本系列文章將從下面不同角度解析線性代數(shù)的本質(zhì)，本文是本系列第二篇

向量究竟是什么？

向量的線性組合，基與線性相關

矩陣與線性相關

矩陣乘法與復合線性變換

三維空間中的線性變換

行列式

逆矩陣，列空間，秩與零空間

克萊姆法則

非方陣

點積與對偶性

叉積

以線性變換眼光看叉積

基變換

特征向量與特征值

抽象向量空間

快速計算二階矩陣特征值

張量，協(xié)變與逆變和秩

目錄

矩陣乘法與復合線性變換

三維空間中的線性變換

行列式

矩陣乘法與復合線性變換

我們已經(jīng)知道矩陣是一種線性變換，現(xiàn)在對基向量連續(xù)施加兩種線性變換，例如，先旋轉，再剪切，其實，這在整體上可以看作是一種新的變換，這個新的變換被稱為前兩種獨立變換的“復合變換”。

這個復合變換的矩陣可以通過追蹤基向量的坐標得到，如上圖所示，變換后的坐標

，變換后的坐標，那么該復合變換矩陣就可以表示為：，當我們求一個向量經(jīng)過復合變換后的坐標時，可以通過下圖右邊公式那樣直接使用復合變換矩陣，而不需要像下圖左邊那樣對向量連續(xù)施加兩次單獨的變換。

更一般地，對于矩陣乘法，我們就有了新的認識：他的幾何意義是先施加一個變換，再施加另一個變換，施加順序從右到左，順序不同得到的結果也不同。

推廣到更一般地數(shù)學含義：

根據(jù)前面章節(jié)學習到的知識，要想求線性變換對向量的作用，首先要得到變換后的基向量的坐標，讓我們來看一個例子，假設連續(xù)施加兩個線性變換和。

要想跟蹤的去向，先看的第一列，這是經(jīng)過變換后首先到達的地方：，然后新的要經(jīng)過的變換后到達最終目的地：

該結果作為復合矩陣的第一列，經(jīng)過同樣的變換過程到達最終目的地，結果為復合變換矩陣第二列，復合變換的最終結果為：

看，這不就是課堂上老師教的矩陣乘法計算規(guī)則嘛，只不過我們是從幾何的角度推出來的。

大家可以從幾何的角度來自行分析一下矩陣乘法的法則：

交換律：

結合率：(AB)C=A(BC)

三維空間中的線性變換

前面一直在討論二維情況，也就是將二維向量映射成二維向量，其實，只要掌握了二維線性變換的核心本質(zhì)，就能輕松的擴展到更高維的空間中。

三維空間變換以三維向量為輸入，以三維向量為輸出，和二維向量一樣，一個線性變換是在操縱三維空間中所有的點，變換后保持空間中網(wǎng)格線等距且原點不變。

與二維一樣，三維線性變換也是由基向量的去向完全決定，只不過基向量由，變成了，，,例如，我們得到變換后三個基向量的坐標，那么由三個新的基向量組成矩陣就是三維線性變換矩陣。

要想計算一個向量經(jīng)過上面的三維變換后的新坐標，同樣可以參照二維空間的計算方式，結果向量是基向量的線性組合。

同理兩個三維矩陣的相乘也可以合并成一個復合變換矩陣，三維變換在計算機圖形學中有著廣泛的應用。

三維矩陣的乘法同樣遵循二維矩陣乘法的思路。

行列式

前面我們從幾何的角度對線性變換有了很直觀的認識，其中有的線性變換對空間向外拉伸，有的則是將空間向內(nèi)擠壓。

有一種方法對于理解這些線性變換很有用，那就是準確測量向內(nèi)擠壓了多少，向外拉伸了多少，更具體地講就是計算出一個區(qū)域增大或減少的比例。

讓我們來看一個例子，假設一個線性變換矩陣，變換前基向量形成的四邊形面積為1。

變換后，如下圖，基向量形成一個2*3的矩形，面積為6

所以我們說這個變換將基向量形成的方格拉伸了6倍，根據(jù)線性變換的性質(zhì)，如下圖，所有可形成的區(qū)域都被拉伸了同樣的大小。

現(xiàn)在，我們要拋出一個重磅信息：這個面積的變化的比例值就是該線性變換矩陣的行列式，這就是行列式的幾何意義。

如果行列式值大于1，則代表該線性變換矩陣將一個區(qū)域進行拉伸，大于0且小于1的數(shù)代表縮小，負數(shù)代表反方向縮放。

注意，如果一個線性變換矩陣的行列式為0，則代表該變換將一個區(qū)域壓縮成了一條線或者是一個點，從幾何意義上講，也就是說該變換將空間壓縮到了更小的維度上，這在我們后面判斷線性方程組是否有解提供了重要依據(jù)。

同理，三維線性變換的行列式代表的則是體積的變換比例，如下圖，一個以初始基向量形成的1*1*1的立方體經(jīng)過線性變換后該體積變成了如下圖的大小。

三維變換矩陣的行列式為0，代表空間被壓縮成了一個面，或者一個點，如果行列式是負數(shù)，說明空間定向已經(jīng)發(fā)生改變，不能用右手定則描述基向量之間的關系。

前面說了行列式的幾何意義，那如何求一個矩陣的行列式呢？

上圖是一個行列式的計算公式，那它的幾何意義是什么呢？如下圖，假設給定一個特殊矩陣，被縮放了a倍，被縮放了d倍，變換前后面積縮放了ad倍，這正符合行列式計算公式的結果。

前面我們給出了一個特殊的例子，但推廣到更一般的矩陣，也是滿足上面公式的。