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數學應該怎么教？

2023-03-20 08:45 作者:返樸科普 0人讀過 | 我要投稿

數學既是精確演繹的科學，也是語言嚴密的藝術，不僅難學，而且難教。本文作者如今年已花甲，從教數十年，曾獲得校級教學獎章，他以多年的教學經驗總結了些許經驗，在此與大家分享。

撰文?|?丁玖（美國南密西西比大學數學系教授）

我們從小進了學校后就開始聽老師教數學，其實性急的父母在孩子兩、三歲時就教子女幾加幾等于幾甚至幾乘幾等于幾了，生怕落在別人家的孩子后頭。從小學、初中到高中，數學老師教了我們12年的初等數學，如果大學進的是理工科院系，數學系的老師根據掛在我們脖子上的標牌，比如物理或者生物或者電機，繼續(xù)教授我們不同類型不同深淺的高等數學。然而現實中普遍的情況是，大學在讀生或畢業(yè)生要么吐槽數學教科書參考書寫得太次，要么埋怨數學正教授副教授教得太差。

當然，如果一個學生本身就不好好學，那么就存在將沒學好的責任推卸給教材或教師的可能性，就像美國一部分書念得極差的大學生在匿名的“教師評價表”中給那些有外國口音的教授或研究生寫下的“英文聽不懂”的假多真少的評語。

然而，倘若一名學生是個有志青年，極具學習的動力，但捧在手里的是粗制濫造甚至錯誤百出的必修教材，聽的是照本宣科或者思維混亂的課堂教學，如果不讓其吐出“把教科書摔掉”或“老師可以休矣”的一聲嘆息乃至滿腔怒火，我們的學校就應該關門。

確實，太多的學生數學沒學好或終生恨數學，一個重要原因是老師沒教好。因此，探究“數學應該怎么教”是每一位數學教師不得不設法求解的問題，無論他是大學教授還是中小學老師。作為在中國的大學教過三學期基礎或專業(yè)課、在美國的大學正式教了近33年書的一位老數學教師，我想分享一下自己對這一問題的認識與實踐，同時傳播我見過的幾個教學名師的觀念與做法。

研究數學總是從公理和假設開始，為了探討“怎樣教數學”這個論題，我們也假設，所教的數學某一學科的教材是優(yōu)質的，所教的學生也是愿意學的。如果把好教材看成是布景適中的舞臺，把好學生視為臺下不發(fā)出噓聲的理想觀眾，那么授課老師將如何像好演員那么地表演到位呢？

條件一：熱情似火

美國布朗大學的已故應用數學教授、寫過一本巨著《古今數學思想》的克萊因?(Morris Kline，1908-1992)，對于課堂教學有過一段精辟論述和殷切期待，他的英文原話是：

“I would urge every teacher to become an actor. His classroom technique must be enlivened by every device used in theatre. He can be and should be dramatic where appropriate. He must not only have facts but fire. He can utilize even eccentricities of behavior to stir up human interest. He should not be afraid of humor and should use it freely. Even an irrelevant joke or story perks up the class enormously.”

翻譯成中文是：

“我想力勸每位老師成為演員。他必須借助于如劇場用的每一種設備來使課堂技巧生機盎然。在適當時他可以也應當成為戲劇性的。他不僅有事實，而且有火。他甚至可以利用近乎怪癖的舉動來激發(fā)人們的興趣。他不應該害怕幽默，而應將之應用自如。這樣，即使是不相干的笑話或故事也會使課堂極大地活躍起來?！?/p>

數學既是精確演繹的科學，也是語言嚴密的藝術，她不僅難學，而且難教。這就引出教好數學的一項必要條件：你必須胸中升起克萊因希望你能點燃的激情之火。如果閣下對教書缺乏火一般的熱情，最好不要去當數學老師，免得終生難受；如果你拿到了數學博士學位并極具研究潛質，但不愛教書，那么最好去申請科學院數學研究所或類似研究機構的助理研究員位置，因為那里無需教書，而且國家還會給你不錯的薪水。但是，你要記住，不喜歡教書的人有相當的概率也不喜歡與他人交流，這種習慣有時會降低研究的效率，因為許多靈感是在飯桌旁、會議內或遠足郊游的相互交談中獲得的。

熱愛教書的人幾乎都有“大嗓門”的特點，他們講課的聲音可以穿透教室的每一個角落，即便是耳背的退休老人，也可以坐在教室的后排旁聽，清楚地收到年輕時因貪玩沒能學會的知識。不要低估這個“音響效果”，它是衡量書教得好不好的一個重要指標。我的外祖父在解放前教了幾十年的書，桃李滿天下。我自然無緣進他的課堂聽講，但小時候的我隨父母去看望外祖父母時，他清癯的嘴巴發(fā)出問我們成語典故的洪亮聲音大到我只好后退一步。即便在他生命的最后幾天，90歲的他嫌三個下肚的嫩雞蛋不夠勁的吶喊依然那么有力。這就是一個好老師的特色。先母完全遺傳了他的衣缽，從15歲起手執(zhí)教鞭，不僅以板書之美著稱，也以聲如洪鐘存世。

我一生中有幸受教過的幾位數學老師，課堂中無一不以中氣飽滿留給學生深刻印象。我在南京大學讀大一時教我們《線性代數》的林成森老師，他不光中文字發(fā)音清楚，語調抑揚頓挫，而且新出場的數學概念也解釋得比水晶還一清二楚。我曾在一部回憶錄里寫道：“他的課如果聽不懂的話，只能要問自己的腦子是否要動個小手術了?！北人v課還要“盡情表演”的要算我在密歇根州立大學時的博士論文導師李天巖教授了。他完全有資格充當克萊因教授的“案例”展現給讀者示范怎樣教書。他一生中有三分之二的時間是在和病魔作斗爭，但他在教室里的聲調和手勢比健康人還健康，一旦講到關鍵的概念和奇妙的想法，他會重復強調好幾遍，而且聲帶的振幅越來越大，甚至以精神飽滿的夸張神態(tài)和動感十足的肢體語言助力同學們的理解。那種激情澎湃，那種感染力度，把坐在那里的所有學生都融化了。面對這樣的教書先生，學不好才怪呢。

李教授2017年給中國訪問學生講“周期三推出周期四”特例

自然，有的老師并非生來討厭教書，卻可能是生來天性靦腆，上了講臺就像羞答答的小姑娘不敢見生人，膽小到甚至不敢面對學生，只敢面對黑板與之交談，聲音輕得或許第一排才能聽清楚。這怎么辦呢？如果她或他天性熱愛學生，也懂得教書的藝術，完全可以治好這一“非致命毛病”。要知道即便一些偉大的學者，學術交流時也會“牙齒顫抖”甚至聲音“細若蚊蟲”，著名的一例是日本首位諾貝爾獎獲得者湯川秀樹?(Hideki Yukawa，1907-1981)，他在這方面給人留下的深刻印象讓愛因斯坦在普林斯頓高等研究院時的同事荷蘭裔美國物理學家派斯?(Abraham Pais，1918-2000)?不忘在他的“原子彈之父傳記”《奧本海默的一生》中對這位東方學者記上一筆：“He was a friendly but shy man, as was particularly noticeable when he gave seminars. Not only did he speak softly, but he would also turn his back to the audience and address the blackboard, pure torture for his listeners.?（他是一個友好但害羞的人，這一點在他研討會報告時尤為明顯。不僅說話聲音小，還背對著聽眾對著黑板講話，簡直就是折磨聽眾。）”

克服自信心不足講課聲音小的缺陷有個好方法，就是效仿大街上看到的兩人吵架那樣鼓足干勁，大開嗓門。吵架的人總是以為真理只在自己一方，于是“理直氣壯”，分貝自然大漲。同樣的理由，講課的老師擁有知識，而講臺下的學生因為還沒有獲得知識，因而“真理”還在自己手里，可以想象他們應該“洗耳恭聽”，所以也應“理直氣壯”。有了這樣的心理活動，講課時“膽怯”這個敵人只會嚇得逃之夭夭，聲音也就成比例地上揚。

其實，有一部分人，生來就不怕學生，屬于“天生適合當老師”那類高等動物。我很早就發(fā)現自己也是其中一員。1973年晚春，當我還在14周歲的時候，高中畢業(yè)后已經無?？赡盍耍缓迷诩覠酗?。一天父親回到家問我，他的學校一位數學老師因故離開一個月，需要找一名代課老師，他問我敢不敢教。我那時很想為家掙錢，馬上答應。我第一天教的是“球冠的體積”，這個初中班的學生年齡幾乎個個比我大，不少人個子也高于我，但我根本不怕他們，因為我對課本上的數學內容已經透徹了解，成竹在胸，也遺傳性或耳濡目染地無師自通如何去講授它。家父怕我壓不住學生，坐在最后一排，以防不測風云，畢竟方鴻漸曾在錢鐘書的《圍城》里被學生整得不輕。不過五分鐘后，家父已知道他坐在教室里完全是多此一舉，這是他一生中唯一一次聽我上課。當時本校一群女老師則在窗口探頭探腦好奇我怎樣表演。一個月后，父親領回了我一生中的第一筆收入——27元代課費，并告訴我班上學生認為我比之前的老師教得好。這一個月也讓我感到自己未來如果有機會的話，可以繼承家業(yè)當個合格的教書匠。

條件二：胸有丘壑，腹有錦繡

這就引出了教好數學的另一個必要條件：自信不應是盲目的自信，而是來自于對所教學科知識的融會貫通和全面了解。我一生首次教學實踐有此體會。我在特殊時代讀的中學，在總共四年半的學制中，前四年幾乎沒學到什么基礎知識，只有在1972年秋高中最末學期，不知從哪里刮來“教育回潮風”，老師們激動得大刻鋼板油印了正規(guī)數理化內容，于是我的數學教師在黑板上畫出了橢圓、雙曲線和拋物線。那股強風雖然沒有刮出“恢復高考”，卻刮出了我極其猛烈的求知欲，畢業(yè)后馬上向我父母最聰明的弟子、春節(jié)假期從外省回鄉(xiāng)探親時來給我父母拜年的名牌大學畢業(yè)生高允翔借來60年代初高中18本數理化教材，在三個月的時間內統(tǒng)統(tǒng)讀完，尤其對初等數學全面吸收，包括我很快就要教到的立體幾何那部分。盡管代課結束后我在工廠當過五年工人，但這三個月打下的扎實基礎，幫助我在1977年恢復高考時被南京大學數學系錄取。

然而，大腦里裝有學科知識與教好這門學科還不能彼此等同。就像有人“生來就會教書”，也有人雖然學富五車，卻不懂“教書藝術”。后者我在中美讀書和教書的生涯中見過一些。滿腦學問的人在教書時可能以為對面的學生腦子和他一樣靈，接受能力和他一樣強，這大錯特錯?！敖虝鴮W”應該有一條公理：“把學生當作‘笨蛋’”。這樣，教書先生就會下功夫做到“將‘笨蛋’教懂”，正如李天巖教授生前所言所做的那樣。懷抱這個信念的教師一定不差，他不僅認真?zhèn)湔n，講清概念，而且當幾天或幾周前講過的老概念回訪課堂時，不忘再次“溫故而知新”，幫助學生“鞏固已有概念”。

有句俗語形象地說出了對老師的教學要求：要給學生一杯水，教師就得有一桶水。這一桶水包括臨近學科的知識或更高觀點的視野。比方說，《數學分析》的主講老師，如果對近代抽象分析知之甚少，甚至都不知道實變函數或泛函分析的基本內容，可能難以教得“滴水不漏”，當他教到黎曼積分時，不一定能啟發(fā)學生思考它的局限或科普更一般勒貝格積分的基本思想。德國數學家克萊因?(Filex Klein，1849-1925)?于1872年提出了著名的埃爾蘭根綱領，將不同幾何看成以不同變換群的某種不變性為其特征，這是對連綿幾千年的幾何學的一個高屋建瓴的近代觀點。他后來寫過一本名著《高觀點下的初等數學》（編注：文末掃碼可購得此名著）。如果一名中學數學老師對這本杰作的內容有所領會，就會對教學內容有更深刻的理解，甚至可以指導班上那幾個天賦高想吃小灶的少年俊杰盡早接觸高一檔次的數學。

“一桶水”中還有一部分是從“學科史”的小溪中流進的。對數學教學，這尤其重要，因為向學生傳輸數學思想的演化以及關鍵數學家的貢獻，不僅豐富了他們對學科的認識，而且也把他們置入了數學文化的氛圍。這還有一項好處，以講幾分鐘故事的方式，讓學生高度繃緊的神經適時放松，提高課堂吸收的效率。當然，這對教師提出了要求：讀一些好的學科史書和數學家傳記，由此獲得啟發(fā)心智的歷史軌跡，隨時穿插到自己的教學中。

如果我們回顧一下上世紀中葉的大學數學老師，他們的一個共同特點是基本功力扎實，基礎知識深厚。那時的高校特別重視教學，絕大多數老師把自己廣博精深的學科知識熱忱地教給學生，而不是只熱衷于自己從事研究工作，因為他們深知只要把下一代教好，就會“青出于藍而勝于藍”，國家更會從中得益，這是真正愛國主義的奉獻。今天，大學教師幾乎都被要求發(fā)表論文，表面上看數據漂亮，領導高興，實際上是丟了西瓜揀了芝麻，“西瓜”殼內的籽是裝滿教室的莘莘學子，量大的“芝麻”是裝潢履歷的垃圾文章。新時代的講師助教在碩士、博士研究生階段的訓練也大都偏重于與各自的研究方向相關，而缺乏相當的廣度。結果到現在，盡管拿到最高學位時他們往往已經發(fā)表了幾篇論文，但是他們的知識結構有點畸形，對本領域以外的數學分支知之甚少，這自然也影響教學質量。

數學課里充滿了命題，它們以不同的名字露面，如定理、引理和推論，但所有的命題都是基于概念的定義，因此要懂得命題的假設和結論，首先要懂命題中出現的所有新老數學概念。如同學生學好數學最重要的是完全理解概念，教師教好數學最重要的是清楚解釋概念。寫得好的數學書邏輯嚴密，概念清晰，表達嚴謹，但是為了滿足“不說多余的話”這一寫作基本要求，它同時也詞句精煉。這最后一個特征往往給剛進大學初學高等數學的中學畢業(yè)生造成困難，因為他們還在習慣于灌輸式的初等教育。這時好老師的作用如“久旱逢甘霖”，其功能是溯源概念的直覺原點，幾何化解析術語內涵的邏輯關系，善用通俗易懂的等價說法復述概念的基本思想。自然，如果概念比較簡單，比如“遞增函數”的定義，教起來也不費吹灰之力，學生甚至可以無師自通。然而，假如一個概念的定義嵌進了好幾個邏輯用詞，像“任給”、“存在”及“使得”的組合句子，非天才的學生可能讀了三遍五遍也可能沒有搞清邏輯關系，那么任課老師怎樣講得讓全班都能聽懂呢？

因為初等微分學是非數學類理工科學生的第一門高等數學課，高等微分學是數學系大一新生逃不掉的難課，我們看看怎樣教“函數的極限”這一概念。函數f當自變量x趨向于數a時有極限L，是指對于任意給定的正數ε，存在正數δ，使得只要x減去a的絕對值大于0且小于δ，其對應的函數值f(x)減去L的絕對值就小于ε。用數學符號，就要找到δ，使得若不等式0 < |x – a| < δ成立，則不等式 |f(x) – L| < ε也成立。

這個嚴格的定義是整個微積分的基礎，但是太多的大學新生剛碰到它時被打得鼻塌嘴歪，包括考進南大數學系77級的一部分聰明人?？梢哉f，能不能把這個定義教得讓幾乎所有同學感到自己的大腦已經“脫胎換骨”，是衡量能不能成為合格微積分課教師的試金石。

首先，該教師必須對分析數學的基本語言“ε-δ”有深刻的領悟，對ε-δ語言中的邏輯體系透徹了解。他應該用幾何的、易懂的中文語言講解這個數學語言，而不是照本宣科地將整個極限定義讀上幾遍。沒有從根本上啟發(fā)性地闡述概念，即便重復陳述定義十遍，即便學生能將它熟記于心，還不能保證他們真正理解了它。

讓我們仔細檢查極限的定義，搞清“任給”和“存在”的邏輯含義。沒人不會不懂“任給一個男人，存在一個女人年齡比他大”的意思，這里只需要找到一個比給定男人歲數大的女人就夠了，而無需找到最老的女人。貌似難懂的極限定義本質上應該和上句有同樣的邏輯結構，即正數ε給定后，只要找到保證定義末前一不等式隱含后一不等式的某個正數δ，而無需解出最佳的δ，極限的定義就成立?；蜓灾?，滿足要求的這個δ依賴于ε，但它并非隨ε而被唯一確定，只需找到一個就夠了，而不必費力氣找到“最優(yōu)”的，事實上最優(yōu)的一般也難以求得。這就給尋找δ提供了極大的便利，即通過對|f(x) – L|的“有效放大”使之在|x – a| 小于某個固定正數δ0的附加條件下滿足|f(x) – L| ≤ C|x – a|，這樣，由于C|x – a| < ε的解是|x – a| < ε/C，我們就可取δ 為 δ0?和ε/C中的較小者。

講完了極限定義后，要想檢測同學們是否真正理解了它，老師可以提問他們或者坐在第一排的某個學生：“函數在一點的極限不存在該怎么定義？”即便不打算叫上一個回答這個問題，師生之間的互動可以讓課堂氣氛升溫，同時激勵學生即興思考。一個定義不成立時，不同的邏輯連詞否定的方式有規(guī)則可循，例如“任給……存在……使得……成立”的反面是“存在……使得任給……不成立”。這樣，“函數f在a點的極限不為L”的正式定義是“存在某個正數ε使得對任何正數δ，都有x滿足0 < |x – a| < δ，但|f(x) – L| ≥ ε。

上面幾段并非是課堂解釋極限定義時必須要講的“金科玉律”，而是示范怎樣將較難的數學用易懂的語言講清楚。我們由此看到，對這些概念的詳細解釋是對教科書幾行字嚴格定義的二次創(chuàng)作，目的是打開學生理解的閥門，開動頭腦思維的機器。

高等數學里常有一些形式上頗為復雜的表達式，涉及多種運算。在教科書里，它們是看上去冷冰冰沒有生氣的“數學展覽品”，一動也不動地供讀者參觀。那些天賦異稟的學生可以不靠老師的襄助就能讀出其熱氣騰騰的內涵，品嘗出滋潤心脾的濃香美味，但是，今日的大學是為大眾而辦的，早已非“精英教育”，絕大多數同學智力平常，即便是考進數學系的，這時教師的角色也相當于博物館里的講解員。高超的講解員會將一件商代陶器的里里外外、時代背景以及工藝特色講得眉飛色舞、一清二楚，參觀者滿載而歸；而差勁的教師可能不管三七二十一機械性地將公式從左到右念上一遍，學生聽得一頭霧水。

任何數學表達式的表象總隱藏著邏輯關系的先后次序，教科書上一個個符號卻反映不出這個數學推進的動態(tài)過程，而在課堂上還原這個過程只能靠好老師的三寸不爛之舌來圓滿實現。簡單來說，這個表達式的教學過程必須起始于導致該式那個數學思路的源頭，如果反過來從結局開始教起，就有本末倒置之嫌。事實上，許多公式合乎邏輯的講解是從表達式的內部開始的，這就像列寧的一句名言所說：“堡壘最容易從內部攻破?！?/p>

我用一個稍微高級點的數學例子來說明。假設一位動力系統(tǒng)的好手為他的弟子開了一門研究生基礎課《遍歷理論導引》。這門課中的一個經典結果叫做“伯克霍夫逐點遍歷定理”，它的數學結論是一個等式，等式的左端是一個“平均和”的極限表達式，稱為“時間平均”：

limn →∞?(1/n) Σk=0n-1?χA(Sk(x0))，

其中S是將定義域映到自身的一個“保測變換”，A是定義域的一個可測子集，χA是A的特征函數，Sk是k個S構成的復合變換。如果這位教授像和尚念經似的將這個表達式從左念到右，就像印在教科書上所寫的定理表述那樣，估計他的男女學生會一下子反應不過來這個包含不少數學符號的表達式到底說的是啥，因為這里作者只用數學運算說話，沒用英文句子說話。

1988年，李天巖教授開了門高等應用數學課《[0,1]上的遍歷理論》。他是怎么解釋伯克霍夫逐點遍歷定理中的如上“時間平均”呢？他的講解內容我至今還記得大概，寫成文字大致如下：

對每個自然數k，當第k個迭代點Sk(x0)落到A中，則χA(Sk(x0))等于1；反之，若Sk(x0)不在A中，則χA(Sk(x0))等于0，這樣讓k分別取0, 1, …, n-1，和式Σk=0n-1?χA(Sk(x0)) 恰好表示在前n個點x0, S(x0),?S2(x0), …, Sn-1(x0)中，進入子集A的那些點的個數。這個數再除以n，即(1/n) Σk=0n-1?χA(Sk(x0))，恰恰就是序列x0, S(x0), S2(x0), …里前n個迭代點中落到A內的那些點的相對頻率。我們的目的是算出起始于x0的迭代點序列所有點中那些位于A內的點的頻率。這時很自然地取n趨向于無窮大時相對頻率序列的極限了。假如極限值limn→∞?(1/n) Σk=0n-1?χA(Sk(x0))存在，則這個數就是迭代點序列{Sn(x0)}落到子集A之中的頻率，或時間平均。

李天巖教授在講解的過程中，手嘴并用，說到上文中的某個“部分表達式”，他的手專指那個部分，學生一邊聽講，一邊目睹，心領神會。他將時間平均表達式的演化過程講得再清楚不過了，班上的同學從他對概念來龍去脈的邏輯梳理，輔之于他那高低起伏的音量調節(jié)、表情豐富的面部變化、手舞足蹈的肢體表演，一下子明白了這個長式子“不過如此”，順利攻破“時間平均”這塊堡壘。