4、什么是戈德爾證明？戈德爾證明是否說明真理是不可得知的？

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從歐幾里得（2200年前）以來，數(shù)學(xué)家一般都是從某些稱為“公理”的陳述出發(fā)，推導(dǎo)出各種有用的結(jié)論。
從某種意義上說，這幾乎就像是一種必須遵守兩條規(guī)則的游戲。

第一，公理應(yīng)當(dāng)盡量少。如果你能從某一條公理推導(dǎo)出另一條公理，所么，所推導(dǎo)出的那條公理就不能作為公理。

第二，公理必須是沒有內(nèi)在矛盾的。絕不允許從某一公理推導(dǎo)出兩個(gè)相互矛盾的結(jié)論。
任何一本中學(xué)幾何課本都要先列出一組公理：

通過兩點(diǎn)只能作一條直線；整體等于各個(gè)部分之和，等等。在很長一段時(shí)間內(nèi)，人們都把歐幾里得的公理看作是唯一可用來建立沒有內(nèi)在矛盾的幾何學(xué)的公理，從而把這些公理看作是“真公理”。

但是，到了十九世紀(jì)，有人證明了歐幾里得的公理是可以用某些方式來加以改變的，因而可以建立另外一種不同的幾何學(xué)，即“非歐幾里得幾何學(xué)”。這兩種幾何學(xué)雖然各不相同，但每一種幾何學(xué)都不具有內(nèi)在矛盾。從此以后，人們?nèi)绻獑柲囊环N幾何學(xué)是真幾何學(xué)，就沒有意義了。如果要問，就只能問哪一種幾何學(xué)更有用些。

事實(shí)上，我們可以用許多組公理來建立幾種各不相同但又各自并不具有內(nèi)在矛盾的數(shù)學(xué)體系。

在任何一種這樣的數(shù)學(xué)體系中，你都必定不可能根據(jù)它的公理推導(dǎo)出既是如此又非如此的結(jié)論，因?yàn)槿绻@樣的話，這個(gè)數(shù)學(xué)體系就不可能不具有內(nèi)在矛盾，就會(huì)遭到淘汰。

但是，倘若你能做出一種陳述，并且發(fā)現(xiàn)你不能證明它既是如此又非如此的話，又將怎么樣呢？

假如我說：“我現(xiàn)在所說的是假話”。

是假話嗎？如果是假話，那么，我在說假話這件事就是假的了，因此，我必定在說真話。如果我在說真話，那么我在說假話這件事就是真的了，因此，我確實(shí)在說假話。我可以永無休止地來回這樣說，結(jié)果，將永遠(yuǎn)無法證明我所說的到底是如此，還是并非如此。

假如你能對(duì)這些邏輯公理進(jìn)行調(diào)整，以排除上面所說的這種可能性，那么，你能不能找到另外的方法來做出這樣一種既是如此，又非如此的說法？

1931年，一位奧地利數(shù)學(xué)家戈德爾終于提出一個(gè)有力的證明，他指出，對(duì)于任何一組公理，你都能做出既不能根據(jù)這些公理來證明事實(shí)確是如此，也不能根據(jù)這些公理來證明事實(shí)確非如此的說法。從這個(gè)意義上講，任何人都不可能建立出一種可以憑此推導(dǎo)出一個(gè)完美無缺的數(shù)學(xué)體系的公理。

這是不是意味著我們永遠(yuǎn)不可能找到“真理”呢？當(dāng)然不是的。

第一，因?yàn)橐环N數(shù)學(xué)體系不完美，并不意味著它所包含的東西是“假的”。如果我們不想超出這樣的數(shù)學(xué)體系的限度來應(yīng)用它，它就仍然是極其有用的。

第二，戈德爾證明只適用于數(shù)學(xué)中所應(yīng)用的那幾種演繹體系。但是演繹并不是發(fā)現(xiàn)“真理”的唯一辦法。任何公理都不能幫助我們?nèi)ネ茖?dǎo)出太陽系的大小。太陽系的大小是通過觀察和測(cè)量而得出的——觀測(cè)是得到“真理”的另一途徑。

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