麥克斯韋方程組3.由積分到微分

2021-10-04 10:41 作者:空山泠語 0人讀過 | 我要投稿

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 1.小結(jié)

? ? ? ?在前面的兩篇文章中，我們已經(jīng)對麥克斯韋方程組的積分形式進(jìn)行了簡單的介紹，相信大家也已經(jīng)對這組偉大的方程有了一個初步的認(rèn)識和了解了，在文章前頭，我們先來“復(fù)盤”一下前面的內(nèi)容吧！

? ? ? ? 麥克斯韋方程組是系統(tǒng)描述電磁場物理規(guī)律的一組方程，分別是靜電、靜磁、磁生電、電生磁方程，其中，靜電、靜磁方程是兩個高斯定律，反映了能量在三維空間內(nèi)傳遞的平方反比性質(zhì)，而磁生電、電生磁兩個方程，一個源于法拉第，由麥克斯韋整理得到數(shù)學(xué)形式，是四個方程中對人類影響最大的一個，一個則以安培環(huán)路定理為原型，麥克斯韋憑借驚人的物理直覺在后面加上了－個修正項，自此，變化的磁場能感生出電場，變化的電場亦能感生出磁場，電磁江湖從此大一統(tǒng)，理解它們的核心首先是通量這一物理量，在四個方程中，無一不出現(xiàn)它的影子，通量定量描述了通過一個曲面場線的多少，它的改變是發(fā)生電生磁、磁生電現(xiàn)象的根本原因

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? $%5Coint_%7BS%7D%5E%7B%7D%20%5Cvec%7BE%7D%20%5Ccdot%20%5Cvec%7BdS%7D%20%EF%BC%9D%5Cfrac%7BQ%20%7D%7B%5Cvarepsilon%20_%7B0%7D%20%7D%20$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?電場高斯定律

? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? $%5Coint_%7BS%7D%5E%7B%7D%20%5Cvec%7BB%7D%20%5Ccdot%20%5Cvec%7BdS%7D%20%EF%BC%9D0$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 磁場高斯定律

? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? $%5Coint_%7BL%7D%5E%7B%7D%20%5Cvec%7BE%7D%20%5Ccdot%20%5Cvec%7Bdl%7D%20%EF%BC%9D-%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D%20%5Cint_%7B%7D%5E%7B%7D%20%5Cvec%7BB%7D%20%5Ccdot%20%5Cvec%7BdS%7D%20$ ? ? ? ?法拉第電磁感應(yīng)定律

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? $%5Coint_%7BL%7D%5E%7B%7D%20%5Cvec%7BB%7D%20%5Ccdot%20%5Cvec%7Bdl%7D%20%EF%BC%9D%5Cmu%200%EF%BC%88I%EF%BC%8B%5Cvarepsilon%20_%7B0%7D%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D%20%5Cint_%7B%7D%5E%7B%7D%20%5Cvec%7BE%7D%20%5Ccdot%20%5Cvec%7BdS%7D%20%EF%BC%89$ 安培環(huán)路定理

? ? ? ? ?看到這四個（特別是后面兩個）冗長的公式，相信不只是我－個嘆它“攜帶不便”，幾百年前的那些物理學(xué)家也不例外，他們也都是懶人，于是乎，他們拿著－個神器對著麥克斯韋方程組一通篡改，最終得到的可就比上面那個簡略多了（但是在簡化的過程中用了很多數(shù)學(xué)知識和奇葩符號，這也是很多人覺得麥克斯韋方程組晦澀難懂的原因---他們先看了微分形式），建議大家理解了積分形式后，再來看微分形式。

? ? ? 2.麥克斯韋方程組的形式改造

? ? ? ? ??在積分形式中，我們已經(jīng)習(xí)慣了從局部到整體的分割-求和思想，而在微分形式這里，我們則要換種思維方式，微分微分，顧名思義，就是把一個整體系統(tǒng)無限分割，再對一個個“系統(tǒng)元”進(jìn)行必要的近似處理，對它的性質(zhì)進(jìn)行研究（微分的準(zhǔn)確定義可不是這個哦），在這里，我們先拿電場高斯定律“開刀”。

? ? ? ? ? ? 首先，我們已經(jīng)知道了電場高斯定律的內(nèi)容：一個封閉曲面的電通量正比于該曲面內(nèi)包含的電荷量，現(xiàn)在，我讓這個曲面變得很小很小，小至接近零，這時我再去用電荷量Q就顯得不太合適了，于是仿照密度的概念，物理學(xué)家們定義了一個新的物理量：電荷密度ρ，它表示曲面單位體積包含的電荷量，即 $%5Crho%20%EF%BC%9D%5Cfrac%7BQ%7D%7BV%7D%20$ ，是不是和質(zhì)量密度特別像呢？

? ? ? ? ? 然后，我們就要在式子兩邊同除個體積V得到它，而這個體積又是個趨于零的小量，所以我們用極限符號 $%5Clim_%7BV%5Cto0%7D%20V$ 來表示這個體積，lim是極限limit的縮寫，而V→0則直觀形象地表示體積V趨近于0（這個量比所有你能說出的正實數(shù)都小，你說一個我能比你小，再說一個也能…但我就是不為零，這就是這個極限），將電場高斯定律除以體積后，右邊的電荷量Q直接變成電荷密度ρ，整個式子則變成這樣： $%5Clim_%7BV%5Cto0%7D%20%5Cfrac%7B%5Coint_%7BS%7D%5E%7B%7D%20%5Cvec%7BE%7D%5Ccdot%20%5Cvec%7BdS%7D%20%20%7D%7BV%7D%20%EF%BC%9D%5Cfrac%7B%5Crho%20%7D%7B%5Cvarepsilon%20_%7B0%7D%20%20%7D%20$

? ? ? 可能有人會說：這左邊不被你弄得越來越長了嗎，哪里簡化了…別急，針對左邊這一串東西，物理學(xué)家們給了它一個新名字：電場E的散度，因為散度的英文單詞開頭為div三個字母，所以我們用一個新符號：div（E）表示電場的散度： $div%EF%BC%88%5Cvec%7BE%7D%20%EF%BC%89%EF%BC%9D%5Cfrac%7B%5Crho%20%7D%7B%5Cvarepsilon%20_%7B0%7D%20%20%7D%20$ ，但是這里有一個問題，你式子雖說簡化了，但你計算麻煩了啊，首先我要對通量積分，然還要除以個無窮小體積，不把人弄瘋才怪了！這不簡化了個寂寞嗎？

? ? ??

? ?3.多元函數(shù)：從單打獨斗到群魔亂舞

? ? ?雖說定義是這樣，誰說計算一定要用它呢，我們可以另尋與其等價的方式方便快捷地計算電場的散度

? ? ? 在此之前，我們先看一個看似與散度“八竿子打不著”的東西：多元函數(shù)

? ? ? 在中學(xué)階段，我們基本上都是在學(xué)習(xí)單元函數(shù)，這里的“元”指自變量，單元函數(shù)指只有單個自變量的函數(shù)，像 $f%EF%BC%88x%EF%BC%89$ 、 $g%EF%BC%88x%EF%BC%89$ 這種都是單元函數(shù)，那多元函數(shù)應(yīng)該就不用說了吧，它指有兩個或兩個以上自變量的函數(shù)，表示起來可以是 $f%EF%BC%88x%EF%BC%8Cy%EF%BC%89$ ，也可以是 $f%EF%BC%88x%EF%BC%8Cy%EF%BC%8Cz%EF%BC%89$ …甚至更多，它們的圖像也是不一樣的，比如說二元函數(shù)，它在空間坐標(biāo)系x-Oyz上的圖像就不是單元函數(shù)的曲線，而是一個曲面。舉個例子，如果我在五岳之首---泰山腳下建立一個空間坐標(biāo)系用以描述它的高度，那么泰山的“輪廓”就是我需要的二元函數(shù)的曲面圖像，這個空間圖像上某一點的高度z值需要x、y兩個變量來確實，這樣我就說高度z是x、y的二元函數(shù)： $z%EF%BC%9Df%EF%BC%88x%EF%BC%8Cy%EF%BC%89$

? ? ? ? 在世間萬物變化的快慢：導(dǎo)數(shù)中，我們已經(jīng)了解了描述單元函數(shù)的一個重要的量---導(dǎo)數(shù)，它的定義是當(dāng)單元函數(shù)某個點自變量增加一個很小的 $%5CDelta%20x$ 后，因變量增量與自變量增量的比值的極限，用極限語言表述為： $f%E2%80%99%EF%BC%88x%EF%BC%89%EF%BC%9D%5Clim_%7B%5CDelta%20x%5Cto0%7D%20%5Cfrac%7B%5CDelta%20y%7D%7B%5CDelta%20x%7D%20%EF%BC%9D%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%20$ ，某點的導(dǎo)函數(shù)值等于過這個點函數(shù)圖像切線的斜率k的值： $%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%20%5Cvert%20_%7Bx%EF%BC%9Dx_%7B0%7D%20%7D%20%EF%BC%9Dk_%7Bx_%7B0%7D%20%7D%20$

? ??

? ? ? ? ?那單元函數(shù)的變化可以用導(dǎo)數(shù)描述，那多元函數(shù)的變化可以用什么描述呢？

? ? ? 還是回到上面泰山那個例子，如果我保持我函數(shù)x的值不動，只動它y軸，那么我任意選一個x當(dāng)常數(shù)，畫出來z關(guān)于y函數(shù)的圖像的形狀應(yīng)該都是一樣的，也就是說，它們的導(dǎo)數(shù)是一樣的，也可以將他理解為自上而下沿著平行于y軸的方向把泰山“切”成兩半，只要我的刀和y軸是平行的，刀口橫截面的形狀也應(yīng)該是一樣的。同樣的方法也可以對x軸用一次，也有這個規(guī)律，這樣我們就找到了描述多元函數(shù)變化的方法：分別令x、y為常量，再分別對z求一次導(dǎo)，這兩個導(dǎo)數(shù)有一個新名字：偏導(dǎo)數(shù)，分別用 $%5Cfrac%7B%E2%88%82z%7D%7B%E2%88%82x%7D%20%E5%92%8C%5Cfrac%7B%E2%88%82z%7D%7B%E2%88%82y%7D%20$ 表示，再舉個求偏導(dǎo)的例子，我們要求函數(shù) $f%EF%BC%88x%EF%BC%8Cy%EF%BC%89%EF%BC%9D3x%EF%BC%8B6y$ 的偏導(dǎo)，我們先將6y視為常量，因為常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零，而一次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是它的一次項系數(shù)，所以： $%5Cfrac%7B%E2%88%82z%7D%7B%E2%88%82x%7D%20%EF%BC%9D3$ ，我們再將x視為常數(shù)，來一次相似的過程，這樣我們就得到了這個二元函數(shù)在y方向上的偏導(dǎo)數(shù)： $%5Cfrac%7B%E2%88%82z%7D%7B%E2%88%82y%7D%20%EF%BC%9D6$ ，這個 $%E2%88%82$ 符號我們就稱之為偏微分符號，與單元函數(shù)中的常微分符號“d”相對應(yīng)，有了偏導(dǎo)數(shù)這一工具，我們很容易得到相應(yīng)微元的變化關(guān)系：不就是沿y軸上偏z的增量與x軸上偏z的增量之和嘛！寫出來就是這個式子：

$dz%EF%BC%9D%5Cfrac%7B%E2%88%82z%7D%7B%E2%88%82x%7D%20dx%EF%BC%8B%5Cfrac%7B%E2%88%82z%7D%7B%E2%88%82y%7D%20dy$ ，這個式子在高等數(shù)學(xué)中稱之為全微分定理。

? ? ? ? ? 既然分析電磁場是要對矢量進(jìn)行分析，如果我把右邊的那些量視為矢量點乘的形式呢： $dz%EF%BC%9D%EF%BC%88%5Cfrac%7B%E2%88%82z%7D%7B%E2%88%82x%7D%20%5Cvec%7Be%7D%20%EF%BC%89%5Ccdot%20%5Cvec%7Bdx%7D%20%EF%BC%8B%EF%BC%88%5Cfrac%7B%E2%88%82z%7D%7B%E2%88%82y%7D%20%5Cvec%7Be%7D%20%EF%BC%89%5Ccdot%20%5Cvec%7Bdy%7D%20$ （ $%5Cvec%7Be%7D%20$ 為單位矢量，相當(dāng)于 $%5Cvec%7B1%7D%20$ ），那么我的全微分定理還可以這樣寫： $dz%EF%BC%9D%EF%BC%88%5Cfrac%7B%E2%88%82z%7D%7B%E2%88%82x%7D%5Cvec%7Be%7D%20%EF%BC%8B%20%5Cfrac%7B%E2%88%82z%7D%7B%E2%88%82y%7D%20%5Cvec%7Be%7D%20%EF%BC%89%5Ccdot%20%EF%BC%88%5Cvec%7Bdx%7D%20%EF%BC%8B%5Cvec%7Bdy%7D%20%EF%BC%89$ ，那這樣做的合理性何在呢？首先我們可以假設(shè)四個矢量 $%5Cvec%7Ba%7D%20%E3%80%81%5Cvec%7Bb%7D%20%E3%80%81%5Cvec%7Bc%7D%E3%80%81%20%5Cvec%7Bd%7D%20$ ，其中a矢量與c矢量指向y軸正方向，b矢量和d矢量指向x軸正方向（相當(dāng)于兩個矢量正交分解），根據(jù)矢量點乘的分配律，那對這兩個被分解的矢量的點積，與我就可以理所當(dāng)然地寫為 $%EF%BC%88%5Cvec%7Ba%7D%EF%BC%8B%20%5Cvec%7Bb%7D%EF%BC%89%5Ccdot%20%EF%BC%88%20%5Cvec%7Bc%7D%20%EF%BC%8B%5Cvec%7Bd%7D%20%EF%BC%89%EF%BC%9D%5Cvec%7Ba%7D%5Ccdot%20%20%5Cvec%7Bc%7D%20%EF%BC%8B%5Cvec%7Bb%7D%5Ccdot%20%20%5Cvec%7Bd%7D%20$ （因為兩個垂直的矢量點乘結(jié)果為零），這個結(jié)論大家可以試著證明一下。

? ? ? ? 這樣如果我把 $%5Cfrac%7B%E2%88%82z%7D%7B%E2%88%82x%7D%20%5Cvec%7Be%7D%20$ 和 $%5Cfrac%7B%E2%88%82z%7D%7B%E2%88%82y%7D%20%5Cvec%7Be%7D%20$ 視為矢量a和矢量b， $%5Cvec%7Bdx%7D%20$ 和 $%5Cvec%7Bdy%7D%20$ 視為矢量c和矢量d，對它們進(jìn)行點乘就能得到全微分定理的表達(dá)式。既然dx、dy都確定了，那變化的dz什么時候最大呢？，因為 $%5Ccos%20x%20%5Cin%20%EF%BD%9B-1%EF%BC%8C1%EF%BD%9D$ ，所以當(dāng)cosx＝1，即兩個矢量同向時，dz取到最大，那左邊那兩個偏微商的“矢量和”也取到最大，這時我們就可以召喚出那神秘的倒三角符號“▽”了： $%E2%96%BDz%EF%BC%9D%5Cfrac%7B%E2%88%82z%7D%7B%E2%88%82x%7D%20%5Cvec%7Be%7D%20%EF%BC%8B%20%5Cfrac%7B%E2%88%82z%7D%7B%E2%88%82y%7D%20%5Cvec%7Be%7D%20$ ，它有一個獨特的名字：梯度，它表示了一個標(biāo)量函數(shù)變化（遞增）最快的方向，還是用上文泰山那個例子：你在泰山上坡上找一個最陡的點，這個點的切線正方向（斜向上）就是泰山梯度的方向，這個切線的斜率則表征梯度的大小。

? ? ? 4.進(jìn)擊的“del”巨人

??在上面那個梯度的式子中，大家有沒有發(fā)現(xiàn)好像它是由“▽”與z相乘一樣呢？我們把z提出來看看，就能得到一個奇怪的東西： $%E2%96%BD%EF%BC%9D%5Cfrac%7B%E2%88%82%7D%7B%E2%88%82x%7D%5Cvec%7Be%7D%20%EF%BC%8B%20%5Cfrac%7B%E2%88%82%7D%7B%E2%88%82y%7D%20%5Cvec%7Be%7D%20$ ，這個倒三角符號在就是我們今天的主角：哈密頓算子（亦稱矢量微分算子、del算子等），也就是說，你把▽算子作用在一個函數(shù)上，他就會給你相應(yīng)的效果，我們來看看del算子的作用方式：

（1）.▽以“相乘”的方式作用在一個標(biāo)量函數(shù)上（▽z），得到的是一個梯度矢量

（2）.▽以“點乘”的方式作用在一個矢量函數(shù)上（▽?z），得到的是一個散度標(biāo)量

（3）.▽以“叉乘”的方式作用在一個矢量函數(shù)上（▽×z），得到的是一個旋度矢量

? ? ? ? ?我們可以，看到在哈密頓算子這里也有一個散度，那這個散度和前面電磁場的那個散度是等價的嗎？

? ? ? ? ?我可以告訴大家，這兩個從不同途徑得到的散度確實是等價的。怎么證明呢，首先可以將一個封閉曲面“切”成無數(shù)個微元體積，我們?yōu)榱朔奖闾幚磉@些體積，把它們視為在x軸、y軸、z軸變化（也就是長寬高）分別為dx、dy、dz的立方體，立方體中 $%EF%BC%88x_%7B0%7D%20%EF%BC%8Cy_%7B0%7D%20%EF%BC%8Cz_%7B0%7D%20%EF%BC%89$ 處存在一點電荷，形成電場 $%5Cvec%7BE%7D%20%EF%BC%9Df%EF%BC%88x%EF%BC%8Cy%EF%BC%8Cz%EF%BC%89$ ，因為dx、dy、dz都很小，那這個電場在x方向上的通量可以寫成： $%5CPhi%20_%7Bx%7D%20%EF%BC%9D%EF%BD%9Bf%EF%BC%88x_%7B0%7D%20%EF%BC%8Bx_%7B1%7D%20%EF%BC%8Cy%EF%BC%8Cz%EF%BC%89-f%EF%BC%88x_%7B0%7D-x_%7B2%7D%EF%BC%8Cy%EF%BC%8Cz%20%EF%BC%89%20%EF%BD%9Ddydz$

（x1＋x2＝dx），而這兩個函數(shù)值之差又能表示x（立方體一側(cè)）和x＋dx（立方體另一側(cè)）處的函數(shù)值之差，我們用同樣的方法也可以把y、z方向的總通量表示出來。最后把這三個通量加一加除以體積dxdydz時，我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)最后的結(jié)果恰好是電場E在x、y、z上三個偏導(dǎo)數(shù)的和： $div%EF%BC%88%5Cvec%7BE%7D%20%EF%BC%89%EF%BC%9D%5Cfrac%7B%E2%88%82%5Cvec%7BE%7D%20%7D%7B%E2%88%82x%7D%EF%BC%8B%20%5Cfrac%7B%E2%88%82%5Cvec%7BE%7D%20%7D%7B%E2%88%82y%7D%20%EF%BC%8B%5Cfrac%7B%E2%88%82%5Cvec%7BE%7D%20%7D%7B%E2%88%82z%7D%20$ ，我們再將上面的▽?E換成三維的形式展開，會發(fā)現(xiàn)結(jié)果也是一樣的，而一個曲面可以視作是由很多個這種體積元構(gòu)成的，這樣我說它們是等價的，大家還有異議嗎？

? ? ? ? ? ?那么這個散度表達(dá)的是什么呢？從字面上來看，“散度”應(yīng)該表示某點“散開”的程度，實際上也是半斤八兩：它描述了場源向外界矢量流出的“劇烈程度”，如果在點電荷邊取一個點，那么流入這個點的電場應(yīng)該等于流出的（穿入的電場線與穿出的數(shù)目相等），所以整體流出為零，這個點的散度就應(yīng)該為零。

? ? ? ? ? ?如果我把這個點取到電荷上呢？那這個點就變成了流出不為零，流入為零，或流出為零，流入不為零的情況（正電荷和負(fù)電荷），這時這個點的散度就不為零了（為正或為負(fù)）。

? ? ? ?電場是這樣，磁場可就不一樣了！自然界中目前并沒有發(fā)現(xiàn)什么磁荷和磁單極子，所以不管你把這個點取到空間異于吸鐵石上的一點，還是把這個點取到吸鐵石上，流入和流出的磁感線數(shù)目應(yīng)該都是相等的，所以我們便直觀地得到了：磁場的散度恒為零 $%E2%96%BD%5Ccdot%20%5Cvec%7BB%7D%20%EF%BC%9D0$

?? ? 5.旋度

? ? ?? 到這里，我們已經(jīng)完成了對兩大高斯定律的微分化改造：電場的散度正比于曲面的電荷密度、磁場的散度恒為零，即 $%E2%96%BD%5Ccdot%20%5Cvec%7BE%7D%20%EF%BC%9D%5Cfrac%7B%5Crho%20%7D%7B%5Cvarepsilon%20_%7B0%7D%20%7D%20$ 和 $%E2%96%BD%5Ccdot%20%5Cvec%7BB%7D%20%EF%BC%9D0$ ，那后面的電生磁、磁生電的定律要怎么改呢？

? ? ? 和靜電、靜磁的思路一樣，我們可以先把面積S縮到一個極其小的一個值，兩邊便成了這樣： $%5Clim_%7BS%5Cto0%7D%20%5Cfrac%7B%5Coint_%7BL%7D%5E%7B%7D%20%5Cvec%7BE%7D%5Ccdot%5Cvec%7Bdl%7D%20%20%20%7D%7BS%7D%20%EF%BC%9D-%5Cfrac%7B%E2%88%82%5Cvec%7BB%7D%20%7D%7B%E2%88%82t%7D%20$ ，這樣我們已經(jīng)把式子的右邊搞定了，關(guān)鍵是左邊接下來該怎么化簡呢？這里我們就要用到▽算子的另一個作用方式：旋度。電場的旋度用哈密頓算子寫作 $%E2%96%BD%5Ctimes%20%5Cvec%7BE%7D%20$ ，那我們也就知道它的大小： $%E2%96%BD%5Ctimes%20%5Cvec%7BE%7D%20%EF%BC%9D%5Cfrac%7B%E2%88%82%5Cvec%7BE%7D%20%7D%7B%E2%88%82y%7D%20%5Cvec%7Be%7D%20%5Ctimes%20%5Cvec%7Bdx%7D%20%20%EF%BC%8B%5Cfrac%7B%E2%88%82%5Cvec%7BE%7D%20%7D%7B%E2%88%82x%7D%5Cvec%7Be%7D%20%20%5Ctimes%20%5Cvec%7Bdy%7D%20$ ，再可以將 $%5Cvec%7Bdl%7D%20$ 展開為含x、y的形式，感興趣的朋友可以仿照上面證明散度等價的方式自行證明，在這里我直接說結(jié)果吧！它們兩個也是等價的。類似的思路再放到安培環(huán)路定理上面也是適用的，最后得到的安培環(huán)路定理： $%E2%96%BD%5Ctimes%20%5Cvec%7BB%7D%20%EF%BC%9D%5Cmu%20_%7B0%7D%20%EF%BC%88%5Cvec%7BJ%7D%20%EF%BC%8B%5Cvarepsilon%20_%7B0%7D%20%5Cfrac%7B%E2%88%82%5Cvec%7BE%7D%20%7D%7B%E2%88%82t%7D%20%EF%BC%89$ ，這個J呢是電流除以面積得到的一個量，由于面積是一個矢量，所以J也應(yīng)該是個矢量，它就叫做電流密度矢量，大家只要不與質(zhì)量密度和電荷密度的“除以體積”弄混就行啦！

? ? ? ?那“旋度”curl到底表示了什么呢？它表示了矢量環(huán)流的強弱和方向（注意：旋度是有方向的！它的方向用“右手螺旋定則”判定），為了方便判斷，我們可以拿一個很小的“尋龍尺”放在矢量場的各處，若它能轉(zhuǎn)動，則這個點的旋度不為零，根據(jù)角速度方向運用右手螺旋定則可以判定旋度的方向，若它不能轉(zhuǎn)動，則這個點的旋度為零。

? ? ? ??6.結(jié)語

?? ?自此，我們便實現(xiàn)了由積分到微分的“大躍進(jìn)”，使原本冗長的積分方程轉(zhuǎn)化為短小精悍的微分方程：（積分形式復(fù)雜但形象，微分形式簡潔但抽象）

$%E2%96%BD%5Ccdot%20%5Cvec%7BE%7D%20%EF%BC%9D%5Cfrac%7B%5Crho%20%7D%7B%5Cvarepsilon%20_%7B0%7D%20%7D%20$ ? ? ? ??? 電場高斯定律? ? ? ?? $%E2%96%BD%5Ccdot%20%5Cvec%7BB%7D%20%EF%BC%9D0$ ? ? ? ? 磁場高斯定律

$%E2%96%BD%5Ctimes%20%5Cvec%7BE%7D%20%EF%BC%9D-%5Cfrac%7B%E2%88%82%5Cvec%7BB%7D%20%7D%7B%E2%88%82t%7D%20$ ? ?法拉第電磁感應(yīng)定律? ? ? $%E2%96%BD%5Ctimes%20%5Cvec%7BB%7D%20%EF%BC%9D%5Cmu%20_%7B0%7D%20%EF%BC%88%5Cvec%7BJ%7D%20%EF%BC%8B%5Cvarepsilon%20_%7B0%7D%20%5Cfrac%7B%E2%88%82%5Cvec%7BE%7D%20%7D%7B%E2%88%82t%7D%20%EF%BC%89$ 安培環(huán)路定理

是不是簡潔很多了呢？其實在“十大偉大公式”評選中，麥克斯韋方程組曾一度超過勾股定理、相對論質(zhì)能方程、歐拉公式等，位居榜首。這也充分說明了其里程碑意義的價值，上統(tǒng)一了電磁場，下表征了經(jīng)典電磁學(xué)與經(jīng)典力學(xué)的矛盾性，為狹義相對論等理論的誕生埋下了伏筆，可謂“承上啟下”。在麥克斯韋去世的那年，另一個物理奇才---愛因斯坦降生了，從此歷史的接力棒交給了新一代，那經(jīng)典力學(xué)和經(jīng)典電磁學(xué)的矛盾何在呢？這個故事，就得從頭說起了…

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