小姚老師 | 2-1-3 抽象函數(shù)問題

1??單對(duì)稱問題

—、抽象函數(shù)的對(duì)稱性結(jié)論

1. 軸對(duì)稱：

如果函數(shù)y = f(x)滿足若x?+x?/2 =a，就有f(x?) =f(x?)，則f(x)的圖象關(guān)于 x=a 對(duì)稱.

2. 中心對(duì)稱：

若函數(shù)y=f(x)滿足若x?+x?/2=a，就有，f(x?)+f(x?)=b，則f(x)關(guān)于（a,b）對(duì)稱.

3. 函數(shù)圖象的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心結(jié)論（規(guī)律：x系數(shù)相反是對(duì)稱，x系數(shù)相同是周期）

f(x+a) =f(a-x)或f(2a+x) =f(-x)

• f(x)關(guān)于直線 x=a 對(duì)稱（當(dāng)a=0時(shí)，f(x)即為偶函數(shù)，關(guān)于y軸對(duì)稱）

f(a+x)= f(b-x)

• f(x)關(guān)于直線 x=a+b/2 對(duì)稱

f(a+x) +f(a-x) =0

• f(x)關(guān)于（a，0）對(duì)稱（當(dāng)a=0時(shí)，f(x)即為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）

f(a+x)+ f(b-x) =c

• f(x)關(guān)于（a+b/2，c/2）對(duì)稱

注意：若將上述表格中結(jié)論里的x全部換成2x （或3x等等)，結(jié)論不變．例如，若f(2x+a)= f(a-2x)，則仍可得到f(x)關(guān)于直線x=α對(duì)稱.

類型l：單對(duì)稱問題

①x的系數(shù)；②f(…)=f(…)或f(…)+f(…)=c；③相加除以2

【例1】已知函數(shù)y=f(x)滿足f(x)-f(2-x)=0（x ∈R），且在【1，+∞)上為增函數(shù)，則

1是對(duì)稱軸，做個(gè)草圖

A. f(-1) >f(1) >f(2)

B. f(1) >f(2) >f(-1)

C. f(-1) >f(2) >f(1)?

D. f(2) >f(-1) >f(1)

【變式1】己知函數(shù)y= f(x)滿足f(x)+ f(2-x)=0（x∈R），且在【1，+∞）上為增函數(shù)，則

對(duì)稱中心：（1，0），在【1，+∞）上為增函數(shù)，畫圖

A. f(-1) >f(1) >f(2)

B. f(1) >f(2) >f(-1)

C. f(-1) >f(2) >f(1)

D. f(2) >f(1) >f(-1)?

【變式2】已知函數(shù)f(x)滿足f(x) =f(2-x)（x ∈R），若函數(shù)y= |x-1| -f(x)有3個(gè)不同的零點(diǎn)x?，x?，x?，則x?+x?+x? =3.

零點(diǎn)就是方程=0的根，移兩側(cè)變成變成圖像的交點(diǎn)問題。畫圖像找三個(gè)交點(diǎn)。

x?+x?/2=1，x?=1，全部加起來=3

【變式3】已知函數(shù)f(x)滿足f(2-x) =2- f(x)（x ∈R），若f(-1)+ f(0)=4 ，則f(2)+f(3)=0

對(duì)稱中心（1，1），畫圖

f(0)與f(2)跟f(-1)與f(3)

全部相加，題目條件代入

2??抽象函數(shù)常見的周期結(jié)論（括號(hào)內(nèi)x的系數(shù)相同）

后三個(gè)運(yùn)用函數(shù)疊代的思想

雙對(duì)稱的周期結(jié)論（可借助三角函數(shù)輔助理解）：

①如果函數(shù)f(x)有兩條對(duì)稱軸，則f(x)一定是周期函數(shù)，周期為對(duì)稱軸距離的2倍.

②如果函數(shù)f(x)有一條對(duì)稱軸，一個(gè)對(duì)稱中心，則f(x)一定是周期函數(shù)，周期為對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間距離的4倍

③如果函數(shù)f(x)有在同一水平線上的兩個(gè)對(duì)稱中心，則f(x)一定是周期函數(shù)，周期為對(duì)稱中心之間距離的2倍

類型Ⅱ：雙對(duì)稱推周期問題

【例2】偶函數(shù)y= f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，f(3)=3，則f(-1)=3

畫圖，T=4

【變式1】偶函數(shù)f(x)滿足f(2-x) +f(x)=2，且f(4)=-1，則f(0)+f(1)=0

對(duì)稱中心（1，1），T=4

f(0) =f(4) =-1

2018·新課標(biāo)Ⅱ卷

若f(x)是定義域?yàn)椋?∞，+∞）的奇函數(shù)，滿足f(1-x) =f(1+x)，若f(1)=2，則f(1)+ f(2) +… + f(50)=

對(duì)稱中心（0，0），對(duì)稱軸是x=1，T=4，畫圖，前48項(xiàng)都抵消了，f(49)=2，f(50)=0

A. -50

B. 0

C. 2?

D. 50

2021·新高考Ⅱ卷

已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x+2)是偶函數(shù)，f(2x+1)是奇函數(shù)，則下列選項(xiàng)中值一定為0的是

f(x+2)是偶函數(shù)，x=0是對(duì)稱軸

f(x)往左移2個(gè)單位得到f(x+2)

-f(2x+1) =f(-2x+1)

f(-2x+1) +f(2x+1) =0算他的對(duì)稱中心f(x)：（1，0）

T=4，f(1)=0，畫圖

A. f(-1/2)

B. f(-1)?

C. f(2)

D. f(4)

【變式4】奇函數(shù)f(x)滿足f(2+x) +f(-x)=0（x ∈R），若當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)=4x-4x2，則函數(shù)y= f(x) -lgx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為9.

對(duì)稱中心（0，0）和（1，0）

畫圖，f(x) =lgx =g(x)

核心是找到最后一個(gè)交點(diǎn)

也就是f(x)的最大值是1

讓lgx =1，x=10

3??抽象函數(shù)賦值法

條件：已知f(xy)= f(x)f(y)這類關(guān)系式

目標(biāo)：求函數(shù)值，或研究單調(diào)性、奇偶性等函數(shù)性質(zhì)

方法：賦值法

• ①x=常，y=常，f(0)，f(1)…
• ②y=常，x不動(dòng)，f(2x)，f(-x)
• ③y=-x，y=1/x，y=2x，f(1/x)，f(x)
• ④f(x) =lnx，f(x)=0

2023·新高考Ⅰ卷

已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(xy)=y2f(x) +x2f(y)，則

A. f(0)=0?【賦值法】

B. f(1)=0?【f(1) =2f(1)，f(1)=0】

C. f(x)是偶函數(shù)?【讓y=1，f(-x)=f(x) +x2·f(-1)，讓x=y=-1，f(-1)=0，代入上式變成f(-x) =f(x)】

D. x=0為f(x)的極小值點(diǎn)【f(x)=0，無極小值】

4??原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱結(jié)論

①若f(x)有對(duì)稱軸x=a，則f'(x)有對(duì)稱中心（a，0）.

證明：f(x)有對(duì)稱軸x=a →f(a+x)= f(a-x)，兩端求導(dǎo)可得f(a+x) =f(a-x )，所以f'(a+x) +f'(a-x)=0，故f'(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱.

②若f(x)有對(duì)稱中心(a,b)，則f'(x)有對(duì)稱軸x=a.

證明：f(x)有對(duì)稱中心(a,b) →f(a+x) +f(a-x) =2b，兩端求導(dǎo)得f'(a+x) -f'(a-x)=0，所以f '(a+x) =f'(a-x)，故f'(x)關(guān)于直線 x=a對(duì)稱.

③若f'(x)有對(duì)稱軸x=a，則f(x)有對(duì)稱中心（a，b）

證明：f'(x)有對(duì)稱軸x=a →f'(a+x) -f'(a-x) =0，我們把此式看成由某式求導(dǎo)得出，則該式為f(a+x) +f(a-x) =C，令C=2b得f(a+x) +f(a-x) =2b →f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱；

特別地，當(dāng)a=0時(shí)，f'(x)為偶函數(shù)，只能得出f(x)關(guān)于點(diǎn)(0,b)對(duì)稱，不一定是奇函數(shù).

④當(dāng)f‘(x)有對(duì)稱中心（a,b）時(shí)，若b≠0，則f(x)不一定有對(duì)稱軸；若b=0，則f(x)有對(duì)稱軸x=a

證明：f'(x)有對(duì)稱中心(a,b)= f'(a+x)+ f'(a-x)- 2b=0，我們把上式看成由某式求導(dǎo)得出，則該式應(yīng)為f(a+x)- f(a-x)-2bx=C，C為常數(shù)，

在上式中令x =0可得C=0，代入上式整理得：f(a+x)= f(a-x)+2bx，

當(dāng)b=0時(shí)，上式即為f(a+x)= f(a-x)→f(x)有對(duì)稱軸x=a，而當(dāng)b≠0時(shí)，得不出有對(duì)稱軸;

特別地，若a=b=0，即f(x)為奇函數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)此時(shí)f(x)關(guān)于x=0對(duì)稱，為偶函數(shù).

【例4】己知f'(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f(x+1)為奇函數(shù)，設(shè)g(x)= f'(x)，g(4-x) +g(x)=0（x∈R），且f(2)=2，則f(1) +f(2) +…+f(10) =2.

f(x)對(duì)稱中心是（1，0）

g(x)對(duì)稱中心是（2，0），f(x)對(duì)稱軸是x=2

T=4，前八項(xiàng)抵消，f(9)=0，f(10)=2

把h(x) =f(3/2 -2x)，h(-x)=h(x)

f(x)：x=3/2，f'(x)對(duì)稱中心（3/2，0）

g(x+2)，對(duì)稱軸x=2. g(x)=f'(x)對(duì)稱軸x=2

那么f(x)對(duì)稱中心是（2，b）

T=2，畫圖

B：隔了一個(gè)周期，正確

D：g(-1)和g(-4)如圖所示，錯(cuò)誤

A：由于b不確定，無法確定是0，錯(cuò)誤

C：圖像是相同的，并且關(guān)于3/2對(duì)稱，正確