【全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽課程】【強(qiáng)烈推薦】
施篤茲定理
（分母分子必須！正向！趨于無(wú)窮or 0）[“和的極限？”一般都會(huì)想到stolz定理來(lái)簡(jiǎn)化】
算術(shù)平均and幾何平均的極限等于原數(shù)列的極限
一個(gè)特殊情形：
右邊的方法不行，就取對(duì)數(shù)吧，然后再用stolz定理（答案e^-1)
方法二：
取ln，除以n再乘以n，用施瓦茲，結(jié)果為0。還可以用夾逼：（大于0小于1/n,其中1/n是根據(jù)下面這條豎線的左右來(lái)劃分的，要更精確也可以把豎線向右移動(dòng)幾格）
還可以用斯特林公式：
還可以取ln后用積分
類題：
stolz是不能逆推的，所以不能用an/bn
注意“設(shè)bn”的用法?。?/p>
法二：
注意stolz定理要求單調(diào)！所以要提出（-1)^n
猜測(cè)bn是由這個(gè)用stolz得到的
但是，這個(gè)沒(méi)有保證單調(diào)遞增/減，所以提取出來(lái)（-1）^n
思路也是設(shè)已知的那個(gè)極限里面的為另一個(gè)數(shù)列，然后用新數(shù)列表示舊數(shù)列，不能直接對(duì)要證式的右邊用stolz定理，因?yàn)檫@樣必須保證lim an存在，但是這題不能證明啊
------------------------------------------------------------
洛必達(dá)法則（沒(méi)記全?。?/strong>
雜題：
做法不對(duì)：1.分母2sinx那里不對(duì)，應(yīng)該是x
2.（3+2sinx)^x不可以按照冪函數(shù)求導(dǎo)
應(yīng)該這樣：
泰勒公式
tanx的泰勒展開(kāi)式是sinx和cosx的泰勒展開(kāi)式相除以（多項(xiàng)式的除法）
方法：加一項(xiàng)減去一項(xiàng)；ak法（有一點(diǎn)像stolz，注意是設(shè)分子為ak而不是整體設(shè)為ak）；洛必達(dá)；e^x=x-1的等價(jià)無(wú)窮??；泰勒公式
可以推廣：
結(jié)論：
(擬合法)
類題：
-----------------------------------------------------------
夾逼準(zhǔn)則
化積數(shù)為和——》指數(shù)！
還有pk/pk=1，1以及指數(shù)讓你想到了什么？e^x≥x+1
推論：（就是特殊情況）
取中項(xiàng)，切成一半后變成兩個(gè)n—>無(wú)窮時(shí)的東西的差，然后就可以?shī)A逼法則了，就和之前這題很像：
推廣：
求極限為1，先得湊出1，然后證明剩下的式子趨近于0?。?！
------------------------------------------------------------
微分中值定理
答案：
（這題因?yàn)橛衧insin1這種，所以用不了泰勒）
（法二：把函數(shù)看成sinsincost以及coscoscost啊?。?/p>
（注意：tansinx法很好（湊項(xiàng)法）！！and后面的那塊不要用微分中值定理?。?/p>
------------------------------------------------------------
積分和積分的定義
看到1/n想到積分!!
法二：
還可以用歐拉常數(shù)（后面歐拉常數(shù)那節(jié)講了）或者 極限趨近于s的幾項(xiàng)和-極限趨近于s的幾項(xiàng)和 這種
把一個(gè)n變成括號(hào)里面那一串的分母。缺了兩項(xiàng)然后補(bǔ)上兩項(xiàng)
變題：
可以利用上一題的結(jié)論，把n+1轉(zhuǎn)換成n
思路：1.化為定積分法 2.取值大于小于法 3.夾逼法則
-----------------------------------------------------------
利用定積分求極限技巧
注意：分為p的正負(fù)來(lái)討論?。。∵@是一個(gè)很好的結(jié)論，可以用！
利用相減來(lái)證明極限相等
思路：1.利用這節(jié)最開(kāi)頭有關(guān)"n+p"的那個(gè)公式
2.p的取值！各取一個(gè)使都大于1和都小于1的p值
（打錯(cuò)了，最后一行的小于等于號(hào)碼是大于等于號(hào)）
------------------------------------------------------------
導(dǎo)數(shù)的定義
看成某函數(shù)在x=0處的導(dǎo)數(shù)。中值定理不行，萬(wàn)一在除了x=0外的某點(diǎn)上導(dǎo)數(shù)不存在呢
同時(shí)，還要注意為什么在x=0處可導(dǎo)？要證明！如下：
注意：
------------------------------------------------------------
無(wú)窮級(jí)數(shù)
思路：猜測(cè)極限趨近于0的，可以利用證明正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂?。。。ɡ帽戎祵彅糠ǎ?/p>
類題：
兩種方法：下面是比值審斂法，右邊是取阿爾法次根號(hào)！（就和第一個(gè)視頻的第一次有點(diǎn)像s）
用根值審斂法和比值審斂法
一個(gè)定理：
例題：
感覺(jué)和這道題有一點(diǎn)點(diǎn)相似：
類題
只不過(guò)減數(shù)變成到無(wú)窮的了
另一個(gè)定理：
方法：證明差的極限存在：
------------------------------------------------------------
單調(diào)有界準(zhǔn)則
又出現(xiàn)了！創(chuàng)造定積分！放縮！
類題：
這個(gè)極限出現(xiàn)好多次了，可以用單調(diào)有界準(zhǔn)則，歐拉常數(shù)，ak-a(k-1)等
-----------------------------------------------------------
歐拉常數(shù)
（c是可以保留的）
思路：正數(shù)a和b是等價(jià)無(wú)窮?。ù螅?，那么lna與lnb也是等價(jià)無(wú)窮大，證明如下：
------------------------------------------------------------
斯特林公式
------------------------------------------------------------
子數(shù)列
用了那個(gè)p的結(jié)論：
這題用到了1.施瓦茲定理在求出來(lái)的極限不存在時(shí)不能用 2.前面有正負(fù)交替的系數(shù)，如果整體極限存在，那么后面的極限不存在
套路：
極限存在？求出不同數(shù)列趨勢(shì)，
------------------------------------------------------------
極限的定義
好題目。但是為了證明的嚴(yán)謹(jǐn)性，就是1x2x...x【M】這個(gè)式子要成立，那么M必須大于1，所以第二行說(shuō)M>0不嚴(yán)謹(jǐn)，改成大于1
“放縮一部分”
