寫在前面

這僅僅是我自己個人的不成熟的理解，希望能幫助大家理解泰勒展開是怎么來的。有問題希望大家能在評論區(qū)友好的指出！

背景知識

“數(shù)學(xué)是按照歷史發(fā)展的順序來學(xué)習(xí)的，而不是按邏輯順序。小學(xué)生對于1和{1}的區(qū)別僅僅是有大括號和沒有大括號。”——小平邦彥（內(nèi)容大概，具體不記得了）

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)總是從具體到抽象。我不知道為什么下面這個公式(1779)為什么出現(xiàn)晚于泰勒展開(1712)，但是我覺得先學(xué)習(xí)這個可以更好理解泰勒展開。

拉格朗日插值公式：

我知道你不會認(rèn)真看它的，你就理解一下它的意思就好了：給你n個點(diǎn)(x,y)，你可以用這個公式找到一個多項(xiàng)式經(jīng)過這n個點(diǎn)。

就比如：

請你將x1代入f(x)看看發(fā)生了什么(請你拿起筆自己算一下，看看發(fā)生了什么，雖然我知道你大概是不會算的，但我還是建議你算一下，你會對這個公式有充分的理解)

我們就會發(fā)現(xiàn)，f(x1)=y1，進(jìn)而我們就大概知道了：這個公式可以幫助我們找到一個多項(xiàng)式，它經(jīng)過這n個點(diǎn)（重復(fù)一遍加深記憶）。

光滑

打開幾何畫板，畫一條直線，它很光滑，不同于我們用小尺子畫的直線會抖一抖：

然后我們畫一些多項(xiàng)式的圖像它也很光滑：

我們大概都學(xué)過高中物理，會讓我們用“光滑的”曲線連起來我們要的那幾個點(diǎn)，但我們貌似可以畫出許多條出來，事實(shí)上它光滑嗎？

請看下面的這個圖（你要看題那我能說什么）：

你怎么知道A是哪條，B是哪條，請問為什么B不是一直處在上面的那條：

很明顯啊它非常不光滑，中間斷開拼一起一樣非常難受，actually，給你一小段曲線，你只能補(bǔ)出一條光滑的曲線來：

比如給你一條線段，你肯定只能補(bǔ)出一整條直線，有人會說：絕對值函數(shù)呢？

請問你在P點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是多少？

貌似從左邊算是-1，右邊算是1，難道是0嗎？肯定不是啊，這個點(diǎn)就不可導(dǎo)，或者說它的導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，說明它沒這么光滑(*)

所以我們大概知道：給你一小段，因?yàn)楣饣脑拰?dǎo)數(shù)要連續(xù)啊，進(jìn)而，二階導(dǎo)也要連續(xù)，三階導(dǎo)也要連續(xù)，，，你就能畫出整個光滑的曲線出來

泰勒展開

接下來我們運(yùn)用上面加粗這句話來解釋泰勒展開。

我給你一段你能知道這個點(diǎn)所有階導(dǎo)函數(shù)吧，然后你要一個函數(shù)它在這個點(diǎn)不僅函數(shù)值要和它相等，而且二階導(dǎo)也要相等，，，

所以就有了：

請你現(xiàn)在干三件事情：

1. 這個式子右邊是什么類型的代數(shù)式？請想清楚為什么它只是一個多項(xiàng)式

2. 請求一下在x0處，右邊式子的導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)，三階導(dǎo)，并對比左邊的導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)，三階導(dǎo)，思考我為什么背景知識要給你拉格朗日插值公式（這個時候如果你沒算過請回去再算一遍，感受異曲同工之妙）

3. 請你在x0=0時展開一下y=x（笑）

4. 請你再想想：為什么沒有絕對值函數(shù)的展開

后記

我寫這篇文章就是覺得數(shù)學(xué)很多東西都是相通的，這才是很多時候數(shù)學(xué)美的地方，希望大家都能體會這種快樂。你當(dāng)然高考的時候可能只用了泰勒展開的二階展開或者根本不會用到它，但這也是數(shù)學(xué)的一部分。嚴(yán)密的邏輯讓數(shù)學(xué)井然有序，不論從什么角度去看都是對的，認(rèn)識到這點(diǎn)你會更加對知識有敬畏之心，而不是只是會泰勒展開這個名詞而已。