一、圓的基本概念（名稱、定義和元素）

1、實(shí)驗(yàn)：

取一根繩子，把它的一端用圖釘固定在畫板上，另一端系一支鉛筆，然后拉緊繩子，并使它繞著固定的一端旋轉(zhuǎn)一周。

2、發(fā)現(xiàn)：

繩子長(zhǎng)度、繩子的一端固定不變，繩子的另一端在繞著它（固定不變）做圓周運(yùn)動(dòng)，即旋轉(zhuǎn)一周。

3、概念：

①我們把繩子的一端繞著另一端（固定不變）旋轉(zhuǎn)后所得到的封閉曲線叫做圓，定點(diǎn)O（另一端的端點(diǎn))叫做圓心（1個(gè)）,定長(zhǎng)繩子叫做半徑（無(wú)數(shù)條），用“r"表示。以點(diǎn)O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀做“圓O”。

②連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦（無(wú)數(shù)條），經(jīng)過圓心的弦（最長(zhǎng)的直徑）叫做直徑（無(wú)數(shù)條），直徑是半徑的兩倍。

③圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓?。o(wú)數(shù)條），簡(jiǎn)稱弧，用符號(hào)“”表示。圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓劃分成兩條弧，每一條都叫做半圓，小于半圓的圓弧叫做劣弧，大于半圓的圓弧叫做優(yōu)弧。半徑相等的兩個(gè)圓能夠完全重合，我們把半徑相等的兩個(gè)圓叫做等圓，能夠完全重合的圓弧稱為相等的弧。

④一般地，r為圓的半徑，d為同一平面內(nèi)任意一點(diǎn)P到圓心的距離，則有以下關(guān)系：

（1）d＞r點(diǎn)在圓外

（2）d=r點(diǎn)在圓上

（3）d＜r點(diǎn)在圓內(nèi)

⑤經(jīng)過三角形各個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，三角形叫做圓的內(nèi)接三角形。三角形的外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)。

⑥不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。（有且只有一個(gè)圓）

證明如下：（以下圖為例）

分別作AB、AC、BC的中垂線（作兩條也可以），交于O點(diǎn)，用圓規(guī)作以O(shè)點(diǎn)為圓心，以O(shè)A為半徑的圓。

因?yàn)锳B的中垂線垂直且平分AB，根據(jù)勾股定理可得，OA=OB，同理可得，OA=OC,OB=OC，所以，OA=OB=OC，滿足圓的定義和性質(zhì)，即A、B、C三點(diǎn)共圓，不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。

二、圖形的旋轉(zhuǎn)

1、一般地，一個(gè)圖形繞著自身的一個(gè)固定的點(diǎn)，按照一定的方向和角度旋轉(zhuǎn)形成另一個(gè)一樣的圖形，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，這個(gè)固定的點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心。

2、性質(zhì)：

①圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得到的圖形與原圖形全等。

②對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角度等于旋轉(zhuǎn)的角度。

③當(dāng)圖形旋轉(zhuǎn)的角度為180°時(shí)，所得的圖形和原圖形關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心成中心對(duì)稱。

④當(dāng)圖形旋轉(zhuǎn)的角度為360°時(shí)，所得的圖形和原圖形重合。

三、垂徑定理

1、性質(zhì)：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧。

證明如下：（如圖）

因?yàn)锳B⊥CD，OA=OB，所以AE=BE（勾股定理），CD平分AB，所以AC=BC（三角形中垂線逆定理），AC、BC所對(duì)的弧長(zhǎng)也相等。即：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧。（其中:圓心O點(diǎn)到弦AB的距離OE叫做弦心距，C點(diǎn)叫做弧AB的中點(diǎn)，D點(diǎn)叫做弧ADB的中點(diǎn)）

2、定理：

①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧。

證明：（如上圖）

因?yàn)镃D平分AB，OA=OB，所以，△AOE≌△BOE，AB⊥CD，所以AC=BC（三角形中垂線逆定理），AC、BC所對(duì)的弧長(zhǎng)也相等。即：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧。

②平分弧的直徑垂直平分弧所對(duì)的弦。

（證明：先證明△ACO≌△BCO，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可以得到，CD且垂直平分AB即：平分弧的直徑垂直平分弧所對(duì)的弦。）

四、圓心角

1、頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。（0°＜圓心角＜360°）

例如上圖中：∠AOB就是圓心角等等。

2、圓心角定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等。（所對(duì)的弦心距也相等）（證明：可以利用旋轉(zhuǎn)或者三角形全等的方法）

3、我們知道，圓周角為360°，如果用360條射線把圓等分，每相鄰兩條射線所成的圓心角為1°，于是，我們把1°的圓心角所對(duì)的弧叫做1°的弧，……，n°的圓心角所對(duì)的弧就是n°的弧。（n＞0）

4、在等圓或同圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個(gè)弦心距中有一對(duì)量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各對(duì)量都相等。

（證明：只要證明兩個(gè)圓心角所在的三角形或者兩個(gè)弦心距所在的三角形全等，即可推出其余結(jié)論）

五、圓周角

1，頂點(diǎn)在圓上，是兩邊和圓相交的公共點(diǎn)，像這樣的角叫做圓周角。（0°＜圓周角＜180°）

例如上圖中：∠ACB就是圓周角等等。

2、圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半。

證明：（三種情況如下圖）

①∠AOC=2∠ABC（圓心在圓周角的一邊上時(shí)）

因?yàn)樵凇袿中，OB=OC，所以∠ABC=∠OCB

又因?yàn)椤螦OC=∠ABC+∠OCB，

所以∠AOC=2∠ABC。

②∠AOC=2∠AEC（圓心在圓周角內(nèi)部時(shí)）

連接EO，延長(zhǎng)交⊙O于F。

根據(jù)①的結(jié)論可以得到，∠AOF=2∠AEF，∠COF=2∠CEF。

所以，∠AOC=∠AOF+∠COF=2（∠AEF+∠CEF）。

所以，∠AOC=2∠AEC。

③∠AOC=2∠ADC（圓心在圓周角外部時(shí)）

連接DO延長(zhǎng)交圓于G。

根據(jù)①的結(jié)論可以得到，∠COG=2∠CDG，∠AOG=2∠ADG。

所以∠ADC=∠ADG-∠CDG=1/2（∠AOG-∠COG），

所以∠AOC=2∠ADC。

3、圓周角定理推論：

①半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角。（半圓/直徑的圓心角是平角為180°）

②90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。（圓心角為180°是平角）

③在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；相等的圓周角所對(duì)的弧也相等。（圓心角定理的推論+圓周角的定理）

六、圓內(nèi)接四邊形

1、如果一個(gè)四邊形的各個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上，那么，這個(gè)四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形，這個(gè)圓叫做四邊形的外接圓。

2、性質(zhì)定理：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。

證明：（如圖）

因?yàn)椤螦=∠BOC/2，∠D=1/2（360°-∠BOC）=180°-∠BOC/2（圓周角定理）

所以，∠A+∠D=∠BOC/2+180°-∠BOC/2=180°，同理可得，∠B+∠C=180°。

所以，圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。

七、正多邊形

1、我們把各邊相等、各內(nèi)角也相等的多邊形叫做正多邊形，經(jīng)過一個(gè)正多邊形的各個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做這個(gè)正多邊形的外接圓，這個(gè)正多邊形叫做圓內(nèi)接正多邊形。（任何正多邊形都有一個(gè)外接圓）

例如：等邊三角形、正方形等等。

八、弧長(zhǎng)及扇形面積

1、弧長(zhǎng)：

設(shè)半徑為R的圓中，n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為l（R、n、l＞0）。

因?yàn)閳A的周長(zhǎng)為2兀R,1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為12兀R/360，

所以，，n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為l=n2兀R/360=n兀R/180。

弧長(zhǎng)公式：l=n兀R/180。

2、扇形面積：

設(shè)半徑為R的圓中，n°的圓心角所對(duì)的扇形面積為S（R、n、l、S＞0）

因?yàn)閳A的面積為兀R^2，1°的圓心角所對(duì)的扇形面積為1兀R^2/360，

所以，n°的圓心角所對(duì)的扇形面積為S=n兀R^2/360，

又因?yàn)榛￠L(zhǎng)公式：l=n兀R/180，所以S=lR/2，

扇形面積：S=n兀R^2/360=lR/2。