Eugene Wigner的名篇《數(shù)學(xué)在自然科學(xué)中不可思議的有效性》，單從題目來看即蘊含著兩重思想：1. 數(shù)學(xué)對于理解自然的必要性；2. 自然現(xiàn)象在抽離出研究對象以豐富數(shù)學(xué)思想方面的重要性?；煦缋碚摰乃枷肫鹪从诓煌I(lǐng)域的不同專家對于不同自然現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述的孜孜以求，最終殊途同歸，抵達(dá)了統(tǒng)一的認(rèn)識。本文旨在講述生態(tài)學(xué)家在用邏輯斯蒂映射描述種群動力學(xué)行為時發(fā)現(xiàn)的倍周期分叉的數(shù)學(xué)特征。

撰文?|?丁玖（美國南密西西比大學(xué)數(shù)學(xué)系教授）

我在之前的《返樸》文章《這么說迭代，你一定能懂》（以下簡稱為《迭代》）中介紹了最基本的函數(shù)迭代現(xiàn)象，借多項式這一簡單道具，合用幾何法和分析法，展示了吸引或排斥的不動點或周期為二的周期點。有了這些基礎(chǔ)后，我們可以繼續(xù)行走在迭代的大道上，一路采擷五彩繽紛的朵朵鮮花。

這篇文章為讀者奉獻(xiàn)的是一簇簇特別絢麗的玫瑰之花，它們盛開在連綿不斷大枝分叉成小枝的迭代大樹上，它們也為組成“迭代春游團”的團員歷經(jīng)一場從有序到無序之旅，特地建造了一座走進(jìn)混沌世界之前的緩沖裝置，讓他們在猛見混沌怪獸而發(fā)出一聲驚叫前吸足氣、定定神。這整片的花朵開在帶有一個參數(shù)的一系列二次多項式的花園里。

然而，讓“倍周期分叉”紅玫瑰花朵光榮綻放的營養(yǎng)素卻來自于生物科學(xué)的一個宏觀分支——生態(tài)學(xué)，它也被稱為種群動力學(xué)，為玫瑰樹施肥的辛勤園工是后來擔(dān)任過英國政府首席科學(xué)家并被伊麗莎白女王封爵的羅伯特·梅?(Robert May，1936-2020)?。

梅男爵生于澳大利亞大城悉尼，在悉尼大學(xué)本科畢業(yè)時才二十歲，讀的是化學(xué)工程與理論物理。三年后，他在本校獲得理論物理博士學(xué)位，接下來去哈佛大學(xué)做了兩年博士后，研究應(yīng)用數(shù)學(xué)。重返母校后，他回歸本行，以高級講師的職稱開始教書，一路升到理論物理學(xué)正教授。1971年，因為又“心血來潮”地對生物學(xué)著了迷，他再度赴美，到普林斯頓高等研究院待了一年，并與普林斯頓大學(xué)的生物學(xué)家們交上朋友。兩年后，他成為這所名校的動物學(xué)講座教授。

正是在這里，他成了一位理論生態(tài)學(xué)家，并在基于函數(shù)迭代的創(chuàng)造性種群動力學(xué)研究中出了大名。這門學(xué)科從屬于生物學(xué)中的一個分支“群落生態(tài)學(xué)”，探索的是共同居住在同一個地理范圍或區(qū)域內(nèi)的兩種或更多種不同生物種群之間的相互依賴和制約關(guān)系，以及生物種群數(shù)目的漲落和生命的盛衰，目標(biāo)是尋找這些千變?nèi)f化的數(shù)量背后的規(guī)律、自然群落的復(fù)雜性和穩(wěn)定性之間的關(guān)系，以及能夠解釋變化規(guī)律的數(shù)學(xué)刻畫。

像一切其他自然科學(xué)家和工程技術(shù)人員，生態(tài)學(xué)家們自然也需要數(shù)學(xué)的幫助。然而，在從事像菲爾茲獎獲得者斯梅爾?(Stephen Smale，1930-)?那樣用深奧的現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究動力系統(tǒng)的幾何或拓?fù)鋵W(xué)家眼里，梅聞名于世的研究所用到的數(shù)學(xué)似乎非常簡單。事實上，他最為天下所知的工作只用到二次多項式，只不過其表達(dá)式中多了一個參數(shù)而已。然而這族函數(shù)的無窮多個彎曲度不一的拋物線圖象，將他寫出的科學(xué)論文像喬丹手中的籃球被一舉拋進(jìn)了《自然》和《科學(xué)》的期刊球籃里。

為研究生物種群數(shù)量的變化，梅選取了一個數(shù)學(xué)模型：xn+1?= μxn?(1-xn)。其中，xn與xn+1分別表示第n個時間段與第n+1個時間段的種群數(shù)量，但不是絕對數(shù)量，而是相對數(shù)量——以0代表生物體的絕種，1代表可以設(shè)想或環(huán)境允許的最大種群數(shù)，而作為種群數(shù)目與最大可能數(shù)目之比的“相對種群數(shù)”x則由0與1之間的一個數(shù)來表示；μ是個參數(shù)，它表示種群的繁殖率，在0和4之間取一個固定數(shù)。如此限制參數(shù)μ的值是為了保證對應(yīng)的迭代函數(shù)fμ(x) = μx(1-x)將其定義域區(qū)間[0, 1]映到自身當(dāng)中。于是，對屬于[0, 1]的任一個初始點，都可以無休止地將fμ迭代下去。

梅依據(jù)的這個函數(shù)fμ有個標(biāo)準(zhǔn)的名字：邏輯斯蒂映射?(logistic map)，它的值域是[0, μ/4]。這是描述種群數(shù)目變化的常用數(shù)學(xué)模型。初中生都能毫不費力地畫出fμ的圖象，它是一條包含在坐標(biāo)平面單位正方形內(nèi)、開口向下、經(jīng)過坐標(biāo)原點(0, 0)和x-軸上一點(1, 0)、其最高點坐標(biāo)為(1/2, μ/4)的拋物線。由此，當(dāng)參數(shù)μ從0增加到4時，總是通過兩個固定點(0, 0)和(1, 0)的這些拋物線越長越高，最后在μ = 4時，長成了在單位正方形中“頂天立地”的拋物線。

順便一提，早在1947年，分別為波蘭裔和匈牙利裔的美國數(shù)學(xué)家烏拉姆?(Stanislaw Ulam，1909-1984)?和馮·諾伊曼?(John von Neumann，1903-1957)?就對邏輯斯蒂映射族中μ = 4時這根最長的拋物線做出了精準(zhǔn)的統(tǒng)計學(xué)研究，給出了對幾乎所有初始點都一樣的迭代點軌道最終分布規(guī)律，這將是我未來一篇關(guān)于遍歷理論的科普文章中的一朵鮮花。

這個著名的數(shù)學(xué)模型符合生態(tài)學(xué)家對種群數(shù)量問題的直覺，就連大眾也不難理解。比如，在弱肉強食的非洲大草原，食草動物斑馬是弱者，而食肉動物獅子是強者，二者的種群數(shù)量相互制約，弱者如果被強者吃得太多，數(shù)目就會急劇減少，強者反過來也會面臨生存危機。所以，經(jīng)驗告訴我們，如果種群數(shù)比較小，就會上升很快；而數(shù)目適中時會導(dǎo)致增長速度趨近于零，種群數(shù)量很大時則急劇下降。這是生態(tài)學(xué)家從事研究時遵循的一條基本假設(shè)，它也反映在上述模型中：如果x上漲，那么1-x就會下跌，反之，如果x減小，1-x就增加，故而它們的乘積就制約著種群數(shù)量的變化?？磥?，這種函數(shù)關(guān)系確實可以在一定程度上反映生存環(huán)境下種群數(shù)量變化的規(guī)律。

在梅教授進(jìn)入這個領(lǐng)域之前，早期生態(tài)學(xué)家們普遍認(rèn)同英國理論進(jìn)化生物學(xué)家和遺傳學(xué)家史密斯?(John Smith，1920-2004)?在其經(jīng)典著作《生物學(xué)中的數(shù)學(xué)思想》(Mathematical Ideas in Biology)?中所主張的觀點：種群數(shù)往往近似為常數(shù)。他們或多或少都相信，在如上的邏輯斯蒂映射中，無論初始的種群數(shù)有多大或多小，幾年后數(shù)目就會穩(wěn)定在一個固定的數(shù)。同時，他們紛紛認(rèn)為，只有“穩(wěn)定解”才吸引人。如果看到不肯穩(wěn)定下來的種群數(shù)目，就會不假思索地認(rèn)定是計算工具的誤差在搗亂。

這種未經(jīng)科學(xué)實驗證實的信條已經(jīng)在眾多科學(xué)家的腦海里根深蒂固，因此他們極少肯坐下來對具體模型做一番數(shù)學(xué)分析的功課，更不要說無比耐心地從事枯燥無味的重復(fù)迭代運算。恰恰十年前的四月，哈佛大學(xué)已退休的一位著名生物學(xué)家威爾遜?(Edward Wilson，1929-2021)?在《華爾街日報》上撰文《偉大的科學(xué)家≠擅長數(shù)學(xué)》，試圖用自身經(jīng)歷論證：“當(dāng)今世界上許多最成功的科學(xué)家在數(shù)學(xué)上不過是半文盲”，該文以及四天后一名伯克利數(shù)學(xué)教授的反駁文章《不要聽愛德華·威爾遜》在當(dāng)年七月被《美國數(shù)學(xué)會會刊》轉(zhuǎn)載后，引起不少數(shù)學(xué)家與科學(xué)家的熱烈討論。

作為身跨多個領(lǐng)域的科學(xué)家，梅教授顯然不認(rèn)同傳統(tǒng)生物學(xué)家輕視數(shù)學(xué)的上述代表性觀點，在普林斯頓大學(xué)，他開始了對邏輯斯蒂映射的數(shù)值迭代試驗。正是集應(yīng)用數(shù)學(xué)家和生態(tài)學(xué)家于一身的梅教授將數(shù)學(xué)耐心地施加于邏輯斯蒂映射族，通過親手進(jìn)行迭代計算，他在種群動力學(xué)的田野上看到了令他驚奇不已的一派新景象。

為了敘述的方便起見，在下面我們假定以年為時間段，即若x表示本年的相對種群數(shù)，則μx(1-x)表示下年的相對種群數(shù)。

梅逐步增加繁殖率μ，想把種群數(shù)演變的最終趨勢與這個重要參數(shù)之間的關(guān)系搞個水落石出。很快他就發(fā)現(xiàn)，當(dāng)μ不超過3這個數(shù)時，一切都很正常。比如說，如果參數(shù)μ不大于1，那么無論起先是什么樣的種群數(shù)，最遲在第二年后，種群的數(shù)目就會逐年下降，最終將走向消亡。然而當(dāng)μ在大于1但不大于3時，不管開始的種群數(shù)為幾，一年年迭代之后的種群數(shù)會逐漸地穩(wěn)定下來，最終將趨向于某一個固定的數(shù)。這個固定數(shù)隨著參數(shù)的增加而增加，例如，當(dāng)μ取值為2.7時，最終的種群個數(shù)會固定在0.6296，而當(dāng)μ = 3時，終極種群數(shù)則增加到0.6667。

梅繼續(xù)增加參數(shù)的值。

當(dāng)μ大于3但不大于近似值約為3.45的一個精確值1 + √6時，他發(fā)現(xiàn)了新現(xiàn)象：種群數(shù)不再最終趨向于一個固定的數(shù)，而是一年年地交替升降，最后在兩個不同的固定數(shù)附近之間不停地來回跳動，最終趨向于這兩個周期點組成的一個周期-2軌道，而與迭代初始所選的種群個數(shù)無關(guān)。

如果讓參數(shù)值比3.45再大那么一點點，直到差不多3.54時，種群數(shù)則每過四年才呈現(xiàn)出有規(guī)律性的漲落，最終在四個固定數(shù)附近之間周而復(fù)始地跳來跳去，最終趨向于這四個周期點組成的一個周期-4軌道，而無論種群的初始數(shù)有多大。這樣一來，種群數(shù)的兩年周期現(xiàn)象就加倍成四年周期現(xiàn)象。

類似地，當(dāng)參數(shù)值超過3.54一個微小的數(shù)后，四年周期將跳到八年周期。然后，隨著參數(shù)值不斷細(xì)微增加，十六年周期、三十二年周期……，等等等等直到無窮，依次登場。然后，在μ的一個新的取值范圍內(nèi)，又有了周期不是2的次方的新的周期加倍現(xiàn)象。而當(dāng)μ再增加到一定程度后，最終的種群數(shù)量則看不到周期性，出現(xiàn)了某種“亂七八糟”的跡象。

我們將上面幾段用數(shù)學(xué)語言總結(jié)一下。

首先，通過求解二次方程μx(1-x) = x，我們得到兩個解x = 0和x = 1 – 1/μ，它們都是二次多項式函數(shù)fμ在整個實數(shù)軸上的不動點。注意這里邏輯斯蒂映射fμ的定義域是[0, 1]，值域也在定義域內(nèi)。容易看到當(dāng) μ < 1時，第二個不動點不在fμ的定義域內(nèi)。這樣，當(dāng)0 < μ ≤ 1時，fμ在[0, 1]中只有0這個不動點，而當(dāng)1 < μ ≤ 4時，fμ增加了一個不動點1 – 1/μ。用我在《迭代》中介紹的幾何迭代法可以直觀看出，或用初等微分學(xué)可以嚴(yán)格證明：當(dāng)0 < μ ≤ 1時，fμ那個唯一的不動點0是吸引的；當(dāng)1 < μ ≤ 3時，0變成了排斥不動點，但第二個不動點1 – 1/μ卻是吸引的；而當(dāng)3 < μ ≤ 1 + √6時，兩個不動點都是排斥的，但這個時候產(chǎn)生了一個吸引的周期-2軌道。更進(jìn)一步，存在參數(shù)μ值的一個嚴(yán)格單調(diào)遞增無窮數(shù)列{μn}，其中μ0?= 3, μ1?= ?1 + √6 ≈ 3.45, μ2?≈ 3.54，使得對每一個自然數(shù)n，當(dāng)參數(shù)μ 滿足條件μn-1 ?< μ ≤ μn時，下列三個性質(zhì)滿足：(i) 數(shù) 0和1 – 1/μ是fμ的兩個排斥的不動點；(ii) 對所有k = 1, 2, …, n-1，函數(shù)fμ有一個排斥的周期為2k的周期軌道；

(iii) fμ有一個吸引的、周期為 2n?的周期軌道。

由于當(dāng)參數(shù)μ通過這些點μ0, μ1, μ2, …后，fμ的周期點的個數(shù)，以及排斥和吸引這兩種動力學(xué)性質(zhì)發(fā)生了改變，這些特殊參數(shù)值μn被稱為帶參數(shù)函數(shù)族{fμ}的分叉點。由于每次分叉后產(chǎn)生了一個新的周期加倍的吸引周期軌道，這一過程稱為倍周期分叉。分叉點數(shù)列{μn}嚴(yán)格單調(diào)遞增，并且有上界，根據(jù)微積分里的單調(diào)收斂定理，它必定無限地接近一個極限值，此值是μ∞?= 3.61547…，這個數(shù)被命名為費根鮑姆數(shù)。

邏輯斯蒂映射族{fμ}的分叉圖

這個極限值得名如此，是因為美國數(shù)學(xué)物理學(xué)家米切爾·費根鮑姆（Mitchell Feigenbaum，1944-2019）。

費根鮑姆于1970年在麻省理工學(xué)院獲得粒子物理博士學(xué)位，然后在康奈爾大學(xué)和弗吉尼亞理工學(xué)院暨州立大學(xué)各待了兩年，這四年中他只發(fā)表了一篇論文，但積累了廣泛的知識基礎(chǔ)，可謂厚積薄發(fā)。事實上，他一生中獨立完成或與人合作的科學(xué)論文也只有二十七篇。

他1974年被美國洛斯阿拉莫斯國家實驗室招聘過去后，為以自己的方式深刻理解湍流中大小尺度之間的自相似性，并找到問題的本質(zhì)，他全然不顧能不能盡快擠出文章，而是一天工作“二十五”個小時，靠他擺弄計算器的雙手和計算間隙不停思考的大腦，發(fā)現(xiàn)了新的普適常數(shù)。他在理論部的頂頭上司后來評價：“費根鮑姆具有正確的背景，他在正確的時候做了正確的事情，而且做得很出色。他不是做局部的事情，而是把整個事情弄清楚了?！?/p>

費根鮑姆賴以出名的“金蛋”也生于邏輯斯蒂映射族{fμ}這只金雞，并先用他的HP-65型手用計算器，后來又在他所任職的國家實驗室內(nèi)最先進(jìn)的計算機上進(jìn)行了數(shù)值迭代。

他不僅找到了上述參數(shù)分叉點數(shù)列{μn}的極限，更進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)了下列“相繼差分比值數(shù)列”

δn?= (μn?– μn-1)/(μn+1?– μn)，n = 1, 2, 3, …

當(dāng)n趨于無窮大時的極限：δ∞?= limn → ∞?δn?= 4.669201609…，這表明相鄰兩個分叉值之差漸近地以等比數(shù)列的方式趨向于零。換言之，當(dāng)n大于一個很大的自然數(shù)時，可以認(rèn)為δn?約等于δ∞，因而對所有這樣的自然數(shù)n都有：μn+1?– μn約等于1/δ∞?乘上μn?– μn-1，即漸近地，μn+1?– μn是一個公比為小于1的正數(shù)1/δ∞的“等比數(shù)列”。

這個極限值就是費根鮑姆找到的新普適常數(shù)。而它之所以被認(rèn)定為“普適”，是因為對于其他像邏輯斯蒂映射一樣、圖象如同遠(yuǎn)遠(yuǎn)看過去的單峰駱駝背部形狀的那類“單駝峰”帶參數(shù)函數(shù)族，比方說另一個二次多項式函數(shù)族{μ – x2}或正弦函數(shù)族{ μ sin x}，盡管它們各自的參數(shù)分叉點數(shù)列的各項數(shù)值基本不一樣，因而極限也不一樣，但它們所對應(yīng)的差分比值數(shù)列的極限總是等于同一個絕對常數(shù)4.669201609…。它和圓周率π = 3.14159…或自然對數(shù)的底e = 2.71828…一樣，都是普適常數(shù)。

這個常數(shù)也稱為費根鮑姆常數(shù)。由于發(fā)現(xiàn)普適常數(shù)以及相關(guān)的里程碑式工作，費根鮑姆榮獲了1986年的沃爾夫物理學(xué)獎。

我們再次回到邏輯斯蒂映射。盡管其迭代過程在參數(shù)經(jīng)過一個又一個分叉點μn后看上去愈來愈復(fù)雜，但是可以嚴(yán)格證明，當(dāng)μn-1 ?< μ ≤ μn時，除了個數(shù)少得可以忽略不計的那些例外點外，對定義域區(qū)間[0, 1]中所有的初始點，其迭代點數(shù)列最終都將趨向于吸引的那個周期為2n?的周期軌道，因而迭代過程的最終性態(tài)還是可以預(yù)測的。那些不被這條周期軌道吸引的例外點是排斥不動點0和0-1/1μ以及周期為2, 22, …, 2n-1的排斥周期軌道中的那些點，加上迭代到某一步后成為它們的其他點，這些點作為迭代的初始點最終總會抵達(dá)排斥周期點。

然而，梅還發(fā)現(xiàn)，當(dāng)參數(shù)值到達(dá)μ∞后，周期現(xiàn)象變得模糊不清，種群數(shù)開始呈現(xiàn)一種像隨機數(shù)一樣無規(guī)律的漲落現(xiàn)象。而當(dāng)參數(shù)值繼續(xù)上升時，穩(wěn)定的周期或飄然而至，或冒出一些難以捉摸的、新的混亂狀態(tài)。這些都是在參數(shù)μ還未走到最大容許值 4 之前發(fā)生的種種怪事。當(dāng)參數(shù)值靠近 4 時，邏輯斯蒂映射的迭代點數(shù)列更是變得越來越復(fù)雜。

這是什么原因呢？

1974年，梅教授應(yīng)馬里蘭大學(xué)數(shù)學(xué)系“生物數(shù)學(xué)系列演講”之邀，報告了他對邏輯斯蒂映射數(shù)值迭代時發(fā)現(xiàn)的奇怪現(xiàn)象。演講之后，把他請來的一位教授送他去機場。路上，那位名叫詹姆斯·約克?(James Yorke，1941-)?的教授遞給梅一篇文章，一閱之下，梅教授大吃一驚：這篇文章里的一個定理解除了他的困惑。

這篇當(dāng)時還只是初稿的文章后來成為混沌史上最著名的數(shù)學(xué)論文之一，如今它的題目在中文世界也有了固定翻譯：“周期三則意味著混沌”。對于這篇已被學(xué)界引用超過5650次的區(qū)區(qū)八頁數(shù)學(xué)論文的初等詮釋，將是我不久后一篇數(shù)學(xué)科普文章的內(nèi)容。

關(guān)于“倍周期分叉”數(shù)學(xué)現(xiàn)象的生態(tài)學(xué)故事算是大致講完了，然而，光知道“科學(xué)人物的發(fā)現(xiàn)軼事”而缺乏對科學(xué)原理的基本認(rèn)識，就如同美國理論物理學(xué)家費曼?(Richard Feynman，1918-1988)?經(jīng)?；貞浀乃赣H在他還是孩提時特地忠告兒子的一句話“你如果對一只鳥只知道它的名字，而對它的習(xí)性卻一無所知，那么你對那只鳥的了解幾乎為零”所表達(dá)的真理。費曼認(rèn)為父親這種簡單而有智慧的觀點影響了自己的科學(xué)生涯一輩子，讓他很早就懂得了僅僅知道事物的名稱和充分了解事物的本質(zhì)這一根本區(qū)別。因此，我在本文的最后一部分轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)，主要用淺顯易懂的初等數(shù)學(xué)語言解釋上文關(guān)于邏輯斯蒂映射族fμ的三個倍周期分叉性質(zhì)中，為何當(dāng)繁殖率μ越過3這個門坎后一下子冒出一個周期-2軌道，并且該軌道在μ值超過1 + ?√6前都是吸引的。

回憶一下，當(dāng)參數(shù)μ > 1時，函數(shù)fμ(x) = μx(1-x)的兩個不動點0和1 - 1/μ是二次多項式方程fμ(x) = x在定義域[0, 1]中的兩個根，它們也是四次多項式方程(fμ)2(x) = x的兩個根。注意，這里的記號(fμ)2表示函數(shù)fμ與它自己的復(fù)合函數(shù)，即(fμ)2(x) = fμ(fμ(x))；二次多項式與己復(fù)合后變成四次多項式。根據(jù)代數(shù)基本定理，計入重數(shù)的話，這個四次多項式方程恰好有四個復(fù)數(shù)根，如果剩下的兩個根也是位于[0, 1]中的實數(shù)，那么它們一定是fμ的周期為二的周期點了，并且構(gòu)成一個周期-2軌道。我們來分析：μ取什么值時這后兩個根一定是非實數(shù)不可。

為此目的，我們求助于初等代數(shù)。首先，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的定義，

(fμ)2(x) – x = fμ(fμ(x)) - x = fμ(μx(1-x)) - x = μ[μx(1-x)][1- μx(1-x)] – x

= -x [μ3x3?- 2 μ3x2?+ μ2(1 + μ)x + 1 – μ2]。

求解多項式的零點等價于對該多項式因式分解，這個事實基于的理由是：一個多項式p有零點a當(dāng)且僅當(dāng)它能被線性多項式x – a整除，即p(x) = (x-a)q(x)，其中商q是次數(shù)低一階的多項式。既然1 - 1/μ是(fμ)2(x) – x的零點，x – (1 - 1/μ)必定是(fμ)2(x) – x的線性因子，故有

(fμ)2(x) – x = -x(x – 1 + 1/μ) gμ(x)，

其中g(shù)μ是一個二次多項式。我相信讀過中學(xué)以上的讀者對多項式除以多項式的“長除法”是“拿手好戲”，所以我就不想在這里列出占去太多地方的多項式除法豎式運算，只給出我用草稿紙演算出的結(jié)果，敬請讀者驗證：

gμ(x) = μ3x2?- μ2(1 + μ)x + μ(1 + μ)。

每一個學(xué)過初等代數(shù)的人都不應(yīng)忘記，二次方程ax2?+ bx + c = 0有兩個相異實數(shù)根的充分必要條件是它的判別式b2?– 4ac > 0。這樣，gμ有兩個相異實數(shù)零點的充分必要條件是

[-μ2(1+μ)]2?- 4 μ4(1 + μ) = μ4(1 + μ)(μ – 3) > 0。

故當(dāng)μ > 3時，gμ恰有兩個相異實數(shù)零點，運用眾所周知的一元二次方程的求根公式，它們是

qμ?= 1/2 + {1 – [(1 + μ)(μ – 3)]1/2}/(2μ)， rμ?= 1/2 + {1 + [(1 + μ)(μ – 3)]1/2}/(2μ)。

不難驗證，在參數(shù)μ屬于(3, 4]時，0 < qμ?< 1 - 1/μ < rμ?< 1，因此qμ和 rμ組成了fμ的唯一周期-2軌道。這里“唯一性”的理由是四次方程(fμ)2(x) = x不可能有多于四個的解。

綜上所述，邏輯斯蒂映射族{fμ}當(dāng)1 < μ ≤ 3時只有不動點0和1 – 1/μ，而當(dāng)3 < μ ≤ 4時，除了上述兩個不動點外，fμ還“無中生有”地冒出了一個周期-2軌道{qμ, rμ}。

那為何當(dāng)3 < μ ≤ 1 + √6時上述的周期-2軌道{qμ, rμ}是吸引的？此處的“吸引”意指：當(dāng)初始點x0取自qμ或rμ的附近小鄰域內(nèi)時，由它出發(fā)的迭代點軌道將越來越靠近兩點之集{qμ, rμ}。既然函數(shù)fμ的兩個周期-2點qμ和 rμ也是函數(shù)(fμ)2的不動點，我們可以等價地檢查它們何時成為(fμ)2的吸引不動點。根據(jù)定義，一個函數(shù)的不動點被稱為是吸引的，如果從該點的某個鄰域內(nèi)任取一點作為初始點，則由此出發(fā)的迭代點軌道最終將趨向于這個不動點。在實際操作上，為了判斷給出的不動點是否吸引其附近的點，我們需要初等微分學(xué)里的導(dǎo)數(shù)概念以及它的幾何意義。

我在《迭代》中講過，線性函數(shù)ax + b當(dāng)|a| < 1時，其唯一的不動點b/(1-a)是吸引的，但當(dāng)|a| > 1時，則b/(1-a)是排斥的不動點。這里的系數(shù)a也是對應(yīng)的直線圖象的斜率。對于任意一個可微函數(shù)y = f(x)，它在一點x的導(dǎo)數(shù)值f’(x)就是函數(shù)的圖象在點(x, f(x))處的切線的斜率。非線性函數(shù)的圖象曲線雖然是彎曲的，然而在切點的附近，曲線和切線看上去幾乎一樣，這個觀察是為何幾百年來微積分大獲全勝的基本道理。既然不動點的“吸引性”或“排斥性”像“函數(shù)的導(dǎo)數(shù)”概念一樣是個“局部性質(zhì)”，我們憑什么不能借用在不動點處相切于函數(shù)圖象的簡單直線來代替復(fù)雜曲線制作數(shù)學(xué)工具，判斷函數(shù)f的不動點x*是否具有“吸引力”或“排斥力”呢？這個思想至少能幫助我們“想出”一個簡單易行的判別法，即如果f的不動點x*滿足|f’(x*)| < 1，那么x*一定是吸引的；如果|f’(x*)| > 1，那么x*一定是排斥的。這個想法是千真萬確的。

為什么呢？畫一條在與對角線y = x相交點附近走向比較平坦的函數(shù)曲線，用“圖象迭代法”很容易就能幾何地證明上述斷言。但下面的“分析論證”更加令人信服：假設(shè)f(x*) = x*及|f’(x*)| < 1，由于導(dǎo)數(shù)f’(x*)是函數(shù)值差f(x) – f(x*)與自變量值差x – x*的比當(dāng)x趨于x*時的極限，我們有理由相信當(dāng)x在x*附近時，|f(x) – x*| ≤ δ |x – x*|，其中正數(shù)δ只比|f’(x*)|大了那么一點點，但還是像|f’(x*)|那樣小于1（比如，可以取δ為|f’(x*)|和1的算術(shù)平均，即δ = (|f’(x*)| + 1)/2）。

如上就是論證“吸引性”的關(guān)鍵一步，它表明，如果將x*附近的x取成初始點x0，那么f的第一個迭代點x1?= f(x0)就比x0更接近不動點x*。何止更接近，而且是以收斂到零的幾何數(shù)列方式最終趨向于x*：|x1?– x*| ≤ δ|x0?– x*|，|x2?– x*| ≤ δ|x1?– x*| ≤ δ2|x0?– x*|，|x3?– x*| ≤ δ|x2?– x*| ≤ δ3|x0?– x*|, …, 故

limn → ∞?|xn?– x*| ≤ limn → ∞?δn|x0?– x*| = 0。

這里，xn?= f(xn-1) = fn(x0)是f的第n個迭代點。

用上面的思想同樣可以證明，如果f的不動點x*滿足|f’(x*)| > 1，那么x*是排斥的，即它排斥了其附近的不等于它的每一點x：|f(x) – x*| ≥ Δ |x – x*|，其中Δ為某個大于1的數(shù)。

讀者自然想到當(dāng)|f’(x*)| = 1時結(jié)論如何。沒有辦法，沒有一般性結(jié)論，只能是“具體問題具體分析”；就像人生一樣，數(shù)學(xué)也有遺憾。學(xué)過高等數(shù)學(xué)中的無窮級數(shù)理論的讀者定會記得這個事實：任給一個關(guān)于級數(shù)收斂與否的判別法，總能找到級數(shù)，對它而言該判別法失效。所以，世間沒有“萬能鑰匙”；當(dāng)我看到一些出版社諸如“世界公認(rèn)最牛學(xué)習(xí)方法！”的促銷廣告詞時，就免不了呵呵一笑，如同見到發(fā)明出永動機的新聞一樣。

好了，我們可以將上述的通用判別法用到我們這篇文章集中考慮的邏輯斯蒂映射fμ與它自己的復(fù)合函數(shù)(fμ)2，但也僅僅限制在參數(shù)μ屬于(3, 1 + √6)的簡單情形，領(lǐng)略一下分析的思想和微分學(xué)的妙用，這就夠了。復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計算有個公式，叫做連鎖法則：兩個可微函數(shù)f與g的復(fù)合函數(shù)f?g在x的導(dǎo)數(shù)等于f在g(x)的導(dǎo)數(shù)乘以g在x的導(dǎo)數(shù)，即(f?g)’(x) = f’(g(x))g’(x)。這樣一來，在(fμ)2的不動點qμ和rμ處用連鎖法則求導(dǎo)，得[(fμ)2]’(qμ) = (fμ)’(fμ(qμ)) (fμ)’(qμ) = (fμ)’(rμ) (fμ)’(qμ)，

[(fμ)2]’(rμ) = (fμ)’(fμ(rμ)) (fμ)’(rμ) = (fμ)’(qμ) (fμ)’(rμ) = [(fμ)2]’(qμ)。

將qμ和 rμ分別取代fμ的導(dǎo)數(shù)表達(dá)式(fμ)’(x) = μ - 2μx中的x，放進(jìn)上面的兩導(dǎo)數(shù)乘積并展開，再用關(guān)于二次多項式gμ的韋達(dá)定理化簡之，就有[(fμ)2]’(qμ) = (μ - 2μrμ)(μ - 2μqμ) = μ2[1 - 2(qμ?+ rμ) + 4qμrμ]

= μ2[1 – 2(1/μ + 1) + 4(μ + 1)/μ2] = -μ2?+ 2μ + 4。

這樣，根據(jù)上述的判別法，如果|-μ2?+ 2μ + 4| < 1，則周期-2軌道{qμ, rμ}是吸引的。而所論不等式等價于|(μ – 1)2?– 5| < 1，它的解是3 < μ < 1 + √6。另一方面，因為當(dāng)μ > 3時, |(fμ)’(0)| = μ > 1及|(fμ)’(1-1/μ)| = |2 – μ| > 1，故不動點0和1-1/μ都是排斥的。當(dāng)μ = 1 + √6時，由于|(μ – 1)2?– 5| = 1，導(dǎo)數(shù)判別法失效，但依然可證對應(yīng)的周期-2軌道是吸引的。

至此，我們證明了上文中列舉的邏輯斯蒂映射族{fμ}之倍周期分叉三性質(zhì)(i)-(iii)中n = 1的情形。對n = 2, 3, …等情形的證明思路一模一樣，只不過計算則變得越來越復(fù)雜罷了。

歷史上首次由生態(tài)學(xué)家梅博士數(shù)值模擬的這類單參數(shù)函數(shù)族的分叉規(guī)律，在動力系統(tǒng)領(lǐng)域被形象地稱為干草叉型的，因為上面的分叉圖如果用虛線再畫上那些排斥的周期點，就像是一個個農(nóng)村里常用的工具“干草叉”，它與“倍周期分叉”不可分離。不過還有一種分叉現(xiàn)象，稱為“切線型”的，它來自于在參數(shù)跨過一個門檻的前后，函數(shù)的圖象歷經(jīng)一次與對角線y = x相交兩點，相切于一點，到彼此分離的“合久必分”過程，因而不動點的個數(shù)從二減少到一再到零。它的一個典型例子是指數(shù)函數(shù)族{μex}，其中參數(shù)μ > 0。當(dāng)μ = 1/e時，函數(shù)圖象與對角線相切于不動點1，當(dāng)μ < 1/e時，圖象與對角線相交于兩點，而當(dāng)μ > 1/e時函數(shù)圖象與對角線絕不相交。作為讀完本文后的自我測驗，我邀請讀者用“圖象迭代法”對這族指數(shù)函數(shù)就0 < μ < 1/e，μ = 1/e及μ > 1/e這三種情形， 預(yù)測一下對應(yīng)于所有初始點的迭代點軌道的最終走向。

到目前為止，我們的函數(shù)迭代僅僅碰到周期為2的非負(fù)整數(shù)冪次的周期點，包括不動點。在全然有序的自然數(shù)中，緊跟著2的是3，這可是一個不同凡響的自然數(shù)，它將在函數(shù)迭代的大海里掀起巨浪，讓航行中大船的未來航線無法預(yù)見！

致謝：作者感謝學(xué)者楊運洋閱讀初稿并提出修改建議。

出品：科普中國