【種花家務(wù)·代數(shù)】1-3-10乘法公式『數(shù)理化自學(xué)叢書(shū)6677版』

2023-09-25 21:27 作者:山嵓 0人讀過(guò) | 我要投稿

【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學(xué)叢書(shū)6677版』，此版叢書(shū)是“數(shù)理化自學(xué)叢書(shū)編委會(huì)”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學(xué)教材，本系列叢書(shū)共包含17本，層次大致相當(dāng)于如今的初高中水平，其最大特點(diǎn)就是可用于“自學(xué)”。當(dāng)然由于本書(shū)是大半個(gè)世紀(jì)前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學(xué)生直接拿來(lái)自學(xué)。不過(guò)這套叢書(shū)卻很適合像我這樣已接受過(guò)基礎(chǔ)教育但卻很不扎實(shí)的學(xué)酥重新自修以查漏補(bǔ)缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫(xiě)的注解。

【山話(huà)嵓語(yǔ)】我在原有“自學(xué)叢書(shū)”系列17冊(cè)的基礎(chǔ)上又添加了1冊(cè)八五人教中學(xué)甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚(yú)座，有一定程度的偶雙癥，但“自學(xué)叢書(shū)”系列中代數(shù)4冊(cè)、幾何5冊(cè)實(shí)在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠?qū)ε计胶?；二則，我認(rèn)為《微積分初步》這本書(shū)對(duì)“準(zhǔn)大學(xué)生”很重要，以我的慘痛教訓(xùn)為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學(xué)了個(gè)寂寞。另外大學(xué)物理的前置條件是必須有基礎(chǔ)微積分知識(shí)，因此我所讀院校的大學(xué)物理課是推遲開(kāi)課；而比較生猛的大學(xué)則是直接開(kāi)課，然后在緒論課中猛灌基礎(chǔ)高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學(xué)課）。我選擇在“自學(xué)叢書(shū)”17本的基礎(chǔ)上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學(xué)前可以看看，不至于像我當(dāng)年那樣被高數(shù)打了個(gè)措手不及。

第三章整式?

§3-10乘法公式

【01】我們現(xiàn)在要來(lái)研究，怎樣利用一些公式使某些多項(xiàng)式的乘法做起來(lái)比較簡(jiǎn)便。這些公式叫做乘法公式。

1、兩數(shù)和與差的積

【02】先來(lái)計(jì)算下列一些乘法：

(1) (x＋y)(x－y)；(2) (m＋n)(m－n)；(3) (a＋b)(a－b)；(4) (3x＋5)(3x－5)? 。

【03】這里都是二項(xiàng)式與二項(xiàng)式的乘法，直接做乘法，可以得到：

(1)?(x＋y)(x－y)＝x2＋xy－xy－y2＝x2－y2；

(2)?(m＋n)(m－n)＝m2＋mn－mn－n2＝m2－n2；

(3) (a＋b)(a－b)＝a2＋ab－ab－b2＝a2－b2；

(4) (3x＋5)(3x－5)＝(3x)2＋5(3x)－5(3x)－52＝(3x)2－52＝9x2－25? 。

【04】仔細(xì)地比較下上面這四個(gè)乘法里的兩個(gè)因式，可以看到它們有一個(gè)共同的特點(diǎn)，就是每一個(gè)題目中的第一個(gè)因式是兩個(gè)代數(shù)式的和，而第二個(gè)因式恰巧就是這兩個(gè)代數(shù)式的差。例如在(1)里，第一個(gè)因式是 x 與 y 的和，而第二個(gè)因式恰巧就是 x 與 y 的差；在(4)里，第一個(gè)因式是 3x 與 5 的和，而第二個(gè)因式恰巧是 3x 與 5 的差。

【05】再觀(guān)察這四個(gè)乘法里計(jì)算所得的結(jié)果，可以看出它們也有共同的特點(diǎn)，就是所求得的積，恰巧就是因式里兩個(gè)代數(shù)式的平方的差。例如，在(1)里，積 x2－y? 恰巧是 x 的平方與 y 的平方的差；在(4)里，積 9x2－25 恰巧是 3x 的平方與 5 的平方的差。

【06】我們把這種特殊形式的乘法，叫做求兩數(shù)的和與差的積。

【07】從上面的例子，我們可以得出下面的結(jié)論：兩數(shù)的和與這兩數(shù)的差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。

【08】把這個(gè)結(jié)論用字母來(lái)表示，就得到下面的兩數(shù)和與差的積的公式：

(a＋b)(a－b)＝a2－b2 (乘法公式1)? 。

【注意】這里 a 與 b 可以表示任意的代數(shù)式，但公式里所有的 a 都要表示同樣的代數(shù)式，所有的 b 也都要表示另一個(gè)同樣的代數(shù)式。

例1.利用乘法公式1計(jì)算：(1) (x＋a)(x－a)；(2) (2x＋3a)(2x－3a)；(3) (x2＋a2)(x2－a2)；(4)?(2x3＋3a2)(2x3－3a2)? 。

【解】

(1) 公式1里的 a，在這里是 x，公式1里的 b，在這里是 a，只要把公式里所有的 a 都寫(xiě)做 x，所有的 b 都寫(xiě)做 a 就可以了?！?(x＋a)(x－a)＝x2－a2? 。

(2) 公式1里的 a，在這里是 2x，公式1里的 b，在這里是 3a，公式里的 a2 寫(xiě)做 (2x)2，公式里的b2，寫(xiě)做 (3a)2，再化簡(jiǎn)，∴?(2x＋3a)(2x－3a)＝(2x)2－(3a)2＝4x2－9a2? 。

(3) 公式1里的 a，在這里是，公式1里的 b，在這里是 a3，∴ (x2＋a2)(x2－a2)＝(x2)2－(a3)2＝x?－a?? 。

(4) 公式1里的 a，在這里是 2x3，公式1里的 b，在這里是 3a2，∴ (2x3＋3a2)(2x3－3a2)＝(2x3)2－(3a2)2＝4x?－9a?? 。

例2.利用乘法公式計(jì)算：(1) (2a－3b)(2a＋3b)；(2) (3ab－5x2y3)(3ab＋5x2y3)? 。

【分析】這里第一個(gè)因式是兩數(shù)的差，第二個(gè)因式就是同樣的兩個(gè)數(shù)的和。根據(jù)乘法交換律，這兩個(gè)因式前后次序可以對(duì)調(diào)，因此仍舊可以應(yīng)用兩數(shù)和與差的積的公式。

【解】

(1) (2a－3b)(2a＋3b)＝(2a)2－(3b)2＝4a2－9b2；

(2)?(3ab－5x2y3)(3ab＋5x2y3)?＝(3ab)2－(5x2y3)2＝9a2b2－25x?y?? 。

例3.利用乘法公式計(jì)算：(1) (3a＋2b)(2b－3a)；(2) (5a3x2－4by3)(4by3＋5a3x2)? 。

【分析】這里 3a＋2b＝2b＋3a；4by3＋5a3x2＝5a3x2＋4by3? 。根據(jù)加法交換律交換位置之后，就和公式里兩數(shù)和與差的形式一致了。

【解】

(1) (3a＋2b)(2b－3a)＝(2b＋3a)(2b－3a)＝(2b)2－(3a)2＝4b2－9a2；

(2)(5a3x2－4by3)(4by3＋5a3x2)＝(5a3x2－4by3)(5a3x2＋4by3) ＝(5a3x2)2－(4by3)2＝25a?x?－16b2y?? 。

【注】不要把 2b－3a 變成 3a－2b，因?yàn)?2b－3a ≠ 3a－2b? 。

習(xí)題3-10(1)

應(yīng)用乘法公式計(jì)算(1~20)：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%261%E3%80%81(x%2B3)(x-3).%5C%5C%0A%262%E3%80%81(a%2B6)(a-6).%5C%5C%0A%263%E3%80%81(5%2Ba)(5-a).%5C%5C%0A%264%E3%80%81(2x%2By)(2x-y).%5C%5C%0A%265%E3%80%81(a%2B2b)(a-2b).%5C%5C%0A%266%E3%80%81(3a%2B5b)(3a-5b).%5C%5C%0A%267%E3%80%81(12x-7y)(12x%2B7y).%5C%5C%0A%268%E3%80%81(x-19y)(x%2B19y)%5C%5C%0A%269%E3%80%81(x%5E2%2Ba)(x%5E2-a).%5C%5C%0A%2610%E3%80%81(a-b%5E3)(a%2Bb%5E3).%5C%5C%0A%2611%E3%80%81(a%5E2-b%5E5)(a%5E2%2Bb%5E5).%5C%5C%0A%2612%E3%80%81(x%5E%7B30%7D%2By%5E%7B20%7D)(x%5E%7B30%7D-y%5E%7B20%7D).%5C%5C%0A%2613%E3%80%81(3a%5E3-2b%5E2)(3a%5E3%2B2b%5E2).%5C%5C%0A%2614%E3%80%81(5a%5E5-4x%5E4)(5a%5E5%2B4x%5E4).%5C%5C%0A%2615%E3%80%81(12a%5E6%2B11b%5E4)(12a%5E6-11b%5E4).%5C%5C%0A%2616%E3%80%81(9x%5E3%2B8y%5E2)(9x%5E3-8y%5E2).%5C%5C%0A%2617%E3%80%81(3a%5E2b%5E3%2B5xy%5E4)(3a%5E2b%5E3-5xy%5E4).%5C%5C%0A%2618%E3%80%81(2a%5E5x%5E2-3b%5E4y%5E3)(2a%5E5x%5E2%2B3b%5E4y%5E3).%5C%5C%0A%2619%E3%80%81(11ax%5E7-31b%5E5y)(31b%5E5y%2B11ax%5E7).%5C%5C%0A%2620%E3%80%81(3ab%5E2c-5)(5%2B3ab%5E2c).%0A%5Cend%7Baligned%7D$

[解法舉例：(x＋3)(x－3)＝(x)2－(3)2＝x2－9]

應(yīng)用乘法公式直接寫(xiě)出乘積，并驗(yàn)算(21~30)：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%2621%E3%80%81(m%2B3n)(m-3n).%5C%5C%0A%2622%E3%80%81(3a%2B5b)(3a-5b).%5C%5C%0A%2623%E3%80%81(a%5E2%2Bb%5E2)(a%5E2-b%5E2).%5C%5C%0A%2624%E3%80%81(a%5E5-x%5E3)(a%5E5%2Bx%5E3).%5C%5C%0A%2625%E3%80%81(5a%5E3-2b%5E2)(5a%5E3%2B2b%5E2).%5C%5C%0A%2626%E3%80%81(a%5E6-2b%5E4)(a%5E6%2B2b%5E4).%5C%5C%0A%2627%E3%80%81(3a%5E2-5x%5E2y%5E3)(3a%5E2%2B5x%5E2y%5E3).%5C%5C%0A%2628%E3%80%81(3a%5E2b%5E3%2B4x%5E3y%5E5)(3a%5E2b%5E3-4x%5E3y%5E5).%5C%5C%0A%2629%E3%80%81(%5Cfrac13a%5E2-%5Cfrac12x%5E2)(%5Cfrac13a%5E2%2B%5Cfrac12x%5E2).%5C%5C%0A%2630%E3%80%81(0.3a-b%5E4)(0.3a%2Bb%5E4).%0A%5Cend%7Baligned%7D$

[解法舉例：(m＋3n)(m－3n)＝m2－9n2]

【附注】有關(guān)乘法公式的習(xí)題，可用直接乘法自己核對(duì)結(jié)果。

例4.利用乘法公式計(jì)算：(1) (－a＋b)(－a－b)；(2) (－5a3－6b2)(5a3－6b2)? 。

【解】

(1)這里第一個(gè)因式－a＋b 是－a 與 b 兩個(gè)數(shù)的和，第二個(gè)因式－a－b 是同樣的兩個(gè)數(shù)－a 與 b 的差，所以還可以應(yīng)用 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 這個(gè)公式，公式里的 a 在這里是－a，公式里的 b 在這里還是 b? ?！?(－a＋b)(－a－b)＝(－a)2－b2＝a2－b2? 。

(2)這里－5a3－6b2＝－6b2－5a3，5a3－6b2＝－6b2＋5a3，把－6b2 當(dāng)做公式里的 a，把 5a3 當(dāng)做公式里的 b，還是兩數(shù)和與差的積。∴ (－5a3－6b2)(5a3－6b2)＝[(－6b2)－5a3][(－6b2)＋5a3]＝(－6b2)2－(5a3)2＝36b?－25a?? 。

例5.利用乘法公式計(jì)算：(1) (a＋b)(a－b)(a2＋b2)；(2) (x－3)(x＋3)(x2＋9)? 。

【解】

(1) (a＋b)(a－b)(a2＋b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)＝(a2)2－(b2)2＝a?－b?；

(2)?(x－3)(x＋3)(x2＋9)＝(x2－32)(x2＋9)＝(x2－9)(x2＋9)＝(x2)2－92＝x?－81? 。

例6.利用乘法公式計(jì)算：(1) 99×101；(2) 302×298? 。

【解】因?yàn)?99＝100－1，101＝100＋1；302＝300＋2，298＝300－2? 。所以可應(yīng)用公式計(jì)算，比較方便。

(1) 99×101＝(100－1)(100＋1)＝1002－12＝10000－1＝9999；

(2) 302×298＝(300＋2)(300－2)＝(300)2－22＝90000－4＝89996? 。

習(xí)題3-10(2)

算應(yīng)用乘法公式計(jì)算(1~10)：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%261%E3%80%81(4a%5E2-b%5E3)(b%5E3%2B4a%5E2).%5C%5C%0A%262%E3%80%81(5x%5E2%2B3a%5E2b)(3a%5E2b-5x%5E2).%5C%5C%0A%263%E3%80%81(-3a%2B2b)(-3a-2b).%5C%5C%0A%264%E3%80%81(-3a-5b%5E2)(-3a%2B5b%5E2).%5C%5C%0A%265%E3%80%81(-2a%5E3%2B3b%5E2)(-2a%5E3-3b%5E2).%5C%5C%0A%266%E3%80%81(-5x%5E3-6y%5E2)(-5x%5E3%2B6y%5E2).%5C%5C%0A%267%E3%80%81(x%2By)(-x%2By).%5C%5C%0A%268%E3%80%81(12a%2B13b)(-12a%2B13b).%5C%5C%0A%269%E3%80%81(-5x%5E2-3y%5E3)(%2B5x%5E2-3y%5E3).%5C%5C%0A%2610%E3%80%81(%2B7a%5E3-3b%5E2)(-7a%5E3-3b%5E2).%0A%5Cend%7Baligned%7D$

應(yīng)用乘法公式計(jì)算(11~16)：

11、103×97.

12、201×199.

13、75×85.

14、34×26.

15、1005×995.

16、1.02×0.98.

用乘法公式求積(17~22)：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%2617%E3%80%81(x%2By)(x-y)(x%5E2%2By%5E2).%5C%5C%0A%2618%E3%80%81(a%2B1)(a-1)(a%5E2%2B1).%5C%5C%0A%2619%E3%80%81(a%2Bb)(a-b)(a%5E2%2Bb%5E2)(a%5E4%2Bb%5E4).%5C%5C%0A%2620%E3%80%81(3a%2B2b)(3a-2b)(9a%5E2%2B4b%5E2).%5C%5C%0A%2621%E3%80%81(a%5E4%2Bb%5E2)(a%5E2%2Bb)(a%5E2-b).%5C%5C%0A%2622%E3%80%81(x%5E8%2By%5E8)(x%5E4%2By%5E4)(x%5E2%2By%5E2)(x%2By)(x-y).%0A%5Cend%7Baligned%7D$

下列乘法，如果能應(yīng)用乘法公式，就用公式求積，如果不能應(yīng)用公式，用多項(xiàng)式乘法求積(23~30)：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%2623%E3%80%81(a%2B2b)(a-b).%5C%5C%0A%2624%E3%80%81(3a%5E%7B2%7D%2B4b)(3a%5E%7B2%7D-b).%5C%5C%0A%2625%E3%80%81(2a%2B3b)(3a-2b).%5C%5C%0A%2626%E3%80%81(a%5E%7B2%7D%2Bb%5E%7B2%7D)(a%5E%7B2%7D-2b%5E%7B2%7D).%5C%5C%0A%2627%E3%80%81(a%2Bb)(a-c).%5C%5C%0A%2628%E3%80%81(-3a%5E3-b%5E2)(3a%5E2-b%5E2).%5C%5C%0A%2629%E3%80%81(x%2B3)(x-3)(x%5E2%2B6).%5C%5C%0A%2630%E3%80%81(-a%2Bb)(-a-b)(b%5E2%2Ba%5E2).%0A%5Cend%7Baligned%7D$

【答案】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A1.%2616a%5E4-b%5E6%3B%5C%5C2.%269a%5E4b%5E2-25a%5E4%3B%5C%5C3.%269a%5E3-4b%5E2%3B%5C%5C4.%269a%5E2-25b%5E4%3B%5C%5C5.%264a%5E6-9b%5E4%3B%5C%5C6.%2625x%5E6-36y%5E4%3B%5C%5C7.%26y%5E2-x%5E2%3B%5C%5C%0A8.%26169b%5E2-144a%5E2%3B%5C%5C9.%269y%5E6-25x%5E4%3B%5C%5C10.%269b%5E4-49a%5E6%3B%5C%5C11.%269991%3B%5C%5C%0A12.%2639999%3B%5C%5C13.%266375%3B%5C%5C14.%26884%3B%5C%5C15.%26999975%3B%5C%5C16.%260.9996%3B%5C%5C%0A17.%26x%5E4-y%5E4%3B%5C%5C18.%26a%5E4-1%3B%5C%5C19.%26a%5E8-b%5E8%3B%5C%5C20.%2681a%5E4-16b%5E4%3B%5C%5C%0A21.%26x%5E8-b%5E4%3B%5C%5C22.%26x%5E%7B16%7D-y%5E%7B16%7D%3B%5C%5C23.%26a%5E2%2Bab-2b%5E2%3B%5C%5C24.%269a%5E4%2B9a%5E2b-4b%5E2%3B%5C%5C%0A%7B25.%7D%26%7B6a%5E%7B2%7D%2B5ab-6b%5E%7B2%7D%3B%7D%5C%5C%7B26.%7D%26%7Ba%5E%7B4%7D-a%5E%7B2%7Db%5E%7B2%7D-2b%5E%7B4%7D%3B%7D%5C%5C%7B27.%7D%26%7Ba%5E%7B2%7D%2Bab-ac-bc%3B%7D%5C%5C%0A%7B28.%7D%26%7Bb%5E%7B4%7D-9a%5E%7B4%7D%3B%7D%5C%5C%7B29.%7D%26%7Bx%5E%7B4%7D-3x%5E%7B2%7D-54%3B%7D%5C%5C%7B30.%7D%26%7Ba%5E%7B4%7D-b%5E%7B4%7D.%7D%0A%5Cend%7Baligned%7D$

2、二項(xiàng)式的平方

【09】讓我們計(jì)算：(1) (a＋b)2；(2) (a－b)2? 。

【10】這里 a＋b 與 a－b 都是二項(xiàng)式。要求二項(xiàng)式的平方，可以根據(jù)乘法演算，得到

(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2；

(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2? 。

【11】這里 a 和 b 都可以表示任意的數(shù)或任意的代數(shù)式。計(jì)算的結(jié)果也總與把乘積里的 a 和 b?用這些數(shù)或代數(shù)式代入后一樣，所以這些結(jié)果可以作為公式來(lái)應(yīng)用。這就是說(shuō)：

【12】兩數(shù)和的平方等于這兩個(gè)數(shù)的平方的和加上這兩個(gè)數(shù)的積的兩倍；

【13】兩數(shù)差的平方等于這兩個(gè)數(shù)的平方的和減去這兩個(gè)數(shù)的積的兩倍。

【14】用字母來(lái)表示上面的結(jié)論，就得到下面的二項(xiàng)式的平方公式：

(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2（乘法公式2），

(a－b)2＝a2－2ab＋b2（乘法公式3）。

例7.計(jì)算：(1)(m＋2n)2；(2)(3m－5m)2? 。

【解】

(1)是兩數(shù)和，應(yīng)用公式 2，以 m 代公式里的 a，以 2n 代公式里的 b，得到

(m＋2m)2＝m2＋2(m)(2n)＋(2n)2.＝m2＋4mn＋4n2；

(2)是兩數(shù)差，應(yīng)用公式3，以 3m 代公式里的 a，以 5n 代公式里的 b，得到

(3m－5m)2＝(3m)2－2(3m)(5n)＋(5n)2＝9m2－30mn＋25n2? 。

例8.計(jì)算： $%5Cscriptsize(1)%5C%3B(m%5E2%2B0.3n%5E3)%5E2%3B%5Cquad(2)%5Cleft(%5Cfrac32m%5E2-%5Cfrac23n%5E3%5Cright)%5E2.$ 。

【解】

(1)是兩數(shù)和，應(yīng)用公式2，以 m2 代公式里的 a，以 0.3n3 代公式里的 b，得到

$%0A%5Cscriptsize%5Cleft(m%5E%7B2%7D%2B0.3n%5E%7B3%7D%5Cright)%5E%7B2%7D%20%3D(m%5E%7B2%7D)%5E%7B2%7D%2B2%5Cleft(m%5E%7B2%7D%5Cright)%5Cleft(0.3n%5E%7B3%7D%5Cright)%2B(0.3n%5E%7B3%7D)%5E%7B2%7D%20%0A%3Dm%5E4%2B0.6m%5E2n%5E3%2B0.09n%5E6%3B%20%0A$

(2)是兩數(shù)差，應(yīng)用公式3，以 3/2m2 代公式里的 a，以 2/3n2 代公式里的 b，得到

$%5Cscriptsize%5Cleft(%5Cfrac32m%5E2-%5Cfrac23n%5E3%5Cright)%5E2%20%3D%5Cleft(%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7Dm%5E%7B2%7D%5Cright)%5E%7B2%7D-2%7B%5Cleft(%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7Dm%5E%7B2%7D%5Cright)%7D%7B%5Cleft(%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Dn%5E%7B3%7D%5Cright)%7D%2B%5Cleft(%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Dn%5E%7B3%7D%5Cright)%5E%7B2%7D%20%3D%5Cfrac%7B9%7D%7B4%7Dm%5E%7B4%7D-2m%5E%7B2%7Dn%5E%7B3%7D%2B%5Cfrac%7B4%7D%7B9%7Dn%5E%7B6%7D%20.$

例9.計(jì)算：(1) (－3a3＋5b2)2；(2) (－2x?－5y?)2? 。

【解】

(1)可以當(dāng)做兩數(shù)和，應(yīng)用公式2，以－3a3 代公式2里的 a，以 5b2 代公式2里的 b，得：

(－3a3＋5b2)2＝(－3a2)2＋2(－3a3)(5b2)＋(5b2)2＝9a?－30a3b2＋25b?? 。

也可以把－3a3＋5b2 變做 5b2－3a3 當(dāng)做兩數(shù)差，再利用公式3來(lái)做：

(－3a3＋5b2)2＝(5b2－3a3)2＝(5b2)2－2(5b2)(3a3)＋(3a3)2＝25b?－30a3b2＋9a?? 。

(2)可以當(dāng)做－2x? 與 5y? 的差，應(yīng)用公式3來(lái)做：

(－2x?－5y?)2?＝(－2x?)2－2(－2x?)(5y?)＋(5y?)2＝4x?＋20x?y?＋25y1o? 。

也可以當(dāng)做－2x? 與－5y? 的和，應(yīng)用公式2來(lái)做：

(－2x?－5y?)2?＝(－2x?)2＋2(－2x?)(－5y?）＋(－5y?)2＝4x?＋20x?y?＋25y1o? 。

【注】從這個(gè)例子可以看到，有時(shí)解一個(gè)問(wèn)題可以應(yīng)用不同的方法，但是算出來(lái)的結(jié)果應(yīng)該是一樣的。

習(xí)題3-10(3)

用公式計(jì)算(1~20)：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%261%E3%80%81(3a%5E3-2b%5E2)%5E2.%5C%5C%0A%262%E3%80%81(2a%2B3b)%5E2.%5C%5C%0A%263%E3%80%81(5x-4y)%5E2.%5C%5C%0A%264%E3%80%81(7m-6n)%5E2.%20%20%5C%5C%0A%265%E3%80%81%5Cleft(11x-%5Cfrac12y%5Cright)%5E2.%5C%5C%0A%266%E3%80%81(a%5E2%2Bb%5E2)%5E2.%20%20%5C%5C%0A%267%E3%80%81(a%5E3-b%5E3)%5E2.%5C%5C%0A%268%E3%80%81(x%5E3%2Bx%5E2)%5E2.%5C%5C%0A%269%E3%80%81(a%5E3-a)%5E2.%5C%5C%0A%2610%E3%80%81(3x%5E3-5a%5E2)%5E3%5C%5C%0A%2611%E3%80%81(11a%5E5%2B7b%5E4)%5E2.%5C%5C%0A%2612%E3%80%81%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Da%5E3%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Db%5E3%5Cright)%5E2.%5C%5C%0A%2613%E3%80%81(0.3a%5E2-0.2a)%5E2.%5C%5C%0A%2614%E3%80%81(5a%5E3x%5E2-4b%5E2y)%5E2.%5C%5C%0A%2615%E3%80%81(-7a%5E2x%5E4-8bx%5E2)%5E2.%5C%5C%0A%2616%E3%80%81%5Cleft(-8ab%5E3e%5E5%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Cright)%5E2.%5C%5C%0A%2617.(99)%5E2%5Ctext%7B%20%5B%E6%8F%90%E7%A4%BA%3A%20%7D99%3D100-1%5D.%5C%5C%0A%2618.(102)%5E2.%5C%5C%0A%2619.(1.99)%5E2%5Ctext%7B%20%5B%E6%8F%90%E7%A4%BA%3A%20%7D1.99%3D2-0.01%5D.%5C%5C%0A%2620.(91)%5E2.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

[解法舉例：(3a3－2b2)2＝(3a3)2－2(3a3)(2b2)＋(2b2)2＝9a?－12a3b2＋4b?]

用公式計(jì)算，直接寫(xiě)出結(jié)果(21~30)：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%2621%E3%80%81(3x%5E2-5y)%5E2.%5C%5C%0A%2622%E3%80%81(3x%2B2y)%5E2.%5C%5C%0A%2623%E3%80%81(5a-b)%5E2.%5C%5C%0A%2624%E3%80%81(a%5E2%2B3)%5E2.%5C%5C%0A%2625%E3%80%81(3a%5E5-2b%5E3)%5E2.%5C%5C%0A%2626%E3%80%81(3a%5E2b%5E2%2B1)%5E2.%5C%5C%0A%2627%E3%80%81(3ax%5E2y-2b%5E3)%5E2.%5C%5C%0A%2628%E3%80%81(a%5E2-10b%5E3)%5E2.%5C%5C%0A%2629%E3%80%81(-abc-3)%5E2.%5C%5C%0A%2630%E3%80%81(-a%5E3%2B2a%5E2)%5E2.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

[解法舉例：(3x2－5y)2＝9x?－30x2y＋25y2 ]

例10.利用乘法公式求 (a＋b＋c)2? 。

【解1】演算分二步，先把前面兩項(xiàng)添上括號(hào)作為公式里的 a，求出積，而后再應(yīng)用一次公式。

(a＋b＋c)2＝[(a＋b)＋c]2＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2? 。

【解2】把后面兩項(xiàng)添上括號(hào)作為公式里的 b，逐步求積。

(a＋b＋c)2＝[a＋(b＋c)]2＝a2＋2a(b＋c)＋(b＋c)2＝a2＋2ab＋2ac＋b2＋2bc＋c2? 。

例11.利用乘法公式求 (a－2b＋3c)2? 。

【解1】前面兩項(xiàng)添上括號(hào)：

(a－2b＋3c)2＝[(a－2b)＋3c]2＝(a－2b)2＋2(a－2b)3c＋(3c)2＝a2－4ab＋4b2＋6ac－12bc＋9c2? 。

【解2】后面兩項(xiàng)添上括號(hào)，把第二項(xiàng)的性質(zhì)符號(hào)“－”保留在括號(hào)外，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)變換符號(hào)。

(a－2b＋3c)2＝[a－(2b－3c)]2＝a2－2a(2b－3c)＋(2b－3c)2＝a2－4ab＋6ac＋4b2－12bc＋9c2? 。

例12.利用乘法公式求：(2a＋3b－4c)(2a＋3b＋4c)? 。

【分析】這里是三項(xiàng)式乘以三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)完全相同，而另外一項(xiàng)差一性質(zhì)符號(hào)，對(duì)前二項(xiàng)添加括號(hào)，先應(yīng)用兩數(shù)和與差的積的公式，再應(yīng)用兩項(xiàng)式平方公式。

【解】(2a＋3b－4c)(2a＋3b＋4c)＝[(2a＋36)－4c][(2a＋3b)＋4c]＝(2a＋3b)2－(4c)2＝4a2＋12ab＋9b2－16c2? 。

例13.利用乘法公式求：(3a－4b＋5c)(3a＋4b－5c)? 。

【分析】這里也是三項(xiàng)式乘以三項(xiàng)式，其中有一項(xiàng)完全相同，而另外兩項(xiàng)部恰巧相差一性質(zhì)符號(hào)，在這兩項(xiàng)外面添上括號(hào)，這祥可以先應(yīng)用兩數(shù)和與差的積的公式，再應(yīng)用二項(xiàng)式的平方公式。

【解】(3a－4b＋5c)(3a＋4b－5c)＝[3a－(4b＋5c)][3a＋(4b－5c)]＝(3a)2－(4b－5c)2＝9a2－(16b2－40bc＋25c2)＝9a2－16b2＋40bc－25c2? 。

【注意】下面的做法是錯(cuò)誤的：(3a－4b＋5c)(3a＋4b－5c)＝[(3a－4b)＋5c][(3a＋4b)－5c]＝(3a－4b)(3a＋4b)－(5c)2＝9a2－16b2－25c2? 。因?yàn)檫@里 (3a－4b) 與 (3a＋4b) 不相同，公式里的 a 應(yīng)該是相同的。

例14.利用乘法公式求：(3a＋4b－5c)(3a－4b－5c)? 。

【分析】這里兩個(gè)因式的第一項(xiàng)與第三項(xiàng)都相同，第二項(xiàng)相差一個(gè)性質(zhì)符號(hào)，所以根據(jù)加法交換律把各因式中的第二項(xiàng)與第三項(xiàng)交換位置，然后各添一個(gè)括號(hào)，再應(yīng)用乘法公式。

【解】(3a＋4b－5c)(3a－4b－5c)＝[(3a－5c)＋4b][(3a－5c)－4b]＝(3a－5c)2－(4b)2＝9a2－30ac＋25c2－16b2? 。

【注意】下列添括號(hào)的做法都是錯(cuò)誤的：

(1) (3a＋4b－5c)(3a－4b－5c)＝[3a＋(4b－5c)][3a－(4b－5c)]? 。這個(gè)做法的錯(cuò)誤是在后面因式添括號(hào)時(shí)外面保留負(fù)號(hào)而沒(méi)有把括號(hào)內(nèi)－5c 調(diào)換性質(zhì)符號(hào)。

(2) (3a＋4b－5c)(3a－4b－5c)＝[3a＋(4b－5c)][3a－(4b＋5c)]? 。這個(gè)做法在添括號(hào)時(shí)注意了變換性質(zhì)符號(hào)，但這樣括法并沒(méi)有作用，因?yàn)閮蓚€(gè)因式中后面的一項(xiàng)不相同，一個(gè)是 4b－5c，另二個(gè)是 4b＋5c，所以不能應(yīng)用兩數(shù)和與差的積的公式。

(3) (3a＋4b－5c)(3a－4b－5c)＝[(3a＋4b)－5c][(3a－4b)－5c]? 。這樣做法雖然也和原式相等，但同上面一樣，由于前面這一項(xiàng)不相同，不能應(yīng)用乘法公式。

習(xí)題3-10(4)

適當(dāng)添加括號(hào)，應(yīng)用乘法公式求下列的積(1~12)：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%261%E3%80%81(a-b-c)%5E2.%5C%5C%0A%262%E3%80%81(2a%2B3b%2Bc)%5E2.%5C%5C%0A%263%E3%80%81(3a-2b%2B4c)%5E2.%5C%5C%0A%264%E3%80%81(5a%2Bb-2c)%5E2.%5C%5C%0A%265%E3%80%81(2a%2B3b-4c)(2a%2B3b%2B4c).%5C%5C%0A%266%E3%80%81(5a-3b%2B4c)(5a-3b-4c).%5C%5C%0A%267%E3%80%81(a-2b%2B3c)(a%2B2b-3c).%5C%5C%0A%268%E3%80%81(7a%2B3b-5c)(7a-3b-5c).%5C%5C%0A%269%E3%80%81(2a-5b%2B3c)(2a%2B5b%2B3c).%20%20%5C%5C%0A%2610%E3%80%81(a%5E2-b%5E2%2Bc%5E2)(a%5E2%2Bb%5E2-c%5E2).%20%20%5C%5C%0A%2611%E3%80%81%20(3a%5E%7B2%7D-5b%5E%7B2%7D%2B2c%5E%7B2%7D)(3a%5E%7B2%7D-5b%5E%7B2%7D-2c%5E%7B2%7D)_%7B%5Cbullet%7D%20%20%5C%5C%0A%2612%E3%80%81(3x%5E2-5x%2B2)(3x%5E2%2B5x%2B2).%20%0A%5Cend%7Baligned%7D$

應(yīng)用乘法公式化簡(jiǎn)(13~20)：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%2613%E3%80%81(a%2Bb)%5E2-(a-b)%5E2.%5C%5C%0A%2614%E3%80%81(3x-2y)%5E2-(3x%2B2y)%5E2.%5C%5C%0A%2615%E3%80%81(a%2Bb)(a-b)-(b%2Ba)(b-a).%5C%5C%0A%2616%E3%80%81(3a%2B2b)(3a-2b)%2B(3a-2b)%5E2.%5C%5C%0A%2617%E3%80%81(a%2Bb%2Bc)%5E2-(a-b-c)%5E2.%5C%5C%0A%2618%E3%80%81(2a%2Bb-3c)%5E2-(2a-b%2B3c)%5E2.%5C%5C%0A%2619%E3%80%81(a%2B2b%2B3c)(a%2B2b-3c)-(a-2b%2B3c)(a%2B2b-3c).%5C%5C%0A%2620%E3%80%81(3x-2y%2B5z)(5x%2B2y-3x)%2B(3x%2B2y%2B5z)(3x%2B2y-5z).%0A%5Cend%7Baligned%7D$

[解法舉例：(a＋b)2－(a－b)2＝a2＋2ab＋b2－(a2－2ab＋b2)＝a2＋2ab＋b2－a2＋2ab－b2＝4ab ]

【答案】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%261%E3%80%81%20a%5E2-2ab-2ac%2Bb%5E2%2B2bc%2Bc%5E2%3B%20%5C%5C%0A%262%E3%80%814a%5E2%2B12ab%2B4ac%2B9b%5E2%2B6bc%2Bc%5E2%3B%20%5C%5C%0A%263%E3%80%819a%5E2-12ab%2B24ac%2B4b%5E2-16bc%2B16c%5E2%3B%5C%5C%0A%264%E3%80%8125a%5E2%2B10ab-20ac%2Bb%5E2-4bc%2B4c%5E2%3B%5C%5C%0A%265%E3%80%814a%5E2%2B12ab%2B9b%5E2-16c%5E2%3B%5C%5C%0A%266%E3%80%8125a%5E2-30ab%2B9b%5E2-16c%5E2%3B%5C%5C%0A%267%E3%80%81%20a%5E3-4b%5E2%2B12bc-9c%5E2%3B%20%5C%5C%0A%268%E3%80%8149a%5E%7B2%7D-70ac%2B25c%5E%7B2%7D-9b%5E%7B2%7D%3B%5C%5C%0A%269%E3%80%814a%5E%7B2%7D%2B12ac%2B9c%5E%7B2%7D-25b%5E%7B2%7D%3B%20%5C%5C%0A%2610%E3%80%81a%5E%7B4%7D-b%5E%7B4%7D%2B2b%5E%7B2%7Dc%5E%7B2%7D-c%5E%7B4%7D%3B%5C%5C%0A%2611%E3%80%819a%5E%7B4%7D-30a%5E%7B2%7Db%5E%7B2%7D%2B25b%5E%7B4%7D-4c%5E%7B4%7D%3B%5C%5C%0A%2612%E3%80%819x%5E4-13x%5E2%2B4%3B%5C%5C%0A%2614%E3%80%81-24xy%3B%5C%5C%0A%2615%E3%80%812a%5E2-2b%5E2%3B%5C%5C%0A%2616%E3%80%8118a%5E2-12ab%3B%5C%5C%0A%2617%E3%80%814ab%2B4ac%3B%5C%5C%0A%2618%E3%80%818ab-24ac%3B%5C%5C%0A%2619%E3%80%814ab%2B8b%5E2-12bc%3B%5C%5C%0A%2620%E3%80%8124xy.%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A%0A%0A%0A%0A$

3、兩數(shù)和（或差）乘以它們的平方和與它們的積的差（或和）

【15】我們來(lái)計(jì)算：(a＋b)(a2－ab＋b2) 及 (a－b)(a2＋ab＋b2)? 。

【16】用乘法計(jì)算，得到：

(a＋b)(a2－ab＋b2)?＝a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b3＝a3＋b3，

(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3＋a2b＋ab2－a2b－ab2－b3＝a3－b3? 。

【17】這就是說(shuō)：

????????兩數(shù)和乘以它們的平方和與它們的積的差等于它們的立方和；

????????兩數(shù)差乘以它們的平方和與它們的積的和等于它們的立方差。

【18】用字母來(lái)表達(dá)，就得到兩數(shù)和（或差）乘以它們的平方和與它們的積的差（或和）的公式：

(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3（乘法公式4），

(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3（乘法公式5）。

例15.用公式計(jì)算：(1) (2a＋3b)(4a2－6ab＋9b2)；(2) (3x2－5y2)(9x?＋15x2y2＋25y?)? 。

【分析】(1)在第一個(gè)因式里，我們有兩數(shù) 2a 與 3b 的和，在第二個(gè)因式里，4a2＝(2a)2，9b2＝(3b)2，而－6ab＝－(2a)(3b)，剛剛是這兩數(shù)的平方和與它們的積的差，可用乘法公式4? 。

【解】(1) (2a＋3b)(4a2－6ab＋9b2)＝(2a＋3b)[(2a)2－(2a)(3b)＋(3b)2]＝(2a)3＋(3b)3＝8a3＋27b3? 。

【分析】(2) 9x?＝(3x2)2，25y?＝(5y2)2，15x2y2＝(3x2)(5y2)；第一個(gè)因式是兩數(shù)差，第二個(gè)因式剛剛是它們的平方和與它們的積的和，可用乘法公式5? 。

【解】(2) (3x2－5y2)(9x?＋15x2y2＋25y?) ＝(3x2－5y2)[(3x2)2＋(3x2)(5y2)＋(5y2)2]＝(3x2)3－(5y2)3＝27x?－125y?? 。

例16.用公式計(jì)算：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%26(1)%5C%3B(3a%5E3-4bc%5E2)%5Cleft(9a%5E6%2B12a%5E3bc%5E2%2B16b%5E2c%5E4%5Cright)%3B%5C%5C%0A%26(2)%5C%3B%5Cleft(4x%5E2y%5E3%2B%5Cfrac12%5Cright)%5Cleft(16x%5E4y%5E3-2x%5E2y%5E3%2B%5Cfrac14%5Cright).%0A%5Cend%7Baligned%7D$

【解】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A(1)%26(3a%5E%7B3%7D-4bc%5E%7B2%7D)(9a%5E%7B6%7D%2B12a%5E%7B3%7Dbc%5E%7B2%7D%2B16b%5E%7B2%7Dc%5E%7B4%7D)%20%5C%5C%0A%26%3D(3a%5E%7B3%7D-4bc%5E%7B2%7D)%5Cleft%5B(3a%5E%7B3%7D)%5E%7B2%7D%2B(3a%5E%7B3%7D)(4bc%5E%7B2%7D)%2B(4bc%5E%7B2%7D)%5E%7B2%7D%5Cright%5D%20%5C%5C%0A%26%3D(3a%5E%7B3%7D)%5E%7B3%7D-(4bc%5E%7B2%7D)%5E%7B3%7D%3D27a%5E%7B9%7D-64b%5E%7B3%7Dc%5E%7B6%7D%3B%20%5C%5C%0A(2)%26%5CBig(~4x%5E2y%5E3%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5CBig)%5CBig(~16x%5E4y%5E6-2x%5E3y%5E3%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5CBig)%5C%5C%5B1ex%5D%26%3D%5CBig(~4x%5E2y%5E3%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5CBig)%5CBig%5B~(4x%5E2y%5E3)%5E2-(4x%5E2y%5E3)%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright)%5E2%5CBig%5D%5C%5C%0A%26%3D(4x%5E2y%5E3)%5E3%2B%5CBig(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5CBig)%5E3%3D64x%5E6y%5E9%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7D.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

習(xí)題3-10(5)

用乘法公式計(jì)算：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%261%E3%80%81(3a%2Bb)(9a%5E2-3ab%2Bb%5E2).%20%20%5C%5C%0A%26%202%E3%80%81(a-2x)(a%5E%7B2%7D%2B2ax%2B4x%5E%7B2%7D).%20%20%5C%5C%0A%26%203%E3%80%81(2a-3b)(4a%5E%7B2%7D%2B6ab%2B9b%5E%7B2%7D).%20%20%5C%5C%0A%264%E3%80%81(a%5E%7B2%7D%2Bb)(a%5E%7B4%7D-a%5E%7B2%7Db%2Bb%5E%7B2%7D).%20%5C%5C%0A%26%205%E3%80%81(2a%5E%7B2%7D%2B3b%5E%7B3%7D)(4a%5E%7B4%7D-6a%5E%7B2%7Db%5E%7B3%7D%2B9b%5E%7B6%7D).%20%20%5C%5C%0A%266%E3%80%81(3x%5E4-5y%5E3)(9x%5E8%2B15x%5E4y%5E3%2B25y%5E6).%20%5C%5C%0A%267%E3%80%81%20(x%5E5-x%5E2)(x%5E%7B10%7D%2Bx%5E7%2Bx%5E4).%20%20%5C%5C%0A%268%E3%80%81(3x%5E3y%2B2xy%5E2)(9x%5E6y%5E2-6x%5E4y%5E3%2B4x%5E2y%5E4).%20%20%5C%5C%0A%269%E3%80%81%20(x%5E4-x%5E2%2B1)(x%5E2%2B1).%20%20%5C%5C%0A%2610%E3%80%81%20(a%5E4%2Ba%5E2b%5E2%2Bb%5E4)(a%5E2-b%5E2).%20%0A%5Cend%7Baligned%7D$

例17.用公式計(jì)算：(1) (a＋b)(a2－ab＋b2)(a－b)(a2＋ab＋b2)；(2) (x＋2y)(x－2y)(x?＋4x2y2＋16y?)? 。

【解】

(1) (a＋b)(a2－ab＋b2)(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a3＋b3)(a3－b3)＝(a3)2－(b3)2＝a?－b?；

(2) (x＋2y)(x－2y)(x?＋4x2y2＋16y?)＝(x2－4y2)(x?＋4x2y2＋16y?)＝(x2－4y2)[(x2)2＋x2(4y2)＋(4y2)2]＝(x2)3－(4y2)3＝x?－64y?? 。

【說(shuō)明】

(1)先用乘法公式4與5得兩個(gè)立方和與差的因式，再用乘法公式1? 。

(2)先用乘法公式1把前面兩個(gè)因式變成兩數(shù)差，再用乘法公式5求得這兩個(gè)式子的立方差。

習(xí)題3-10(6)

用乘法公式計(jì)算(1~6)：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%261%E3%80%81(a%2B1)(a-1)(a%5E%7B4%7D%2Ba%5E%7B2%7D%2B1).%20%5C%5C%0A%262%E3%80%81(2a%2Bb)(2a-b)(16a%5E%7B4%7D%2B4a%5E%7B2%7Db%5E%7B2%7D%2Bb%5E%7B4%7D).%20%5C%5C%0A%263%E3%80%81(x-y)(x%2By)(x%5E%7B4%7D%2Bx%5E%7B2%7Dy%5E%7B2%7D%2By%5E%7B4%7D).%20%5C%5C%0A%264%E3%80%81(2a%5E2-3b%5E2)(2a%5E2%2B3b%5E2)(16a%5E8%2B36a%5E4b%5E4%2B81b%5E8).%20%20%5C%5C%0A%265%E3%80%81(a-1)(a%5E%7B2%7D%2Ba%2B1)(a%5E%7B6%7D%2Ba%5E%7B3%7D%2B1).%20%20%5C%5C%0A%266%E3%80%81(x%2By)(x%5E%7B2%7D-xy%2By%5E%7B2%7D)(x%5E%7B6%7D-x%5E%7B3%7Dy%5E%7B3%7D%2By%5E%7B6%7D).%0A%5Cend%7Baligned%7D$

利用乘法公式化簡(jiǎn)(7~10)：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%267%E3%80%81(x-y)(x%5E2%2Bxy%2By%5E2)%2B(2x%2By)(4x%5E2-2xy%2By%5E2).%20%5C%5C%0A%268%E3%80%81(x%5E2%2By%5E2)(x%5E4-x%5E2y%5E2%2By%5E4)-(x%5E2-y%5E2)(x%5E4%2Bx%5E2y%5E2%2By%5E4).%20%5C%5C%0A%269%E3%80%81%20(x%5E2-4y%5E2)(x%5E4%2B4x%5E2y%5E2%2B16y%5E4)-(x%5E3-8y%5E3)(x%5E3%2B8y%5E3).%20%20%5C%5C%0A%2610%E3%80%81(x%5E2%2By%5E2)(x%5E4-x%5E2y%5E2%2By%5E4)-(x%5E3%2By%5E3)%5E2.%20%0A%5Cend%7Baligned%7D$

【答案】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%261%E3%80%81a%208-1%3B%5Cquad%26%262%E3%80%8164a%5E6-b%5E6%3B%5C%5C%0A%26%263%E3%80%81x%5E6-y%5E6%3B%0A%26%264%E3%80%8164a%5E%7B12%7D-729b%5E%7B12%7D%3B%5C%5C%0A%26%265%E3%80%81a%5E9-1%3B%0A%26%266%E3%80%81x%5E9%2By%5E3%3B%5C%5C%0A%26%267%E3%80%819x%5E3%3B%0A%26%268%E3%80%812y%5E6%3B%5C%5C%0A%26%269%E3%80%810%3B%0A%26%2610%E3%80%81-2x%5E3y%5E3.%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

4、二項(xiàng)式的立方

【19】我們來(lái)計(jì)算：(a＋b)3 和 (a－b)3? 。

【20】用乘法計(jì)算，得到：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%5Cleft(a%2Bb%5Cright)%5E%7B3%7D%20%26%3D(a%2Bb)%5E2(a%2Bb)%3D(a%5E2%2B2ab%2Bb%5E2)(a%2Bb)%20%20%5C%5C%0A%26%3Da%5E3%2B2a%5E2b%2Bab%5E2%2Ba%5E2b%2B2ab%5E2%2Bb%5E3%20%5C%5C%0A%26%3Da%5E3%2B3a%5E2b%2B3ab%5E2%2Bb%5E3%2C%20%5C%5C%0A%5Cleft(a-b%5Cright)%5E%7B3%7D%26%20%3D(a-b)%5E%7B2%7D(a-b)%3D(a%5E%7B2%7D-2ab%2Bb%5E%7B2%7D)(a-b)%20%20%5C%5C%0A%26%3Da%5E3-2a%5E2b%2Bab%5E2-a%5E2b%2B2ab%5E2-b%5E3%20%5C%5C%0A%26%3Da%5E3-3a%5E2b%2B3ab%5E2-b%5E3.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

【21】那就是：

????????兩數(shù)和的立方等于第一數(shù)的立方，第一數(shù)的平方與第二數(shù)的積的 3 倍，第二數(shù)的平方與第一數(shù)的積的 3 倍，及第二數(shù)的立方這四項(xiàng)的和；

????????兩數(shù)差的立方等于第一數(shù)的立方，減去第一數(shù)的平方與第二數(shù)的積的 3 倍，加上第二數(shù)的平方與第一數(shù)的積的 3 倍，再減去第二數(shù)的立方。

【22】用字母來(lái)表示，可以得到下面的二項(xiàng)式的立方公式：

(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3（乘法公式6），

(a－b)3＝a3－3a2b＋3ab2－b3（乘法公式7）。

例18.用公式計(jì)算：(1) (x＋y)3；(2) (x－y)3? 。

【解】

(1) (x＋y)＝x3＋3x2y＋3xy2＋y3；

(2) (x－y)3＝x3－3x2y＋3xy2－y3? 。

例19.用公式計(jì)算：(1) (2x＋3y)3；(2) (x2－y3)3? 。

【解】

(1) (2x＋3y)3＝(2x)3＋3(2x)2(3y)＋3(2x)(3y)2＋(3y)3＝8x3＋36x2y＋54xy2＋27y3；

(2)?(x2－y3)3＝(x2)3－3(x2)2(y3)＋3(x2)(y3)2－(y3)3＝x?－3x?y3＋3x2y?－y?? 。

例20.計(jì)算： $%5Cscriptsize(1)%5C%3B(3x%5E3-2x%5E2)%5E3%3B%5Cquad(2)%5C%3B%5Cleft(4x%5E2%2B%5Cfrac12x%5Cright)%5E3$ ? 。

【解】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A(1)%26(3x%5E3-2x%5E2)%5E3%5C%5C%0A%26%20%3D(3x%5E%7B3%7D)%5E%7B3%7D-3%5Cleft(3x%5E%7B3%7D%5Cright)%5E%7B2%7D%5Cleft(2x%5E%7B2%7D%5Cright)%20%2B3%5Cleft(3x%5E3%5Cright)%5Cleft(2x%5E2%5Cright)%5E2-%5Cleft(2x%5E2%5Cright)%5E3%20%5C%5C%0A%26%3D27x%5E9-54x%5E8%2B36x%5E7-8x%5E6%3B%5C%5C%0A(2)%26%5Cleft(4x%5E2%2B%5Cfrac12x%5Cright)%5E3%5C%5C%0A%26%20%3D(4x%5E2)%5E3%2B3%5Cleft(4x%5E2%5Cright)%5E2%7B%5Cleft(%5Cfrac12x%5Cright)%7D%20%20%2B3%5Cleft(4x%5E2%5Cright)%5Cleft(%5Cfrac12x%5Cright)%5E2%2B%5Cleft(%5Cfrac12x%5Cright)%5E3%20%5C%5C%0A%26%3D64x%5E6%2B24x%5E5%2B3x%5E4%2B%5Cfrac18x%5E3.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

習(xí)題3-10(7)

用乘法公式計(jì)算：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%261%E3%80%81(m%2Bn)%5E3.%5C%5C%0A%262%E3%80%81(m-2n)%5E3.%5C%5C%0A%263%E3%80%81(2x%2By)%5E3.%5C%5C%0A%264%E3%80%81(3a-2b)%5E3.%5C%5C%0A%265%E3%80%81(x%5E2%2B2)%5E3.%5C%5C%0A%266%E3%80%81(x%5E2-a%5E2)%5E3.%5C%5C%0A%267%E3%80%81(3x%5E2-2x)%5E3.%5C%5C%0A%268%E3%80%81(5x%5E3%2B2a)%5E3.%5C%5C%0A%269%E3%80%81%5Cleft(%5Cfrac12ax-%5Cfrac13b%5Cright)%5E3.%5C%5C%0A%2610%E3%80%81%5Cleft(%5Cfrac13a%5E3-%5Cfrac12a%5Cright)%5E3.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

【答案】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%267%E3%80%8127x%5E6-54x%5E5%2B36x%5E4-8x%5E3%3B%20%5C%5C%0A%268%E3%80%81125x%5E%7B9%7D%2B150x%5E%7B6%7Da%2B60x%5E%7B3%7Da%5E%7B2%7D%2B8a%5E%7B3%7D%3B%20%5C%5C%0A%269%E3%80%81%5Cfrac18a%5E%7B3%7Dx%5E%7B3%7D-%5Cfrac14a%5E%7B2%7Dbx%5E%7B2%7D%2B%5Cfrac16ab%5E%7B2%7Dx-%5Cfrac1%7B27%7Db%5E%7B3%7D%3B%20%5C%5C%0A%2610%E3%80%81%5Cfrac1%7B27%7Da%5E%7B9%7D-%5Cfrac16a%5E%7B7%7D%2B%5Cfrac14a%5E%7B5%7D-%5Cfrac18a%5E%7B3%7D.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

例21.用公式計(jì)算：(a＋b－c)3? 。

【解】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%26(a%2Bb-c)%5E%7B3%7D%5C%5C%0A%26%20%3D%5Cleft%5B(a%2Bb)-c%5Cright%5D%5E%7B3%7D%20%20%5C%5C%0A%26%3D(a%2Bb)%5E3-3(a%2Bb)%5E2c%2B3(a%2Bb)c%5E2-c%5E3%20%5C%5C%0A%26%3Da%5E3%2B3a%5E%5Cmathbf%7B2%7Db%2B3ab%5E%5Cmathbf%7B2%7D%2Bb%5E3%20-3%5Cleft(a%5E%7B2%7D%2B2ab%2Bb%5E%7B2%7D%5Cright)c%2B3ac%5E%7B2%7D%2B3bc%5E%7B2%7D-c%5E%7B3%7D%20%20%5C%5C%0A%26%3Da%5E3%2B3a%5E2b-3a%5E2c%2B3ab%5E2-6abc%20%2B3ac%5E%7B2%7D%2Bb%5E%7B3%7D-3b%5E%7B2%7Dc%2B3bc%5E%7B2%7D-c%5E%7B3%7D.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

【注意】也可以先把后面兩項(xiàng)括成一項(xiàng)，再用乘法公式計(jì)算。

例22.用乘法公式求 (103)3 及 983? 。

【解】

(103)3＝(100＋3)3＝1003＋3·1002·3＋3·100·32＋33＝1,000,000＋90,000＋2,700＋27＝1,092,727；

(98)3＝(100－2)3＝1003－3·1002·2＋3·100·22－23＝1,000,000－60,000＋1,200－8＝941,192? 。

習(xí)題3-10(8)

利用乘法公式計(jì)算(1~6)：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%261%E3%80%81(a%2Bb%2Bc)%5E3.%5C%5C%0A%262%E3%80%81(a-2b-c)%5E3.%5C%5C%0A%263%E3%80%81(102)%5E3.%5C%5C%0A%264%E3%80%81(99)%5E3.%5C%5C%0A%265%E3%80%81(1.01)%5E3.%5C%5C%0A%266%E3%80%81(0.97)%5E3.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

化簡(jiǎn)(7~10)：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%267%E3%80%81(a%2Bb)%5E3%2B(a-b)%5E3.%5C%5C%0A%268%E3%80%81(a%2Bb)%5E3-(a-b)%5E3.%5C%5C%0A%269%E3%80%81(2a%2B3b)%5E3-(2a-3b)%5E3.%5C%5C%0A%2610%E3%80%81(x%5E2-2y%5E2)%5E3-(x%5E2%2B2y%5E2)%5E3.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

【答案】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%261%E3%80%81a%5E3%2B3a%5E2b%2B3a%5E2c%2B3ab%5E2%2B6abc%2B3ac%5E2%2Bb%5E3%2B3b%5E2c%2B3bc%5E2%2Bc%5E3%3B%5C%5C%0A%262%E3%80%81%20a%5E3-6a%5E2b-3a%5E2c%2B12ab%5E2%2B12abc%2B3ac%5E2-8b%5E3-12b%5E2c-6bc%5E2-c%5E3%3B%5C%5C%0A%267%E3%80%812a%5E3%2B6ab%5E2%3B%5C%5C%0A%268%E3%80%816a%5E2b%2B2b%5E3%3B%5C%5C%0A%269%E3%80%8172a%5E2b%2B54b%5E3%3B%5C%5C%0A%2610%E3%80%81-12x%5E4y%5E2-16y%5E6.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

5、x 的兩個(gè)一次二項(xiàng)式的積

(ⅰ) (x＋a)(x＋b) 的積

【23】直接做乘法，得到：(x＋a)(x＋b)＝x2＋ax＋bx＋ab＝x2＋(a＋b)x＋ab? 。

【24】這就是說(shuō)，形如?(x＋a)(x＋b) 的積是 x 的二次三項(xiàng)式，其中，x2 的系數(shù)是 1，x 的系數(shù)是兩個(gè)因式的常數(shù)項(xiàng)的代數(shù)和，而常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)因式的常數(shù)項(xiàng)的積：

(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab（乘法公式8）。

例23.計(jì)算：(1) (x＋7)(x＋11)；(2) (x＋12)(x＋8)；(3)(x－8)(x－9)；(4) (x－12)(x－16)? 。

【解】

(1) (x＋7)(x＋11)＝x2＋(7＋11)x＋7·11＝x2＋18x＋77；

(2) (x＋12)(x＋8)＝x2＋(12＋8)x＋12·8＝x2＋20x＋96；

(3) (x－8)(x－9)＝x2＋(－8－9)x＋(－8)(9)＝x2－17x＋72；

(4)(x－12)(x－16)＝x2＋(－12－16)x＋(－12)(－16)＝x2－28x＋192? 。

【25】從上面四個(gè)例子，我們可以看出：當(dāng) a,b 都是正數(shù)或都是負(fù)數(shù)時(shí)，積的常數(shù)項(xiàng)是正的，x 的系數(shù)的絕對(duì)值等于 a 與 b 的絕對(duì)值的和，符號(hào)與?a,b?的符號(hào)相同。

例24.計(jì)算：(1) (x＋7)(x－5)；(2) (x＋12)(x－18)；(3) (x－12)(x＋3)；(4) (x－8)(x＋10)? 。

【解】

(1) (x＋7)(x－5)＝x2＋(7－5)x＋(7)(－5)＝x2＋2x－35；

(2) (x＋12)(x－18)＝x2＋(12－18)x＋(12)(－18)＝x2－6x－216；

(3) (x－12)(x＋3)＝x2＋(－12＋3)x＋(－12)(3)＝x2－9x－36；

(4) (x－8)(x＋10)＝x2＋(－8＋10)x＋(－8)(10)＝x2＋2x－80? 。

【26】從上面四個(gè)例子，我們可以看出：當(dāng) a,b 兩數(shù)的性質(zhì)符號(hào)相反時(shí)，積的常數(shù)項(xiàng)是負(fù)的；x 的系數(shù)的絕對(duì)值等于 a,b 兩數(shù)絕對(duì)值的差，符號(hào)與 a,b 中絕對(duì)值較大一數(shù)的符號(hào)相同。

習(xí)題3-10(9)

計(jì)算：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%261%E3%80%81(x%2B1)(x%2B2).%20%5C%5C%262%E3%80%81%20%5Cleft(x%2B3%5Cright)%5Cleft(x%2B4%5Cright).%20%20%5C%5C%0A%263%E3%80%81(x%2B7)(x%2B12).%20%5C%5C%264%E3%80%81%20(x%2B20)(x%2B18).%20%20%5C%5C%0A%265%E3%80%81%5Cleft(x-2%5Cright)%5Cleft(x-4%5Cright).%20%5C%5C%266%E3%80%81%20%5Cleft(x-7%5Cright)%5Cleft(x-8%5Cright).%20%20%5C%5C%0A%267%E3%80%81(x-12)(x-6).%20%5C%5C%268%E3%80%81%20(x-18)(x-30).%20%20%5C%5C%0A%269%E3%80%81%5Cleft(x%2B5%5Cright)%5Cleft(x-3%5Cright).%5C%5C%2610%E3%80%81%20(x%2B2)(x-6)%20%5C%5C%0A%2611%E3%80%81(x-24)(x%2B18).%20%5C%5C%2612%E3%80%81(x-32)(x-7).%20%5C%5C%0A%2613%E3%80%81(a-51)(a%2B40).%20%5C%5C%2614%E3%80%81(a%2B20)(a%2B50).%20%5C%5C%0A%2615%E3%80%81(a-7)(a-100).%20%5C%5C%2616%E3%80%81(a-13)(a%2B32).%20%5C%5C%0A%2617%E3%80%81(x-20)(x%2B30).%20%5C%5C%2618%E3%80%81(x-12)(x-50).%20%5C%5C%0A%2619%E3%80%81%5Cleft(x-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright)%5Cleft(x%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cright).%20%5C%5C%2620%E3%80%81%5Cleft(x%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright)%5Cleft(x%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cright).%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A%0A%0A%0A%0A%0A%0A%20%0A%0A%0A$

(ⅱ) (ax＋b)(cx＋d)的積

【27】直接做乘法，得到：(ax＋b)(cx＋d)＝acx2＋bcx＋adx＋bd＝acx2＋(bc＋ad)x＋bd? 。

【28】這就是說(shuō)：形如 (ax＋b)(cx＋d) 的積是 x 的二次三項(xiàng)式，其中，x2 的系數(shù)等于兩個(gè)因式中 x 的系數(shù)的積，常數(shù)項(xiàng)等于兩個(gè)因式中常數(shù)項(xiàng)的積，而 x 的系數(shù)是兩個(gè)因式的 x 的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)交叉相乘的積的和：

(ax＋b)(cx＋d)＝acx2＋(bc＋ad)x＋bd（乘法公式9）

【注】

????????在應(yīng)用這個(gè)公式來(lái)計(jì)算時(shí)，為了便于求出積中 x2，x 的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)，也可以先把因式里 x 項(xiàng)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)排成下面的形式：

????????把第一直行里兩個(gè)數(shù) a 和 c 相乘，就得積里 x2 的系數(shù) ac，把第二直行里兩個(gè)數(shù) b 和 d 相乘，就得積里的常數(shù)項(xiàng) bd，把兩條對(duì)角線(xiàn)（斜線(xiàn)表示的）兩數(shù) a 和 d，b 和 c 分別相乘，它們的代數(shù)和就是積里 x 的系數(shù) (ad＋bc)? 。

????????這種算法，可以叫做交叉乘法。

例25.計(jì)算：(1) (3x＋2)(4x＋5)；(2) (3x－5)(2x－7)；(3) (6x－2)(3x＋4)；(4) (2x＋3)(3x－7)? 。

【解】

例26.計(jì)算：(1) (x－5a)(x＋3a)；(2) (x2＋3)(x2－7)；(3) (3x2－5a)(2x2＋3a)；(4) (2x2＋3y2)(x2－2y2)? 。

【解】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%26(1)%5C%3B(x-5a)(x%2B3a)%3Dx%5E2-2ax-15a%5E2%3B%5C%5C%26(2)%5C%3B(x%5E2%2B3)(x%5E2-7)%3Dx%5E4-4x%5E2-21%3B%5C%5C%26(3)%5C%3B(3x%5E2-5a)(2x%5E2-3a)%3D6x%5E4-19ax%5E2%2B15a%5E2%3B%5C%5C%26(4)%5C%3B(2x%5E2%2B3y%5E2)(x%5E2-2y%5E2)%3D2x%5E4-x%5E2y%5E2-6y%5E4.%5Cend%7Baligned%7D$

例27.計(jì)算：(1) [(a＋b)－3][(a＋b)＋5]；(2) [2(x＋y)－3][3(x＋y)＋4]? 。

【解】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A(1)%26%5C%3B%5Cleft%5B(a%2Bb)-3%5Cright%5D%5Cleft%5B(a%2Bb)%2B5%5Cright%5D%5C%5C%26%3D(a%2Bb)%5E2%2B2%5Cleft(a%2Bb%5Cright)-15%5C%5C%26%3Da%5E2%2B2ab%2Bb%5E2%2B2a%2B2b-15%3B%5C%5C%0A(2)%26%5C%3B%5Cleft%5B2%5Cleft(x%2By%5Cright)-3%5Cright%5D%5Cleft%5B3%5Cleft(x%2By%5Cright)%2B4%5Cright%5D%20%20%5C%5C%0A%26%3D6(x%2By)%5E2-(x%2By)-12%20%5C%5C%0A%26%3D6%5Cleft(x%5E%7B2%7D%2B2xy%2By%5E%7B2%7D%5Cright)-%5Cleft(x%2By%5Cright)-12%20%5C%5C%0A%26%3D6x%5E2%2B12xy%2B6y%5E2-x-y-12.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

習(xí)題3-10(10)

計(jì)算(1~10)：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%261%E3%80%81(x%2B3)(2x%2B1).%20%20%5C%5C%262%E3%80%81(3x%2B4)(5x%2B2).%20%5C%5C%0A%263%E3%80%81(2x-3)(3x-2).%20%20%5C%5C%264%E3%80%81(5x-4)(4x-5).%20%5C%5C%0A%265%E3%80%81%5Cleft(3x%2B7%5Cright)%5Cleft(2x-4%5Cright).%20%5C%5C%266%E3%80%81(4x-3)(3x%2B1).%20%5C%5C%0A%267%E3%80%81(3x-2)(3x%2B5).%20%5C%5C%268%E3%80%81(5x-1)(5x-3).%20%5C%5C%0A%269%E3%80%81(4x-1)(4x%2B3).%20%5C%5C%2610%E3%80%81(3x-5)(5x%2B6).%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A%0A%0A%0A%0A$

計(jì)算(11~20)：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%2611%E3%80%81(a%2B3b)(a%2B5b).%5C%5C%0A%2612%E3%80%81(a-3b)(a%2B7b)%5C%5C%0A%2613%E3%80%81(x%2B2a)(x%2B3a).%5C%5C%0A%2614%E3%80%81(x-3a)(x%2B8a).%5C%5C%0A%2615%E3%80%81(a%2B10b)(a-7b).%5C%5C%0A%2616%E3%80%81(a%2B7b)(a-3b).%5C%5C%0A%2617%E3%80%81(2a%2B3b)(3a-4b).%5C%5C%0A%2618%E3%80%81(3x-2a)(5x-3a).%5C%5C%0A%2619%E3%80%81(2a-5b)(3a%2B4b).%5C%5C%0A%2620%E3%80%81(3a-5b)(4a-11b).%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A%0A%0A%0A%0A$

計(jì)算(21~34)：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%2621%E3%80%81(x%5E2-3y)(x%5E2-5y).%5C%5C%0A%2622%E3%80%81(x%5E2-7y%5E2)(x%5E2%2B4y%5E2).%5C%5C%0A%2623%E3%80%81(a%5E2b%5E2-5)(a%5E2b%5E2%2B7).%5C%5C%0A%2624%E3%80%81(a%5E2bc%2B12)(a%5E2bc%2B14).%5C%5C%0A%2625%E3%80%81(xy%2Bab)(xy-2ab).%5C%5C%0A%2626%E3%80%81(x%5E2%2B3x)(x%5E2%2Bx).%5C%5C%0A%2627%E3%80%81(a-2b)(2a-3b).%5C%5C%0A%2628%E3%80%81(3a%2Bb)(a%2B3b).%5C%5C%0A%2629%E3%80%81(x%5E2-5)(2x%5E2%2B4).%5C%5C%0A%2630%E3%80%81(ax%5E2-7b)(3ax%5E2%2B5b).%5C%5C%0A%2631%E3%80%81(a%2Bb%2B7)(a%2Bb-4).%5C%5C%0A%2632%E3%80%81(x-y-3)(x-y-4).%5C%5C%0A%2633%E3%80%81(a%2Bb-5)%5B3(a%2Bb)%2B2%5D.%5C%5C%0A%2634%E3%80%81%5B2(a-b)%2B7%5D%5B5(a-b)-4%5D.%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A%0A%0A%0A%0A$

【答案】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%2631%E3%80%81%20a%5E2%2B2ab%2Bb%5E2%2B3a%2B3b-28%3B%5C%5C%0A%2632%E3%80%81%20x%5E2-2xy%2By%5E2-7x%2B7y%2B12%3B%5Cquad%5C%5C%0A%2633%E3%80%813a%5E2%2B6ab%2B3b%5E2-13a-13b-10%3B%5C%5C%0A%2634%E3%80%8110a%5E2-20ab%2B10b%5E2%2B27a-27b-28.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

標(biāo)簽：

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【種花家務(wù)·代數(shù)】1-3-10乘法公式『數(shù)理化自學(xué)叢書(shū)6677版』

習(xí)題3-10(1)

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