合計(jì)3133字，含吐槽——

學(xué)習(xí)這種東西，快就是慢，慢就是快，遇到問題大多回歸基礎(chǔ)慢慢就能搞定，平新喬的十八講，顯然對(duì)解微分方程的能力要求比較多，停個(gè)一兩個(gè)月補(bǔ)補(bǔ)常微分復(fù)變函數(shù)偏微分方程的內(nèi)容再看，就會(huì)簡單許多。不補(bǔ)數(shù)學(xué)怎么讀都會(huì)覺得難，補(bǔ)完就會(huì)簡單，所以不要著急，急也沒用。耐心刷刷數(shù)學(xué)題，慢慢就好了。

像這種以計(jì)算為主的數(shù)學(xué)，會(huì)就是會(huì)，不會(huì)就是不會(huì)。老碧的重心還是在數(shù)學(xué)和外語上，以后慢慢加入其他內(nèi)容就會(huì)更明顯了。

當(dāng)然以應(yīng)試內(nèi)容為主，吸粉變現(xiàn)的可能性更高，但是，對(duì)于老碧而言，那太無聊了。今年空一年，老碧還是想要放飛自我，做一點(diǎn)、學(xué)一些自己喜歡的內(nèi)容，一切皆有可能?！媳淌且粋€(gè)任性的人，也許哪一天就因?yàn)槿涡责I死了，估計(jì)那時(shí)候所有人就都開心了。

怎么說呢，大家當(dāng)然可以在乎我寫了什么，實(shí)際上，隨著學(xué)習(xí)和認(rèn)識(shí)的加深，我寫的任何內(nèi)容，我自己都有可能推翻，畢竟我的目標(biāo)僅僅是希望大家能夠和我一起學(xué)習(xí)而已，所以，一起行動(dòng)起來，堅(jiān)持下去，老碧認(rèn)為才是最重要的。

說教的話，不說太多，開始學(xué)習(xí)——

part 1 同濟(jì)《高等數(shù)學(xué)》常微分方程部分

上一周，我們聊完了所有比較特殊且簡單的有對(duì)應(yīng)方法的幾種類型——

1. 與不定積分同型的那些類型的方程——直接用不定積分那一章的技巧解決——直接法；

2. 變量分離的方程——把方程化為P（x）dx=Q（y）dy的形式，直接兩邊積分即可——分離變量法；

3. 齊次方程——形如dy/dx=f（x，y），等式右端的函數(shù)f（x，y）為它的變量x和y的零次齊次函數(shù)，令y=ux，回歸變量分離的方程，即可——變量替換法；

4. 可以向2、3轉(zhuǎn)化的類型——形如dy/dx=（ax+by+c）/（a1x+b1y+c1）的微分方方程在c=c1=0時(shí)為齊次方程，當(dāng)c和c1至少有一個(gè)不為0時(shí)，可以做相關(guān)變換，使其轉(zhuǎn)化為齊次方程/變量分離的方程，這種類型和不定積分中有理函數(shù)的積分解法有相似之處——分離變量法/變量替換法。

今天開始進(jìn)入常微分方程中主要涉及的一種方程類型——線性方程。

線性方程——顧名思義，就是里面每一個(gè)含未知量x的項(xiàng)都是一次的。

原因在于，F(xiàn)（x）=ax+b=a1x1+a2x2+……+anxn+b，所生成的圖像是一條直線，顧名思義，線性函數(shù)，于是形如0=ax+b就是線性方程了，這也是為什么，在常微分方程課程中，線性代數(shù)的內(nèi)容依然很重要的原因。

非線性方程，往往可以采取局部分析的方法，轉(zhuǎn)化為線性方程，所以線性方程可以說是微分方程的基礎(chǔ)內(nèi)容。

依然按照從簡單到復(fù)雜的順序，最簡單的線性方程是一階線性微分方程，所以我們就從這種類型開始了。

一階線性微分方程——即只含有一階導(dǎo)數(shù)的線性微分方程，形如dy/dx+P（x）y=Q（x）的微分方程?！浑A線性微分方程又分為兩種——

齊次方程——Q（x）恒為0；

非齊次方程——Q（x）不恒為0。

注意：

1. 這里的齊次方程不要和之前的齊次方程混淆，是兩個(gè)完全不同概念；

2. 非齊次方程的解可由齊次方程的解獲得，所以先解決齊次方程的解即可。

一階齊次線性方程的通解——

1. dy/dx+P（x）y=0，可得到dy/y=-P（x）dx——變量分離的方程，兩邊取積分；

2. ln |y|=-∫?P（x）dx+C1，即y=Ce^（-∫?P（x）dx）——其中C的取值取決于C1，C=e^C1或C=-e^C1。

   注意——綠字部分的解是要背下來的。

一階非齊次線性方程的通解——常數(shù)變易法：利用齊次方程的通解y=Ce^（-∫?P（x）dx）——（重點(diǎn)?。?！）——

1. 方程形如dy/dx+P（x）y=Q（x），其中Q（x）不恒為0；

2. 將齊次方程通解中C換成未知函數(shù)u（x），即y=ue^（-∫?P（x）dx）；

3. 由2得dy/dx=u'e^（-∫?P（x）dx）-uP（x）e^（-∫?P（x）dx）；

4. 將2、3代入1，得dy/dx+P（x）y=[u‘e^（-∫?P（x）dx）-uP（x）e^（-∫?P（x）dx）]+P（x）ue^（-∫?P（x）dx）=Q（x）；——注意到綠色部分可以消去；

5. 由4解出u（x）——

   u‘e^（-∫?P（x）dx）=Q（x），u'=Q（x）e^（∫?P（x）dx），

   u=∫?[Q（x）e^（∫?P（x）dx）]dx+C；

6. 將5代入2中，y=e^（-∫?P（x）dx）（∫?[Q（x）e^（∫?P（x）dx）]dx+C）；

7. 將6中式子改寫得到，y=Ce^（-∫?P（x）dx）+[e^（-∫?P（x）dx）]（∫?[Q（x）e^（∫?P（x）dx）]dx）；

   注意：

   1.第一項(xiàng)（紅色部分），為齊次線性方程的通解；

   2.第二項(xiàng)（綠色部分），為非齊次線性方程的一個(gè)特解（C=0時(shí)）。

注意：這個(gè)解是要背下來的，不然做題就麻煩太多了，而且，記住這個(gè)形式，對(duì)解決一些問題的切入點(diǎn)也很重要。

part 2.1?經(jīng)濟(jì)學(xué)概念——高鴻業(yè)

高鴻業(yè)《西方經(jīng)濟(jì)學(xué)》第二章第五節(jié)：彈性——

第五節(jié)引入彈性的概念——

彈性——一般來說，只要兩個(gè)經(jīng)濟(jì)變量之間存在函數(shù)關(guān)系，我們就可用彈性來表示因變量對(duì)自變量變化的反應(yīng)敏感程度。

彈性一般公式——彈性系數(shù)=因變量的變動(dòng)比例/自變量的變動(dòng)比例。

彈性公式——e=（ΔY/ΔX）（X/Y）——e：彈性系數(shù)，ΔX、ΔY變量X、Y的變動(dòng)值。

弧彈性公式——ΔX趨于0時(shí)，e=lim?（ΔY/ΔX）（X/Y）=（dY/dX）（X/Y）——極限值。

需求的價(jià)格彈性含義——表示在一定時(shí)期內(nèi)一種商品的需求量變動(dòng)對(duì)于該商品的價(jià)格變動(dòng)的反應(yīng)程度；或者說，它表示在一定時(shí)期內(nèi)一種商品的價(jià)格變化百分之一時(shí)所引起的該商品的需求量變化的百分比。

需求的價(jià)格彈性公式——需求的價(jià)格彈性系數(shù)=需求量變動(dòng)率/價(jià)格變動(dòng)率。

需求的價(jià)格彈性分兩種——弧彈性和點(diǎn)彈性，今天來介紹第一種——

.弧彈性——需求的價(jià)格弧彈性表示某商品需求曲線上兩點(diǎn)之間的需求量的變動(dòng)對(duì)于價(jià)格的變動(dòng)的反應(yīng)程度；簡單地說，它表示需求曲線上兩點(diǎn)之間的彈性。

弧彈性公式——ed=-（ΔQ/Q）/（ΔP/P）=-（ΔQ/ΔP）*（P/Q）——需求函數(shù)Q=f（P），ΔQ與ΔP分別表示需求量的變動(dòng)量和價(jià)格的變動(dòng)量，ed表示需求的價(jià)格彈性系數(shù)——通常情況下，商品的需求量和價(jià)格是呈反方向變動(dòng)的，即為ΔQ/ΔP負(fù)值，所以公式加了個(gè)負(fù)號(hào)，使價(jià)格彈性系數(shù)ed取正值。

需求的價(jià)格弧彈性的計(jì)算——給一個(gè)需求函數(shù)，給出兩點(diǎn)的價(jià)格；將價(jià)格代入需求函數(shù)，求出兩點(diǎn)的需求量；再求出價(jià)格的變化量ΔP，需求的變化量ΔQ，分別代入公式即可。

注意——

1. 給定變化方向直接求出變化終點(diǎn)的弧彈性系數(shù)即可；

2. 未給點(diǎn)變化方向，則取兩點(diǎn)弧彈性系數(shù)的平均值，即——

弧彈性的中點(diǎn)公式——ed=-（ΔQ/ΔP）*{[（P1+P2)/2]/[（Q1+Q2)/2]}

需求的價(jià)格弧彈性的五種類型——

1. ed>1——富有彈性；

2. ed<1——缺乏彈性；

3. ed=1——單一彈性/單位彈性；

4. ed=∞——完全彈性；

5. ed=0——完全無彈性。

明天繼續(xù)聊點(diǎn)彈性的運(yùn)算和分類。

part 2.2?經(jīng)濟(jì)學(xué)概念——曼昆

我們來逐一介紹曼昆《經(jīng)濟(jì)學(xué)原理》上的原理，曼昆的經(jīng)濟(jì)學(xué)的十條原理第五條：

trade can make everyone better off貿(mào)易令每個(gè)人獲利——對(duì)應(yīng)高鴻業(yè)書上第3條?以較小的代價(jià)獲取較大的利益，必然導(dǎo)致分工——

1. 當(dāng)你的家庭成員找工作時(shí)，他便與其他家庭中找工作的成員造成競爭；當(dāng)他去購物的時(shí)候，同樣造成競爭，因?yàn)槊總€(gè)人都想要更物美價(jià)廉的物品；

2. 盡管如此，你們不會(huì)讓自己的家庭從所有家庭中孤立出去，否則你的家庭就要做到自給自足，顯然，你的家庭如果選擇與其他家庭進(jìn)行交易，獲利更多；

3. 貿(mào)易/交易的存在使得每個(gè)人都會(huì)專注于某項(xiàng)活動(dòng)，則，這項(xiàng)活動(dòng)的成果更好，于是每個(gè)人通過交換就可以獲得更多跟好的物品。

即，交易的存在使我們可以拿一樣?xùn)|西獲得多樣?xùn)|西，那么我們可以專注在一件事上，于是我們可以把這件事情做得更好。

明天繼續(xù)！