不知道你考慮過(guò)這個(gè)問(wèn)題沒(méi)有：你的朋友多還是你的朋友的朋友多？你與你的朋友比較，誰(shuí)更是交友達(dá)人？

當(dāng)然，為公平比較，這里“你的朋友的朋友”要取一個(gè)平均數(shù)，也就是計(jì)算你所有的朋友的朋友數(shù)量之和，然后除以你的朋友數(shù)量，得到一個(gè)平均數(shù)。將這個(gè)平均數(shù)，與你自己的朋友數(shù)比較會(huì)如何？（沒(méi)有特別指出的話(huà)，本文中的“朋友的朋友”都是這樣一個(gè)平均數(shù)。）

還有一個(gè)假定是是朋友關(guān)系總是相互的、雙向的。

基于以上設(shè)定，我知道各位各自心里都有一個(gè)估計(jì)了。但現(xiàn)在可以告訴各位一個(gè)結(jié)論：對(duì)絕大多數(shù)人來(lái)說(shuō)，你的朋友的朋友數(shù)量會(huì)大于你的朋友數(shù)量。

你可能會(huì)覺(jué)得這不合理啊，既然朋友關(guān)系是相互的，那么如果有的人朋友多，就應(yīng)該周?chē)娜艘黄鸲?，要少就一起少，最終應(yīng)該是一半對(duì)一半。但事實(shí)確實(shí)有些出人意料，現(xiàn)實(shí)中，大多數(shù)人的朋友會(huì)比朋友的朋友數(shù)少。

第一次注意到這個(gè)現(xiàn)象的是美國(guó)社會(huì)學(xué)家，James Coleman。他在1960年代，對(duì)美國(guó)12所高中的學(xué)生進(jìn)行了朋友關(guān)系的調(diào)查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)平均每個(gè)學(xué)生有2.7個(gè)朋友，但是每個(gè)人的朋友的朋友數(shù)量平均為3.4。而只有不到1/4的人，他的朋友數(shù)多于其朋友的朋友的人數(shù)。

（上圖：Coleman統(tǒng)計(jì)的某高中8名女生的好友關(guān)系圖。每人名字上方數(shù)字是其好友數(shù)，括號(hào)內(nèi)是其“好友的好友”的平均數(shù)量。）

而大老李在本次節(jié)目之前，也在微信朋友圈做了一次調(diào)查，請(qǐng)你給你若干微信，比如10個(gè)好友發(fā)個(gè)消息，問(wèn)一下他們的微信聯(lián)系人數(shù)量，求個(gè)平均數(shù)，然后與自己的微信聯(lián)系人數(shù)量比較一下。在這里，我就假設(shè)微信聯(lián)系人相當(dāng)于一個(gè)朋友關(guān)系。結(jié)果最終收到48份答復(fù)，結(jié)果有77.1%的人答復(fù)，自己朋友的朋友數(shù)量比自己的聯(lián)系人數(shù)量多，所以也驗(yàn)證了Coleman的調(diào)查結(jié)果。我也很歡迎你做一下同樣的調(diào)查，用留言形式回復(fù)我。

那為什么會(huì)形成這樣的現(xiàn)象？美國(guó)的社會(huì)學(xué)家斯科特·菲爾德，他在1991年發(fā)表了一篇論文，標(biāo)題就是這期節(jié)目的標(biāo)題：為什么你的朋友的朋友比你的朋友多？他依據(jù)James Coleman'的調(diào)查結(jié)果，用數(shù)學(xué)方法分析了一下這種情況發(fā)生的原因。

其實(shí)原因簡(jiǎn)而言之就是：平均來(lái)講，朋友的朋友就是會(huì)比某個(gè)人的朋友數(shù)多?？磦€(gè)例子吧：

我用了一張網(wǎng)上流傳很廣的王菲人際關(guān)系圖，雖然其中的連線(xiàn)不都表示好友，但每條連線(xiàn)還是表示兩人關(guān)系較近。你會(huì)發(fā)現(xiàn)這張圖里只有處于人際關(guān)系核心的王菲、周迅和張亞?wèn)|三人，他們的朋友比朋友的朋友數(shù)量多，其他10人都是朋友數(shù)少。

而這種朋友關(guān)系網(wǎng)是常態(tài)：有若干交友達(dá)人，他們的朋友數(shù)特別多。而其他大多數(shù)的人，基本都與這些交友達(dá)人是朋友，而除此之外就沒(méi)有幾個(gè)朋友了。

數(shù)學(xué)上也可以驗(yàn)證這一點(diǎn)。我們就以全部是隨機(jī)的一張人際關(guān)系圖來(lái)計(jì)算，假設(shè)這張圖里有v個(gè)人，和k條線(xiàn)，也就是k個(gè)朋友關(guān)系。那么來(lái)算算這張圖里，平均每個(gè)人有幾個(gè)朋友呢？非常簡(jiǎn)單，是因?yàn)槊恳粭l線(xiàn)連接兩個(gè)人，所以每個(gè)人的朋友總數(shù)應(yīng)該就是2k，那么平均每個(gè)人有2k/v個(gè)朋友。

（上圖：Coleman統(tǒng)計(jì)的圖中，一共有8名學(xué)生，10對(duì)朋友關(guān)系，平均每個(gè)人有個(gè)朋友）

而計(jì)算一個(gè)人朋友的朋友的平均數(shù)量、期望值稍微復(fù)雜點(diǎn)，我可以告訴你答案，就是上述平均值()再加上每個(gè)人朋友數(shù)量的方差(\sigma^2)，除以每個(gè)人朋友的平均值：

因?yàn)榉讲羁偸钦?，這也意味著每個(gè)人的"朋友的朋友"數(shù)的期望值確實(shí)會(huì)多于每個(gè)自己的朋友數(shù)量，是不是很反直覺(jué)！

(上圖：Coleman統(tǒng)計(jì)中的學(xué)生好友數(shù)分布圖，橫軸為好友數(shù)，縱軸為有這些好友數(shù)的人數(shù)，平均值是2.7)

(上圖：Coleman統(tǒng)計(jì)中的學(xué)生好友數(shù)分布圖，橫軸為“好友的好友”數(shù)，縱軸為有這些“好友的好友數(shù)”的人數(shù)，平均值是3.4)

而且如果每個(gè)人朋友數(shù)量的差距越大，那么整個(gè)團(tuán)體里就會(huì)有越多的人感覺(jué)自己的朋友少于朋友的朋友。一種最極端的情況是，n個(gè)人，其中有一個(gè)人交友達(dá)人，與其他n-1個(gè)人都是朋友，而其他的n-1個(gè)人只有他這一個(gè)朋友。這樣所有n-1個(gè)人都會(huì)發(fā)現(xiàn)自己的朋友的朋友數(shù)量是n-1，而自己只有1個(gè)朋友。不幸的是這是一種朋友圈關(guān)系的常態(tài)。

那么有沒(méi)有一種朋友關(guān)系的結(jié)構(gòu)形式可以使得多數(shù)人的朋友數(shù)多過(guò)朋友的朋友？還是有的，比如如下結(jié)構(gòu)：

那么C,D,E,F都會(huì)感覺(jué)自己的朋友比朋友的朋友數(shù)量多。但是你也會(huì)發(fā)現(xiàn)這種結(jié)構(gòu)是非?？桃獾?。如果改變?nèi)魏纹渲袃扇说年P(guān)系都會(huì)使整個(gè)結(jié)構(gòu)失去這種性質(zhì)。

綜上所述，大家應(yīng)該接受這樣一個(gè)現(xiàn)實(shí)：如果你感覺(jué)自己孤獨(dú)，而你不多的幾個(gè)朋友似乎都是社交達(dá)人，那么確實(shí)如此，說(shuō)明你是一個(gè)平常人，無(wú)需悲傷難過(guò)。以上這個(gè)現(xiàn)象就叫“友誼悖論”。

而我最近還看到一個(gè)與友誼悖論有點(diǎn)類(lèi)似反直覺(jué)的概率現(xiàn)象：沃比岡湖的骰子?！拔直葘笔敲绹?guó)作家Garrison Keillor寫(xiě)的一本小說(shuō)的名稱(chēng)，也是一個(gè)地名。這個(gè)地區(qū)的一個(gè)特點(diǎn)是：那里的家長(zhǎng)都認(rèn)為自己的小孩是天才，要超過(guò)平均水平。其實(shí)中國(guó)的父母在自己小孩進(jìn)入小學(xué)前也常有這種迷思。

“沃比岡湖的骰子”的是這樣一組骰子。每次投擲中，每一個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)大于每個(gè)骰子平均點(diǎn)數(shù)的概率超過(guò)1/2。如果你把這組骰子想象成小孩，投出的點(diǎn)數(shù)是開(kāi)始乘積，那就是它們的考試成績(jī)超過(guò)平均成績(jī)的概率都能過(guò)半，是不是聽(tīng)上去不太可能？但這樣一組骰子確實(shí)存在，比如這樣三個(gè)骰子，點(diǎn)數(shù)分布分別是：

A骰子: 3, 3, 3, 3, 3, 5

B和C骰子: 1, 1, 4, 4, 4, 4

可以驗(yàn)證對(duì)這組骰子，以下三個(gè)事件的概率都大于1/2：

A點(diǎn)數(shù)>(A點(diǎn)數(shù)+B點(diǎn)數(shù)+C點(diǎn)數(shù))/3

B點(diǎn)數(shù)>(A點(diǎn)數(shù)+B點(diǎn)數(shù)+C點(diǎn)數(shù))/3

C點(diǎn)數(shù)>(A點(diǎn)數(shù)+B點(diǎn)數(shù)+C點(diǎn)數(shù))/3

比如，如果用(a, b, c)表示三個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)，則A點(diǎn)數(shù)大于平均點(diǎn)數(shù)的情形發(fā)生在以下情形：

(3, 1, 1,) , (3, 1, 4)，(3, 4, 1), (5, *, *)

四種情形的概率分別是：5/54, 10/54, 10/54, 1/6，總和是34/54=17/27>1/2。

B點(diǎn)數(shù)大于平均點(diǎn)數(shù)情形發(fā)生在以下事件：

(3, 4, *), (5, 4, 1) 概率分別是5/9和1/27，總和是16/27>1/2

C的情形同B。

這種情況看似一個(gè)悖論，但根源在于以上三個(gè)事件是相關(guān)的，而非獨(dú)立事件。這個(gè)現(xiàn)象在中國(guó)也許叫做“別人家的骰子”更合適。