ZFC公理(或任何其他集合T理論，就此而言)是不完整的。我們怎么知道的？通過“建造”ZFC的模型。因此，在ZFC的元理論中，我們可以討論(并研究)集合論的多元宇宙。 集合論的宇宙是一種特殊的對(duì)象。多元宇宙理論的主要任務(wù)是不僅提供集合的解釋，還提供宇宙的解釋(這意味著我們的理論應(yīng)該有目的地設(shè)計(jì)成也包含宇宙的描述)。 比較以下兩種主要策略: ZFC公理(或任何其他集合T理論，就此而言)是不完整的。我們怎么知道的？通過“建造”ZFC的模型。因此，在ZFC的元理論中，我們可以爭論(并研究)集合論的多元宇宙。 集合論的宇宙是一種特殊的對(duì)象。多元宇宙理論的主要任務(wù)是不僅提供集合的解釋，還提供宇宙的解釋(這意味著我們的理論應(yīng)該有目的地設(shè)計(jì)成也包含宇宙的描述)。 比較以下兩種主要策略: ZFC公理(或任何其他集合T理論，就此而言)是不完整的。我們怎么知道的？通過“建造”ZFC的模型。因此，在ZFC的元理論中，我們可以爭論(并研究)集合論的多元宇宙。 集合論的宇宙是一種特殊的對(duì)象。多元宇宙理論的主要任務(wù)是不僅提供集合的解釋，還提供宇宙的解釋(這意味著我們的理論應(yīng)該有目的地設(shè)計(jì)成也包含宇宙的描述)。 集合的概念是充分確定的，以生成結(jié)構(gòu)(V，∈),以及“描述”它的公理集合(ZFC)。 此外，集合的所有性質(zhì)沒有被ZFC唯一地闡明(通過集合的概念)‘共存于’V([V??n?nen,2014]). 因此，就“ZFC以外的真理”而言，可以說V繼承了集合概念的不確定性。 設(shè)Vmult是所有V的集合，使得它們中的每一個(gè)都滿足ZFC，并且每一個(gè)在“邊緣”都不同于另一個(gè)。 我們多元宇宙理論的目的是cisely Vmult 我們多元宇宙理論的目的是ciselytodescribeVmult. 特爾努洛·德切利 加 The V -logic Multiverse 集合的概念是充分確定的，以生成結(jié)構(gòu)(V，∈),以及“描述”它的公理集合(ZFC)。 此外，集合的所有性質(zhì)沒有被ZFC唯一地闡明(通過集合的概念)‘共存于’V([V??n?nen,2014]). 因此，就“ZFC以外的真理”而言，可以說V繼承了集合概念的不確定性。 設(shè)Vmult是所有V的集合，使得它們中的每一個(gè)都滿足ZFC，并且每一個(gè)在“邊緣”都不同于另一個(gè)。 我們多元宇宙理論的目的是ciselytodescribeVmult. 特爾努洛·德切利 加 The V -logic Multiverse 集合的概念是充分確定的，以生成結(jié)構(gòu)(V，∈),以及“描述”它的公理集合(ZFC)。 此外，集合的所有性質(zhì)沒有被ZFC唯一地闡明(通過集合的概念)‘共存于’V([V??n?nen,2014]). 因此，就“ZFC以外的真理”而言，可以說V繼承了集合概念的不確定性。 設(shè)Vmult是所有V的集合，使得它們中的每一個(gè)都滿足ZFC，并且每一個(gè)在“邊緣”都不同于另一個(gè)。 集合的概念是充分確定的，以生成結(jié)構(gòu)(V，∈),以及“描述”它的公理集合(ZFC)。 此外，集合的所有性質(zhì)沒有被ZFC唯一地闡明(通過集合的概念)‘共存于’V([V??n?nen,2014]). 因此，就“ZFC以外的真理”而言，可以說V繼承了集合概念的不確定性。 設(shè)Vmult是所有V的集合，使得它們中的每一個(gè)都滿足ZFC，并且每一個(gè)在“邊緣”都不同于另一個(gè)。 我們多元宇宙理論的目的是cisely Vmult HP1設(shè)法證明Vmult是正確的，假設(shè): 1 V是可數(shù)的。 2 V的寬度延伸可以通過“圍繞”V構(gòu)建的結(jié)構(gòu)中的“理論”來處理(見下一張幻燈片)。2 挑戰(zhàn)假設(shè)V是不可數(shù)的。我們的項(xiàng)目旨在: 2 1保持V的“寬度擴(kuò)展”的可定義性。斷言各種各樣的“宇宙”的存在。 1參見[Antos et al., 2015],[Friedman, 2016],[Barton and Friedman, 2017],[Antos et al., nd]詳情請見。 2在一些與惠普相關(guān)的工作中，已經(jīng)表明惠普的策略與關(guān)于V的各種本體論立場是一致的([Antos et al., 2015], [Barton and Friedman, 2017]). HP1設(shè)法證明Vmult是正確的，假設(shè): 1 V是可數(shù)的。 2 V的寬度延伸可以通過“圍繞”V構(gòu)建的結(jié)構(gòu)中的“理論”來處理(見下一張幻燈片)。2 挑戰(zhàn)假設(shè)V是不可數(shù)的。我們的項(xiàng)目旨在: 2 1保持V的“寬度擴(kuò)展”的可定義性。斷言各種各樣的“宇宙”的存在。 1參見[Antos et al., 2015],[Friedman, 2016],[Barton and Friedman, 2017],[Antos et al., nd]詳情請見。 2在一些與惠普相關(guān)的工作中，已經(jīng)表明惠普的策略與關(guān)于V的各種本體論立場是一致的([Antos et al., 2015], [Barton and Friedman, 2017]). 特爾努洛·德切利 加 The V -logic Multiverse HP1設(shè)法證明Vmult是正確的，假設(shè): 2 1 V是可數(shù)的。 V的寬度延伸可以通過“圍繞”V構(gòu)建的結(jié)構(gòu)中的“理論”來處理(見下一張幻燈片)。2 假設(shè)V是不可數(shù)的。我們的項(xiàng)目旨在: 保持V的“寬度擴(kuò)展”的可定義性。 斷言各種各樣的“宇宙”的存在。 1參見[Antos et al., 2015],[Friedman, 2016],[Barton and Friedman, 2017],[Antos et al., nd]詳情請見。 2在一些與惠普相關(guān)的工作中，已經(jīng)表明惠普的策略與關(guān)于V的各種本體論立場是一致的([Antos et al., 2015], [Barton and Friedman, 2017]). 特爾努洛·德切利 加 The V -logic Multiverse HP1設(shè)法證明Vmult是正確的，假設(shè): 2 1 V是可數(shù)的。 V的寬度延伸可以通過“圍繞”V構(gòu)建的結(jié)構(gòu)中的“理論”來處理(見下一張幻燈片)。2 假設(shè)V是不可數(shù)的。我們的項(xiàng)目旨在: 保持V的“寬度擴(kuò)展”的可定義性。 斷言各種各樣的“宇宙”的存在。 1參見[Antos et al., 2015],[Friedman, 2016],[Barton and Friedman, 2017],[Antos et al., nd]詳情請見。 2在一些與惠普相關(guān)的工作中，已經(jīng)表明惠普的策略與關(guān)于V的各種本體論立場是一致的([Antos et al., 2015], [Barton and Friedman, 2017]). 特爾努洛·德切利 加 The V -logic Multiverse HP1設(shè)法證明Vmult是正確的，假設(shè): 2 1 V是可數(shù)的。 V的寬度延伸可以通過“圍繞”V構(gòu)建的結(jié)構(gòu)中的“理論”來處理(見下一張幻燈片)。2 假設(shè)V是不可數(shù)的。我們的項(xiàng)目旨在: 保持V的“寬度擴(kuò)展”的可定義性。 斷言各種各樣的“宇宙”的存在。 1參見[Antos et al., 2015],[Friedman, 2016],[Barton and Friedman, 2017],[Antos et al., nd]詳情請見。 2在一些與惠普相關(guān)的工作中，已經(jīng)表明惠普的策略與關(guān)于V的各種本體論立場是一致的([Antos et al., 2015], [Barton and Friedman, 2017]). 特爾努洛·德切利 加 The V -logic Multiverse 給定V和V的a(寬度)延伸W，V和W在我們的理論中應(yīng)該是‘標(biāo)準(zhǔn)的’(不需要的解釋應(yīng)該被排除)。 通過“標(biāo)準(zhǔn)”推理，每當(dāng)我們有W |= ?，對(duì)于一些W |= T，其中w是v的外部模型，t是我們的“基礎(chǔ)理論”，那么我們的公理應(yīng)該能夠陳述w是多元宇宙的一員。 給定V和V的a(寬度)延伸W，V和W在我們的理論中應(yīng)該是‘標(biāo)準(zhǔn)的’(不需要的解釋應(yīng)該被排除)。 通過“標(biāo)準(zhǔn)”推理，每當(dāng)我們有W |= ?，對(duì)于一些W |= T，其中w是v的外部模型，t是我們的“基礎(chǔ)理論”，那么我們的公理應(yīng)該能夠陳述w是多元宇宙的一員。 給定V和V的a(寬度)延伸W，V和W在我們的理論中應(yīng)該是‘標(biāo)準(zhǔn)的’(不需要的解釋應(yīng)該被排除)。 通過“標(biāo)準(zhǔn)”推理，每當(dāng)我們有W |= ?，對(duì)于一些W |= T，其中w是v的外部模型，t是我們的“基礎(chǔ)理論”，那么我們的公理應(yīng)該能夠陳述w是多元宇宙的一員。 設(shè)Lκ，λ是無限語言(λ < κ)，允許形成: 1長度<κ的合取和析取 2 <λ個(gè)變量的量化 無限邏輯比一階邏輯有更強(qiáng)的表達(dá)能力。使用這樣的邏輯之一將確保滿足約束1:“V的寬度延伸”的表示將排除“不想要的”解釋。 設(shè)Lκ，λ是無限語言(λ < κ)，允許形成: 1長度<κ的合取和析取 2 <λ個(gè)變量的量化 無限邏輯比一階邏輯有更強(qiáng)的表達(dá)能力。使用這樣的邏輯之一將確保滿足約束1:“V的寬度延伸”的表示將排除“不想要的”解釋。 設(shè)Lκ，λ是無限語言(λ < κ)，允許形成: 長度<κ的合取和析取 2 <λ個(gè)變量的量化 無限邏輯比一階邏輯有更強(qiáng)的表達(dá)能力。使用這樣的邏輯之一將確保滿足約束1:“V的寬度延伸”的表示將排除“不想要的”解釋。 設(shè)Lκ，λ是無限語言(λ < κ)，允許形成: 長度<κ的合取和析取 2 <λ個(gè)變量的量化 無限邏輯比一階邏輯有更強(qiáng)的表達(dá)能力。使用這樣的邏輯之一將確保滿足約束1:“V的寬度延伸”的表示將排除“不想要的”解釋。 The Philosophical Background V -logic: The Construction Syntax and Semantics The Axioms Further Developments 一 2 3 四 The Philosophical BackgroundV -logic: The ConstructionSyntax and Semantics The Axioms 5 Further Developments v邏輯是無限邏輯Lκ+，ω，即一階邏輯，增加了: <κ+個(gè)變量和常數(shù)(每個(gè)a ∈ V一個(gè))，其中κ是任意基數(shù)>ω <ω量詞 v邏輯是無限邏輯Lκ+，ω，即一階邏輯，增加了: <κ+個(gè)變量和常數(shù)(每個(gè)a ∈ V一個(gè))，其中κ是任意基數(shù)>ω <ω量詞 一個(gè)特殊的常數(shù)V，表示地面宇宙 一個(gè)特殊的常數(shù)W，表示地面宇宙的一般外部模型 長度小于κ+的無限合取和析取 v邏輯是無限邏輯Lκ+，ω，即一階邏輯，增加了: <κ+個(gè)變量和常數(shù)(每個(gè)a ∈ V一個(gè))，其中κ是任意基數(shù)>ω <ω量詞 一個(gè)特殊的常數(shù)V，表示地面宇宙 一個(gè)特殊的常數(shù)W，表示地面宇宙的一般外部模型 長度小于κ+的無限合取和析取 v邏輯是無限邏輯Lκ+，ω，即一階邏輯，增加了: <κ+個(gè)變量和常數(shù)(每個(gè)a ∈ V一個(gè))，其中κ是任意基數(shù)>ω <ω量詞 一個(gè)特殊的常數(shù)V，表示地面宇宙 一個(gè)特殊的常數(shù)W，表示地面宇宙的一般外部模型 長度小于κ+的無限合取和析取 v邏輯是無限邏輯Lκ+，ω，即一階邏輯，增加了: <κ+個(gè)變量和常數(shù)(每個(gè)a ∈ V一個(gè))，其中κ是任意基數(shù)>ω <ω量詞 一個(gè)特殊的常數(shù)V，表示地面宇宙 一個(gè)特殊的常數(shù)W，表示地面宇宙的一般外部模型 長度小于κ+的無限合取和析取 v邏輯是無限邏輯Lκ+，ω，即一階邏輯，增加了: <κ+個(gè)變量和常數(shù)(每個(gè)a ∈ V一個(gè))，其中κ是任意基數(shù)>ω <ω量詞 一個(gè)特殊的常數(shù)V，表示地面宇宙 一個(gè)特殊的常數(shù)W，表示地面宇宙的一般外部模型 長度小于κ+的無限合取和析取 我們知道證明可以用集合來編碼。在V-邏輯中，證明是由Hyp(V)中的集合編碼的，這是V之后最不允許的集合。 M上的容許集是KPU的模型AM，其形式為 AM =(M；一，∈，...).M上的純?nèi)菰S集是容許集，M沒有u元素(A集合A s.t. KP |= A)。 M上的最小容許集(記為HypM)是M上所有容許集的交集(并且等價(jià)于可構(gòu)造論域的第α級(jí)Lα，其中α是M上最小容許序數(shù))。 我們知道證明可以用集合來編碼。在V-邏輯中，證明是由Hyp(V)中的集合編碼的，這是V之后最不允許的集合。 M上的容許集是KPU的模型AM，其形式為 AM =(M；一，∈，...).M上的純?nèi)菰S集是容許集，M沒有u元素(A集合A s.t. KP |= A)。 M上的最小容許集(記為HypM)是M上所有容許集的交集(并且等價(jià)于可構(gòu)造論域的第α級(jí)Lα，其中α是M上最小容許序數(shù))。 我們知道證明可以用集合來編碼。在V-邏輯中，證明是由Hyp(V)中的集合編碼的，這是V之后最不允許的集合。 M上的容許集是KPU的模型AM，其形式為 AM =(M；一，∈，...).M上的純?nèi)菰S集是容許集，M沒有u元素(A集合A s.t. KP |= A)。 M上的最小容許集(記為HypM)是M上所有容許集的交集(并且等價(jià)于可構(gòu)造論域的第α級(jí)Lα，其中α是M上最小容許序數(shù))。 因此，在V-邏輯中，Hyp(V)(以下簡稱V +)只是一些 Lα(V)。V -logic中的證明代碼在V +中。 現(xiàn)在，假設(shè)我們想要斷言存在一個(gè)‘宇宙’W，一個(gè)V的寬度延伸。 我們從句法上進(jìn)行:這樣一個(gè)世界的存在等價(jià)于以下一致性陳述的證明: Con(T + ?) 其中t是我們的基礎(chǔ)理論(BST)，?= w的w性質(zhì)。 |= ψ”，而ψ是一些 因此，在V-邏輯中，Hyp(V)(以下簡稱V +)只是一些 Lα(V)。V -logic中的證明代碼在V +中。 現(xiàn)在，假設(shè)我們想要斷言存在一個(gè)‘宇宙’W，一個(gè)V的寬度延伸。 我們從句法上進(jìn)行:這樣一個(gè)世界的存在等價(jià)于以下一致性陳述的證明: Con(T + ?) 其中t是我們的基礎(chǔ)理論(BST)，?= w的w性質(zhì)。 |= ψ”，而ψ是一些 因此，在V-邏輯中，Hyp(V)(以下簡稱V +)只是一些 Lα(V)。V -logic中的證明代碼在V +中。 現(xiàn)在，假設(shè)我們想要斷言存在一個(gè)‘宇宙’W，一個(gè)V的寬度延伸。 我們從句法上進(jìn)行:這樣一個(gè)世界的存在等價(jià)于以下一致性陳述的證明: Con(T + ?) 其中t是我們的基礎(chǔ)理論(BST)，?= w的w性質(zhì)。 |= ψ”，而ψ是一些 因此，在V-邏輯中，Hyp(V)(以下簡稱V +)只是一些 Lα(V)。V -logic中的證明代碼在V +中。 現(xiàn)在，假設(shè)我們想要斷言存在一個(gè)‘宇宙’W，一個(gè)V的寬度延伸。 我們從句法上進(jìn)行:這樣一個(gè)世界的存在等價(jià)于以下一致性陳述的證明: Con(T + ?) 其中t是我們的基礎(chǔ)理論(BST)，?= w的w性質(zhì)。 |= ψ”，而ψ是一些 對(duì)于每一個(gè)擴(kuò)張v并定義性質(zhì)ψ的世界w，我們在V +中有一個(gè)? = Con(T + ψ)的證明碼。 屬性ψ可以這樣選擇，以便表達(dá)所討論的模型的某些相關(guān)特征。 (例如，對(duì)于W是基論域的集泛擴(kuò)張，我們可以將W刻畫為‘包含V上的P-泛濾子G并滿足ψ’)。 對(duì)于每一個(gè)擴(kuò)張v并定義性質(zhì)ψ的世界w，我們在V +中有一個(gè)? = Con(T + ψ)的證明碼。 屬性ψ可以這樣選擇，以便表達(dá)所討論的模型的某些相關(guān)特征。 (例如，對(duì)于W是基論域的集泛擴(kuò)張，我們可以將W刻畫為‘包含V上的P-泛濾子G并滿足ψ’)。 對(duì)于每一個(gè)擴(kuò)張v并定義性質(zhì)ψ的世界w，我們在V +中有一個(gè)? = Con(T + ψ)的證明碼。 屬性ψ可以這樣選擇，以便表達(dá)所討論的模型的某些相關(guān)特征。 (例如，對(duì)于W是基論域的集泛擴(kuò)張，我們可以將W刻畫為‘包含V上的P-泛濾子G并滿足ψ’)。 通過使用上述編碼，我們可以產(chǎn)生所有“相關(guān)”種類的宇宙，也就是說，V的所有“相關(guān)”寬度擴(kuò)展。 特別是，我們可能有: 一 集合-類屬擴(kuò)展(' W是s.t. W包含一個(gè)P-類屬G 超過V并滿足ψ’) 2 類通用擴(kuò)展(如上，有一些修改) 通過使用上述編碼，我們可以產(chǎn)生所有“相關(guān)”種類的宇宙，也就是說，V的所有“相關(guān)”寬度擴(kuò)展。 特別是，我們可能有: 一 集合-類屬擴(kuò)展(' W是s.t. W包含一個(gè)P-類屬G 超過V并滿足ψ’) 類通用擴(kuò)展(如上，有一些修改) 超類-泛型擴(kuò)展(同上) V的各種強(qiáng)制擴(kuò)張 1中定義的所有模型的內(nèi)部模型。-4 特爾努洛·德切利 The V -logic Multiverse 通過使用上述編碼，我們可以產(chǎn)生所有“相關(guān)”種類的宇宙，也就是說，V的所有“相關(guān)”寬度擴(kuò)展。 特別是，我們可能有: 一 集合-類屬擴(kuò)展(' W是s.t. W包含一個(gè)P-類屬G 超過V并滿足ψ’) 類通用擴(kuò)展(如上，有一些修改) 超類-泛型擴(kuò)展(同上) V的各種強(qiáng)制擴(kuò)張 1中定義的所有模型的內(nèi)部模型。-4 因此，約束2也將被滿足:所有“相關(guān)”種類的模型都將屬于(寬度)多元宇宙。 特爾努洛·德切利 The V -logic Multiverse 通過使用上述編碼，我們可以產(chǎn)生所有“相關(guān)”種類的宇宙，也就是說，V的所有“相關(guān)”寬度擴(kuò)展。 特別是，我們可能有: 一 集合-類屬擴(kuò)展(' W是s.t. W包含一個(gè)P-類屬G 超過V并滿足ψ’) 類通用擴(kuò)展(如上，有一些修改) 超類-泛型擴(kuò)展(同上) V的各種強(qiáng)制擴(kuò)張 1中定義的所有模型的內(nèi)部模型。-4 因此，約束2也將被滿足:所有“相關(guān)”種類的模型都將屬于(寬度)多元宇宙。 特爾努洛·德切利 The V -logic Multiverse 通過使用上述編碼，我們可以產(chǎn)生所有“相關(guān)”種類的宇宙，也就是說，V的所有“相關(guān)”寬度擴(kuò)展。 特別是，我們可能有: 一 集合-類屬擴(kuò)展(' W是s.t. W包含一個(gè)P-類屬G 超過V并滿足ψ’) 類通用擴(kuò)展(如上，有一些修改) 超類-泛型擴(kuò)展(同上) V的各種強(qiáng)制擴(kuò)張 1中定義的所有模型的內(nèi)部模型。-4 因此，約束2也將被滿足:所有“相關(guān)”種類的模型都將屬于(寬度)多元宇宙。 特爾努洛·德切利 The V -logic Multiverse 通過使用上述編碼，我們可以產(chǎn)生所有“相關(guān)”種類的宇宙，也就是說，V的所有“相關(guān)”寬度擴(kuò)展。 特別是，我們可能有: 一 集合-類屬擴(kuò)展(' W是s.t. W包含一個(gè)P-類屬G 超過V并滿足ψ’) 類通用擴(kuò)展(如上，有一些修改) 超類-泛型擴(kuò)展(同上) V的各種強(qiáng)制擴(kuò)張 1中定義的所有模型的內(nèi)部模型。-4 因此，約束2也將被滿足:所有“相關(guān)”種類的模型都將屬于(寬度)多元宇宙。 特爾努洛·德切利 The V -logic Multiverse 通過使用上述編碼，我們可以產(chǎn)生所有“相關(guān)”種類的宇宙，也就是說，V的所有“相關(guān)”寬度擴(kuò)展。 特別是，我們可能有: 一 集合-類屬擴(kuò)展(' W是s.t. W包含一個(gè)P-類屬G 超過V并滿足ψ’) 類通用擴(kuò)展(如上，有一些修改) 超類-泛型擴(kuò)展(同上) V的各種強(qiáng)制擴(kuò)張 1中定義的所有模型的內(nèi)部模型。-4 因此，約束2也將被滿足:所有“相關(guān)”種類的模型都將屬于(寬度)多元宇宙。 通過使用上述編碼，我們可以產(chǎn)生所有“相關(guān)”種類的宇宙，也就是說，V的所有“相關(guān)”寬度擴(kuò)展。 特別是，我們可能有: 一 集合-類屬擴(kuò)展(' W是s.t. W包含一個(gè)P-類屬G 超過V并滿足ψ’) 類通用擴(kuò)展(如上，有一些修改) 超類-泛型擴(kuò)展(同上) V的各種強(qiáng)制擴(kuò)張 1中定義的所有模型的內(nèi)部模型。-4 因此，約束2也將被滿足:所有“相關(guān)”種類的模型都將屬于(寬度)多元宇宙。 在v-邏輯中，我們有:如果BST + ?(其中BST是我們的基礎(chǔ)理論)是一致的，那么存在v的外部模型w，使得W |= ψ。 非正式地說，多元宇宙可以被視為一棵樹:在樹根處，我們選擇了BST，在每個(gè)節(jié)點(diǎn)處，一個(gè) Con(BST + ?)陳述，其中?斷言ψ是一些 集合論真理的進(jìn)一步片段 提醒一句:在這個(gè)階段，我們并沒有假設(shè)W真的“存在”；只知道它可以用V +中的理論T來處理 在v-邏輯中，我們有:如果BST + ?(其中BST是我們的基礎(chǔ)理論)是一致的，那么存在v的外部模型w，使得W |= ψ。 非正式地說，多元宇宙可以被視為一棵樹:在樹根處，我們選擇了BST，在每個(gè)節(jié)點(diǎn)處，一個(gè) Con(BST + ?)陳述，其中?斷言ψ是一些 集合論真理的進(jìn)一步片段 提醒一句:在這個(gè)階段，我們并沒有假設(shè)W真的“存在”；只知道它可以用V +中的理論T來處理 在v-邏輯中，我們有:如果BST + ?(其中BST是我們的基礎(chǔ)理論)是一致的，那么存在v的外部模型w，使得W |= ψ。 非正式地說，多元宇宙可以被視為一棵樹:在樹根處，我們選擇了BST，在每個(gè)節(jié)點(diǎn)處，一個(gè) Con(BST + ?)陳述，其中?斷言ψ是一些 集合論真理的進(jìn)一步片段 提醒一句:在這個(gè)階段，我們并沒有假設(shè)W真的“存在”；只知道它可以用V +中的理論T來處理 The Philosophical Background V -logic: The Construction Syntax and Semantics The Axioms Further Developments 牛生長激素 康(英國夏令時(shí)+ ?0)康(英國夏令時(shí)+ ?1) 。。。 康(英國夏令時(shí)+ ?0 + χ0) Con(英國夏令時(shí)+ ?0 。。。 + χ1) 。。。 。。。 The Philosophical Background V -logic: The Construction Syntax and Semantics The Axioms Further Developments 一 2 3 四 The Philosophical BackgroundV -logic: The ConstructionSyntax and Semantics The Axioms 5 Further Developments The Philosophical Background V -logic: The Construction Syntax and Semantics The Axioms Further Developments 假設(shè)γv?和γv(?→ψ)則γvψ。推廣如果γv(?→ψ(vn))和VN在?有界 γv(?→?vnψ(vn)). v法則如果γv ?(m/v0)對(duì)于每一個(gè)m ∈ V那么γv ?v0(m(v0)→?(v0)). 請注意，在符號(hào)V ?中，如果γv?表示T = ?.，則句子可由v法則證明 就約束3而言，我們有以下內(nèi)容: 給定任意無限語言Lκ，λ，其中λ < κ，且κ ≥ ω1，對(duì)于所有句子σ，∈∈lκ，λ，使得∈σ，如果∏為任意長度，則|= σ不隱含▎σ V-邏輯的不完全性是一個(gè)特例。我們有: 如果v是不可數(shù)的，那么有γ，?使得γ| = v?aγv ?. 就約束3而言，我們有以下內(nèi)容: 給定任意無限語言Lκ，λ，其中λ < κ，且κ ≥ ω1，對(duì)于所有句子σ，∈∈lκ，λ，使得∈σ，如果∏為任意長度，則|= σ不隱含▎σ V-邏輯的不完全性是一個(gè)特例。我們有: 如果v是不可數(shù)的，那么有γ，?使得γ| = v?aγv ?. 就約束3而言，我們有以下內(nèi)容: 給定任意無限語言Lκ，λ，其中λ < κ，且κ ≥ ω1，對(duì)于所有句子σ，∈∈lκ，λ，使得∈σ，如果∏為任意長度，則|= σ不隱含▎σ V-邏輯的不完全性是一個(gè)特例。我們有: 如果v是不可數(shù)的，那么有γ，?使得γ| = v?aγv ?. 就約束3而言，我們有以下內(nèi)容: 給定任意無限語言Lκ，λ，其中λ < κ，且κ ≥ ω1，對(duì)于所有句子σ，∈∈lκ，λ，使得∈σ，如果∏為任意長度，則|= σ不隱含▎σ V-邏輯的不完全性是一個(gè)特例。我們有: 如果v是不可數(shù)的，那么有γ，?使得γ| = v?aγv ?. 如果v在我們的v-邏輯多元宇宙理論t中是不可數(shù)的，那么就沒有“真正的”外部模型w . s . t . v .?w，也就是說，沒有斷言其存在的v-邏輯理論的v-邏輯語義對(duì)應(yīng)物。 因此，如果V是不可數(shù)的，約束3不滿足，約束2僅在語法上完全滿足:我們只能通過斷言它們存在的理論來表示V的擴(kuò)展。 如果v在我們的v-邏輯多元宇宙理論t中是不可數(shù)的，那么就沒有“真正的”外部模型w . s . t . v .?w，也就是說，沒有斷言其存在的v-邏輯理論的v-邏輯語義對(duì)應(yīng)物。 因此，如果V是不可數(shù)的，約束3不滿足，約束2僅在語法上完全滿足:我們只能通過斷言它們存在的理論來表示V的擴(kuò)展。 修正1(超宇宙):最簡單的解決方案是假設(shè)V是可數(shù)的(V-邏輯對(duì)于V可數(shù)是完整的)。 然而，這在哲學(xué)上是有問題的。 修正2:我們滿足于(公理化的)理論。由于各種原因，這種修復(fù)似乎更好，因?yàn)? 多元宇宙將在沒有任何‘直覺’的情況下發(fā)展 我們?nèi)匀挥卸嘣钪娉蓡T的清晰表述 修正1(超宇宙):最簡單的解決方案是假設(shè)V是可數(shù)的(V-邏輯對(duì)于V可數(shù)是完整的)。 然而，這在哲學(xué)上是有問題的。 修正2:我們滿足于(公理化的)理論。由于各種原因，這種修復(fù)似乎更好，因?yàn)? 多元宇宙將在沒有任何‘直覺’的情況下發(fā)展 我們?nèi)匀挥卸嘣钪娉蓡T的清晰表述 從歷史上看，關(guān)注公理而不是語義在許多方面已經(jīng)被證明是足夠的 修正1(超宇宙):最簡單的解決方案是假設(shè)V是可數(shù)的(V-邏輯對(duì)于V可數(shù)是完整的)。 然而，這在哲學(xué)上是有問題的。 修正2:我們滿足于(公理化的)理論。由于各種原因，這種修復(fù)似乎更好，因?yàn)? 多元宇宙將在沒有任何‘直覺’的情況下發(fā)展 我們?nèi)匀挥卸嘣钪娉蓡T的清晰表述 從歷史上看，關(guān)注公理而不是語義在許多方面已經(jīng)被證明是足夠的 修正1(超宇宙):最簡單的解決方案是假設(shè)V是可數(shù)的(V-邏輯對(duì)于V可數(shù)是完整的)。 然而，這在哲學(xué)上是有問題的。 修正2:我們滿足于(公理化的)理論。由于各種原因，這種修復(fù)似乎更好，因?yàn)? 多元宇宙將在沒有任何‘直覺’的情況下發(fā)展 我們?nèi)匀挥卸嘣钪娉蓡T的清晰表述 從歷史上看，關(guān)注公理而不是語義在許多方面已經(jīng)被證明是足夠的 對(duì)于?的每一個(gè)陳述和地面宇宙的每一個(gè)外部模型m，如果M |= ?，那么在v-邏輯中有一個(gè)?的證明 任何相容的V-邏輯理論T都有V中的模型。 這個(gè)公理將解決“不完全性問題”，確保每個(gè)純語義陳述的V-邏輯中存在一個(gè)證明 V 然而，目前還不清楚該公理應(yīng)如何表述以顯得“自然”，以及為什么它應(yīng)被接受 更正式的說法是，?m[γm??| =?= ?]. 更正式的說法是，?m[γm??| =?= ?]. 對(duì)于?的每一個(gè)陳述和地面宇宙的每一個(gè)外部模型m，如果M |= ?，那么在v-邏輯中有一個(gè)?的證明 任何相容的V-邏輯理論T都有V中的模型。 這個(gè)公理將解決“不完全性問題”，確保每個(gè)純語義陳述的V-邏輯中存在一個(gè)證明 然而，目前還不清楚該公理應(yīng)如何表述以顯得“自然”，以及為什么它應(yīng)被接受 對(duì)于?的每一個(gè)陳述和地面宇宙的每一個(gè)外部模型m，如果M |= ?，那么在v-邏輯中有一個(gè)?的證明 任何相容的V-邏輯理論T都有V中的模型。 這個(gè)公理將解決“不完全性問題”，確保每個(gè)純語義陳述的V-邏輯中存在一個(gè)證明 V 然而，目前還不清楚該公理應(yīng)如何表述以顯得“自然”，以及為什么它應(yīng)被接受 更正式的說法是，?m[γm??| =?= ?]. The Philosophical Background V -logic: The Construction Syntax and Semantics The Axioms Further Developments 一 2 3 四 The Philosophical BackgroundV -logic: The ConstructionSyntax and Semantics The Axioms 5 Further Developments The Philosophical Background V -logic: The Construction Syntax and Semantics The Axioms Further Developments 因此，V邏輯多元宇宙理論可以被視為下列公理的集合: 1基礎(chǔ)集合理論(BST) 2 (寬度多元宇宙)對(duì)所有ψ，和?=“w ?(英國夏令時(shí)+ ?) |= ψ”(其中 3 進(jìn)一步的公理？例如:IMH(和細(xì)化)，完整性等。 NB。如前所述，語言是Lκ+，ω，具有單獨(dú)的常數(shù):V 對(duì)于V和W，每個(gè)a ∈ V。 對(duì)于W，和無窮多個(gè)單獨(dú)的常數(shù)a The Philosophical Background V -logic: The Construction Syntax and Semantics The Axioms Further Developments 一 2 3 四 The Philosophical BackgroundV -logic: The ConstructionSyntax and Semantics The Axioms 5 Further Developments 增加一個(gè)高度多元宇宙(由頂端延伸的 五) 使用更強(qiáng)的無窮邏輯:Lκ，ω且κ(至少)a 難以接近的紅衣主教(見下一張幻燈片) 附加公理:例如，多元宇宙公理，如IMH(極大性) 考慮“替代的”V-邏輯:例如，如果V = L，考慮L-邏輯多元宇宙:這看起來是一個(gè)人可以擁有的最廣泛的基于V-邏輯的多元宇宙概念(因?yàn)樗信cL兼容的宇宙也與L的任何擴(kuò)展兼容) 增加一個(gè)高度多元宇宙(由頂端延伸的 五) 使用更強(qiáng)的無窮邏輯:Lκ，ω且κ(至少)a 難以接近的紅衣主教(見下一張幻燈片) 附加公理:例如，多元宇宙公理，如IMH(極大性) 考慮“替代的”V-邏輯:例如，如果V = L，考慮L-邏輯多元宇宙:這看起來是一個(gè)人可以擁有的最廣泛的基于V-邏輯的多元宇宙概念(因?yàn)樗信cL兼容的宇宙也與L的任何擴(kuò)展兼容) 增加一個(gè)高度多元宇宙(由頂端延伸的 五) 使用更強(qiáng)的無窮邏輯:Lκ，ω且κ(至少)a 難以接近的紅衣主教(見下一張幻燈片) 附加公理:例如，多元宇宙公理，如IMH(極大性) 考慮“替代的”V-邏輯:例如，如果V = L，考慮L-邏輯多元宇宙:這看起來是一個(gè)人可以擁有的最廣泛的基于V-邏輯的多元宇宙概念(因?yàn)樗信cL兼容的宇宙也與L的任何擴(kuò)展兼容) 增加一個(gè)高度多元宇宙(由頂端延伸的 五) 使用更強(qiáng)的無窮邏輯:Lκ，ω且κ(至少)a 難以接近的紅衣主教(見下一張幻燈片) 附加公理:例如，多元宇宙公理，如IMH(極大性) 考慮“替代的”V-邏輯:例如，如果V = L，考慮L-邏輯多元宇宙:這看起來是一個(gè)人可以擁有的最廣泛的基于V-邏輯的多元宇宙概念(因?yàn)樗信cL兼容的宇宙也與L的任何擴(kuò)展兼容) 考慮Vω邏輯。這相當(dāng)于V-邏輯，只是這里V 僅僅是秩初始段Vω 這個(gè)邏輯是完整的(因?yàn)長ω1，ω中的ω-完備性定理) 現(xiàn)在，考慮下一個(gè)完整的無限邏輯Lκ，ω，其中κ 至少是很難接近的。 問:有可能基于Lκ，ω定義一個(gè)vκ-邏輯嗎 也是完整的。 考慮Vω邏輯。這相當(dāng)于V-邏輯，只是這里V 僅僅是秩初始段Vω 這個(gè)邏輯是完整的(因?yàn)長ω1，ω中的ω-完備性定理) 現(xiàn)在，考慮下一個(gè)完整的無限邏輯Lκ，ω，其中κ 至少是很難接近的。 問:有可能基于Lκ，ω定義一個(gè)vκ-邏輯嗎 也是完整的。 考慮Vω邏輯。這相當(dāng)于V-邏輯，只是這里V 僅僅是秩初始段Vω 這個(gè)邏輯是完整的(因?yàn)長ω1，ω中的ω-完備性定理) 現(xiàn)在，考慮下一個(gè)完整的無限邏輯Lκ，ω，其中κ 至少是很難接近的。 問:有可能基于Lκ，ω定義一個(gè)vκ-邏輯嗎 也是完整的。 考慮Vω邏輯。這相當(dāng)于V-邏輯，只是這里V 僅僅是秩初始段Vω 這個(gè)邏輯是完整的(因?yàn)長ω1，ω中的ω-完備性定理) 現(xiàn)在，考慮下一個(gè)完整的無限邏輯Lκ，ω，其中κ 至少是很難接近的。 問:有可能基于Lκ，ω定義一個(gè)vκ-邏輯嗎 也是完整的。 The Philosophical Background V -logic: The Construction Syntax and Semantics The Axioms Further Developments 后一點(diǎn)導(dǎo)致以下可能的約束/原則: 給定v的一個(gè)延拓，比如說v∫，s . t . v .?v∫，每當(dāng)有一個(gè)w延拓V s.t. W |= ?，我們就有一個(gè)對(duì)應(yīng)的w∫，延拓v∫s . t . w∫| = ?. CUH斷言，如果我們用一個(gè)更大的V *代替V，圍繞一個(gè)更大的V *構(gòu)建的多元宇宙不會(huì)減少與V兼容的真理集，也就是說，V *擁有與V一樣多的兼容宇宙。 CUH也可以被看作是V的一個(gè)獨(dú)立的和新的極大性原理(可能導(dǎo)致V成為V邏輯多元宇宙的‘極大核心’？). (問題1)考慮不同的基礎(chǔ)理論，例如: T1 = ZFC + LCs，或者T2 = ZF + AD等等。圍繞T1和T2構(gòu)建的V -logic多元宇宙會(huì)有什么不同？(提示:使用前面提到的與V = L相關(guān)的兼容性概念) (問題2)考慮不同的V，其中V /= L。例如，假設(shè)V = Vκ，其中κ是“大”的大基數(shù)。vκ-邏輯多元宇宙會(huì)是什么樣子？(該問題與提到的擴(kuò)展Lκ，ω的目標(biāo)有關(guān)) (問題1)考慮不同的基礎(chǔ)理論，例如: T1 = ZFC + LCs，或者T2 = ZF + AD等等。圍繞T1和T2構(gòu)建的V -logic多元宇宙會(huì)有什么不同？(提示:使用前面提到的與V = L相關(guān)的兼容性概念) (問題2)考慮不同的V，其中V /= L。例如，假設(shè)V = Vκ，其中κ是“大”的大基數(shù)。vκ-邏輯多元宇宙會(huì)是什么樣子？(該問題與提到的擴(kuò)展Lκ，ω的目標(biāo)有關(guān))