得在初中時讀秦關(guān)根的《愛因斯坦》（我覺得這是國人寫得最好的愛氏傳記之一），這位出名而孤獨的人在學(xué)生時代就喜愛獨立思考、厭惡死記硬背，頭一年連大學(xué)也沒考進。和許多德國孩子一樣，愛因斯坦從小就被灌輸了宗教，并一度虔誠，但一接觸平面幾何，便深感震撼。他后來回憶說：

三角形的三條高交于一點并非直觀命題，但可嚴格論證，以至于你絲毫的質(zhì)疑也不可能。

于是就立刻開始懷疑那些宗教信仰了。蘇步青、陳省身、吳文俊、丘成桐這些蜚聲中外的數(shù)學(xué)家從小都迷平面幾何，對他們今后的事業(yè)應(yīng)該也有影響力。我當(dāng)時接觸了平面幾何后，也隱隱約約感覺到這是真正的數(shù)學(xué)和科學(xué)道路，從此對創(chuàng)造這門學(xué)問的古希臘文明充滿崇敬。認識中豪之后，我還感到搞幾何需要極為豐富的想象力，更甚于詩歌創(chuàng)作。

在平面幾何解題上，我想我還是有一點發(fā)言權(quán)的。解平面幾何題的特色不同于奧數(shù)其它分支。用一句話概括：它是基于某種完整性或?qū)ΨQ性繞過硬算而完成，為了達到這個目標，我們常要添加輔助線。這無疑是困難的，因為圖形千變?nèi)f化，解析幾何克服了這個困難，代價是較多的計算量，當(dāng)然平面幾何中也有計算。其實計算也是有技巧的，比如直接算兩條線段可能很麻煩，后來發(fā)現(xiàn)引進第三條線段，證明就相當(dāng)簡便，原因在于的計算雖然麻煩但我們不需要，而比值卻很好算。所以將解析幾何與平面幾何的解題方法完全對立起來、將平面幾何中的計算和純幾何推導(dǎo)對立起來的觀點也是不正確的。

其他奧數(shù)分支就很不一樣。2008年和2010年IMO的第3題都與數(shù)論有關(guān)，這兩個題都是條件極強，而解答卻只用到了很弱的性質(zhì)。這就是代數(shù)和組合數(shù)論等問題的特點。關(guān)鍵是極強的條件“誘惑”你陷入細節(jié)之中，而命題人就是要你走出細節(jié)，發(fā)現(xiàn)“本質(zhì)”，這樣就能很快解出問題。比如2010年IMO的第3題，從奧數(shù)角度來看，這無疑是非常精彩的問題，但對于研究來說卻不是好的課題，因為研究需要正視細節(jié)，發(fā)現(xiàn)有價值的新概念新方法，而不是“繞”。

平面幾何與初等數(shù)論等很不相同。主要原因有兩點：第一，它是一個完備的公理化體系，所以幾乎不存在條件太強的情形，一般來說條件和結(jié)論剛好相配，這從若干條件與結(jié)論可以互換而編成一道新題就可以看出來，從同一法就可以看出來，而這種情形在數(shù)論和代數(shù)中是不可想象的。所以，從研究的角度來說，平面幾何做得相當(dāng)完善，只可惜它比較初等，已不可能代表當(dāng)代數(shù)學(xué)的主流。所有的研究都是在不斷改造條件和結(jié)論，盡量使它們剛夠得上，最好是充要條件，但數(shù)論等奧數(shù)命題的目的往往相反，它就是要迷惑你，因此建立過強的條件，使你不容易看出它與結(jié)論的關(guān)系，但一旦揭穿，也就很簡單。所以，有人批評奧數(shù)好的人為什么成不了大數(shù)學(xué)家，實在是很不理解這兩者之間的顯著區(qū)別。第二，盡管所有的奧數(shù)難題都可以說是尋找怎么“繞過細節(jié)”的手段，但由于平面幾何已經(jīng)完備，原則上所有難題都可用解析幾何解決，解析幾何不怎么需要“繞”，盡管把它理解為蠻算也是錯誤的，但總比平面幾何要機械化一點。當(dāng)然，現(xiàn)在的命題都有意做得很難使用解析方法，因此也必須學(xué)會“繞”，但平面幾何帶有研究性質(zhì)，這不同于初等數(shù)論那種“連猜帶騙”，而是尋求最糾結(jié)的點、線位置的新的刻畫，或者完全弱化這種刻畫，或者發(fā)現(xiàn)成對的糾結(jié)的點、線之間的關(guān)系并不糾結(jié)（猶如負負得正），凡此種種決不是“削弱”它的條件，總體來說，平面幾何更像下明棋，而數(shù)論代數(shù)更像下暗棋。關(guān)于這一點，我想讀者只要多做些有難度的題必能體會。

在奧數(shù)中，幾何特別需要琢磨，值得細細品味，決不是依靠小聰明?？上У氖?，學(xué)校里數(shù)學(xué)教育的時間是如此之長，卻無法減少公眾對數(shù)學(xué)的無知。即使是奧數(shù)，也很遺憾地被公眾們看成是和數(shù)獨、24點和速算屬同類，這種觀念不指望能有改變。以前班上有個數(shù)學(xué)差生，算24點極快。這只能說明他反應(yīng)快，有點小聰明。那為什么一做幾何題就不行了呢？因為反應(yīng)快此時不起作用了。這就好比進入一座迷官，他雖體力強壯、善于奔跑，但卻找不到方向，很快就屢屢撞墻（可惜很多人一輩子也走不出小聰明，除了環(huán)境限制，自身認知能力也有限）。國際上看好IMO金牌，認為是未來數(shù)學(xué)家的苗子，IMO金牌得主后來得菲爾茲獎的確實很多。有誰會認為24點或數(shù)獨高手是未來數(shù)學(xué)家的苗子呢？

關(guān)于奧數(shù)教育的爭論

有人批評中國的奧數(shù)教育，說是拿了100多塊金牌，還未在國際數(shù)學(xué)前沿做出像模像樣的工作；而其他很多國家拿菲爾茲獎的數(shù)學(xué)才俊，往往曾是IMO獎牌的獲得者。以此說明學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力很不一樣，那是教育心理學(xué)的老話題，這里也沒必要多談。我認為，可能光有好的解題能力是不夠的，還要看有沒有好的命題能力，看看我們的教練或?qū)W生自己能不能出些更有水平的題目（最低層次是計算，其次是難度或技巧，最高層次是觀點）；這一點，俄羅斯和一些東歐國家明顯比我們強，他們的原創(chuàng)精神令人慨嘆。中國大概因為有葉中豪先生的存在，在平面幾何這一塊不亞于國際水平，但其他領(lǐng)域就要稍遜一點，尤其是組合數(shù)學(xué)（所以中國學(xué)生到國際上比賽，代數(shù)和幾何實力很強，而組合數(shù)學(xué)的成績就比較差）。也許只有我們的命題水平大幅提高了（主要指觀點方面而不是難度），然后才可指望創(chuàng)新，特別是到現(xiàn)代數(shù)學(xué)里創(chuàng)造出新的概念和聯(lián)系（初等數(shù)學(xué)已很難有大的創(chuàng)新），達到真正研究的層次，中國才能成為真正的數(shù)學(xué)強國，到那個時候，菲爾茲獎大概也就不遠了。目前我們最多處于技巧的層次。

這里要為奧數(shù)辯護幾句。我們的奧數(shù)教育確實有很多不足之處，但這僅僅是奧數(shù)的問題嗎？今天中國的考試文化仍難以消除過去科舉制度的影子?？婆e考試對于封建社會來說，也有一定的幫助，它與今天的考試目的應(yīng)該是不同的。對科舉來說，讀書人有機會謀得一個升官發(fā)財?shù)臋C會“吃得苦中苦，方為人上人”；皇帝要的是聽他的話、為他辦事的官員。至于什么創(chuàng)造力、想象力等天賦，好像不是考試應(yīng)該關(guān)心的（當(dāng)然也不能太窩囊）。

誰都明白，中國如需發(fā)展，要屹立于世界，那就需要大量人才；誰也明白，考試很難考出一個人真正的能力。但是，有人辯解說，我們能找到比考試更好的方式嗎？誠然，考試也有泄題、作弊、走后門等不正當(dāng)手段，但總的來說，要是沒有考試，情況可能更糟。這個理由應(yīng)該說是比較有力的。不過，我要說的是，撇開泄題、作弊、走后門不談，我們的考試本身也有相當(dāng)?shù)牟还热缢蟠蟊阋肆四切┧烙浻脖车娜?，也大大照顧了那些鉆營考試套路的人，把人鍛煉成徹頭徹尾的應(yīng)試機器。這些人要是獲得好名次，其他人未必服氣。而能有效克服死記硬背的，不正是奧數(shù)么？當(dāng)然我們也必須指出，目前，奧數(shù)在中國確實比較功利，它沒能克服“鉆營考試套路”，因此中國隊在世界上之所以能夠摘金奪銀、在爾后的研究生涯中成績平平（前面說過，很多帶有欺騙性的所謂論文，使用一大堆花里胡哨的概念和符號，恐怕是作者本人都不知所云，遠不如奧數(shù)來得真刀實槍），就是給這個過多的“鉆營考試套路”給害的，真正具有創(chuàng)造力的人還是很難脫穎而出；而國外就不同了，那些在IMO上獲得獎牌的，確實有天賦，如得到重點培養(yǎng)，便有望出大成果。所以，切莫奢談素質(zhì)教育，即使是考試本身，也有好壞之分。競爭的好處是激勵成功者，而有利于一些狂妄的失敗者走出自我，但這一效果來必很明顯，也可能帶來負面影響（例如成功者愈加自我，而失敗者則自卑了），對于更多沒什么感覺、被父母“押解”來的學(xué)生，純粹是浪費時間和財力。當(dāng)然，這決不是奧數(shù)本身的錯，我們整個教育等同于應(yīng)試，其惡果是學(xué)生寧愿接受一些亂七八糟的東西，如星座、迷信等以及其他一些時髦玩意，這是一件非常讓人擔(dān)憂的事情（不是說教育乃百年大計么）。前面提到愛因斯坦，他成名后還頗有興致地與人討論門奈勞斯定理的幾種證法。不過，這樣的轉(zhuǎn)變過程對多數(shù)人來說是不可能的，加上考試的負擔(dān)一重，就更加排斥了。所以，為什么社會中很多成年人還十分粗俗甚至迷信，可以說（至少對這部分人而言）是教育失敗所致（但教育也不是那么容易改變的，所以不能把所有問題都歸咎于教育部門）。

我看了不少報道，對奧數(shù)的最大批評無非集中于兩點：一是奧數(shù)的功利性，摧殘了很多學(xué)生特別是小學(xué)生。二是奧數(shù)只有技巧沒有思想，不能培養(yǎng)數(shù)學(xué)家，甚至還有反作用。當(dāng)然，這第一點是不能怪奧數(shù)本身的，因為現(xiàn)在的教育體制是這樣的，如果取消了奧數(shù)，那么還有別的東西來替代它，學(xué)生依然要受“摧殘”。誰都知道，任何一項制度或體制，都是由一代代適應(yīng)的人去繼承并從中得益，這再正常不過，否則要這個制度或體制干嗎？這也就是為什么制度或體制難以改變的原因。與之不同的是第二點，似乎在怪罪奧數(shù)本身。所謂奧數(shù)不能培養(yǎng)大數(shù)學(xué)家，不能理解為奧數(shù)是扼殺大數(shù)學(xué)家的罪魁禍首。因為奧數(shù)有問題，那是整個教育有問題；而教育有問題，也決不僅僅是教育本身有問題。中國謀求發(fā)展，發(fā)展需要人才?？墒俏覀兊膰裼卸嗌倬邆溥@種“人才意識”呢？在國外，也知道考試遠遠不是挖掘真正人才的有效手段，因此并不十分吹捧第一名，因此在大學(xué)里一旦發(fā)現(xiàn)好的苗子，許多諾貝爾獎級別的大師都愿意一對一地悉心輔導(dǎo)，可以說是愛才如命。在中國的大學(xué)里，導(dǎo)師帶一幫子學(xué)生，經(jīng)?；ハ嗖灰娒?，導(dǎo)師搞經(jīng)費走關(guān)系還來不及。所以，要讓奧數(shù)這么“小”的一塊去承擔(dān)一個很大的責(zé)任，本身就是荒謬的。只是偏偏總有一群門外漢，或是見到別人賺錢心里不平衡，或是自以為很有思想，抓住一切機會指手畫腳，評頭論足，不亦樂乎，但對奧數(shù)的內(nèi)容和奧數(shù)教育的實質(zhì)卻并不清楚。

忽然又想起一件事。我曾在課堂上面對數(shù)十位初中生說，“你們知道嗎？數(shù)學(xué)中有七大未解決難題，每解決一個就可以得到100萬美元。所以學(xué)好數(shù)學(xué)也是有可能發(fā)財?shù)?。”出乎我意料，學(xué)生的回答是“才100萬??！”這使我頗為震動。我本來以為他們學(xué)習(xí)都是非常功利的，原來內(nèi)心還是能認識到學(xué)術(shù)的價值。

寫到此處，就以一首拙作《水調(diào)歌頭 · 贊幾何人生》結(jié)束吧，我無力把它寫得出色，但求表達心意：

海上名城夜，寶馬聚香車。無論新貴舊友，揮金爭豪奢。不絕笑聲繞梁，常添美酒盈樽，今宵須盡興。宴終人散后，多少醉歸客。世間樂，莫過此，長嗟嘆，人生幾何，紙上歲月亦如歌。點線巧妙配圓，皆嘆造化奇特?；腥晃蛘嬉?。天地有大美，知者來唱和。

作者于2010年10月

——上?？萍冀逃霭嫔纭稊?shù)學(xué)奧林匹克 命題人講座 ：圓》