一、1.集合的連通性跟在什么空間無關(guān)。

二、2.IR中I連通?I是區(qū)間

證明首先需要用數(shù)學(xué)語言表達(dá)區(qū)間：

?a,b∈I（a＜b)，[a,b]?I

必要性用反證法，

充分性用二分法構(gòu)造閉區(qū)間套。

3.定理2.44。連續(xù)映射“保持連通性”。

連通和連續(xù)的關(guān)系。

證明：反證法，假設(shè)f(X)存在劃分｛U, V｝且U, V開集，則根據(jù)集合論，｛f?1(U), f?1(V)｝也是劃分，又連續(xù)映射，f?1(U), f?1(V)開集，矛盾。

4.結(jié)合“2，3”，推得多元函數(shù)的介值定理。

5.“2，3，4”表明一元連續(xù)函數(shù)里“將區(qū)間映到區(qū)間”、介值定理依賴的集合的性質(zhì)其實(shí)不是開閉，而是連通性。

三、“8”是下節(jié)課需要用到的命題，為此需要“6，7”。

6.命題2.46。拓?fù)淇臻gX有一個(gè)劃分｛U, V｝，U, V開集，若Y連通，則Y?U或Y?V。

7.由“6”推得命題2.47，“夾逼”。

8.“7”的推論：拓?fù)淇臻g中E連通，則ē連通。

四.道路連通。

9.鋪墊下節(jié)課內(nèi)容。

10.直線道路。（定比分點(diǎn)式子）

單位球上任一兩點(diǎn)之間都有直線道路。

凸集。凸集上任意兩點(diǎn)的直線道路在凸集中。

星形集。錨定一點(diǎn)...

12.穿孔空間。