一、一端固定，另一端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力（歐拉公式）推導(dǎo)

推導(dǎo)如下:

設(shè)離原點(diǎn)距離為 x 處截面的彎矩為,撓度為;

則有? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?;

則撓曲線微分方程為? ?;

令,? ? ?則? ? ? ? ??,

? ? ??,進(jìn)而有

? ? ?,

由邊界條件知：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

則該方程組為關(guān)于的齊次線性方程組，又不能全為0，

故該方程組有非零解，則方程組系數(shù)矩陣行列式為0，即

? ?

解該超越方程，得 kl 的大于 0?的最小值為 4.49，取 kl=4.49，使壓力為最小值.(可用matlab或者卡西歐計(jì)算器對(duì)超越方程進(jìn)行求解)

?故臨界壓力為? ? ?.

二、兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力（歐拉公式）推導(dǎo)

設(shè)離原點(diǎn)距離為 x 處截面彎矩為?,撓度為?; 則?;

則撓曲線微分方程為?;

令?,? ? 得? ? ? ?,

解得?, 由邊界條件知：;

? ? 可輕易得? ? ? ? ? ????；

又??因?yàn)槿绻? ,那么?,即桿件未發(fā)生變形,

? ? 那么這就與桿在受壓時(shí)發(fā)生微小變形相矛盾，所以? 不成立.

? ? 進(jìn)而? ? ? ? ???

? ? 故? ? ? ?? ? ? ?

又由于 n=0 時(shí)，F(xiàn)=0 ,此時(shí)桿件未受壓力，這與我們所討論的情況不符,

? ? 故取 n=1,使壓力為最小值，

? ?所以此時(shí)壓桿的臨界壓力為

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

三、一端固定，另一端自由細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力（歐拉公式）推導(dǎo)

設(shè)離原點(diǎn)距離為 x 處截面的彎矩為? ,撓度為?;則?;

則撓曲線微分方程為?;?

令?,? ? ????;

從而得通解??,所以??;

由邊界條件知：?;

得到? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??;

這是關(guān)于? 的一個(gè)齊次線性方程組 ，又因?yàn)??不能均為0，

故該方程組必有非零解，所以其系數(shù)矩陣行列式為0；

進(jìn)而有? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ;

?或?;

又當(dāng)??時(shí)，，即桿不受壓力，這與討論的情況不符，故舍去，

;

,? 故取 n=1,使 F 為最小值，

所以此時(shí)壓桿臨界壓為? ? ? ? ? ?.

四、兩端固定細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力（歐拉公式）推導(dǎo)

設(shè)壓桿兩端受壓力為??,彎矩為??,如圖所示，

設(shè)離原點(diǎn)距離為 x 處截面的彎矩為??,撓度為?;則??;

則撓曲線微分方程為;

令?;? ? ?則? ???;

可得通解為,則?；

由邊界條件，?;

得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?;

由上式可以直接解得? ??;

從而? 滿足?;

;

又因?yàn)?n=0 時(shí)，F(xiàn)=0，即桿不受壓力，這與討論的情況不符；

故取 n=1?,使壓力為最小值；故此時(shí)壓桿臨界壓力為

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

以上便是四個(gè)基本類型的細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力（歐拉公式）的推導(dǎo)過程，下面再來看看具體問題中應(yīng)該如何使用這種推導(dǎo)的思維和方法吧。

（2020年南京航空航天大學(xué)816材料力學(xué)）

如圖所示，空心細(xì)長(zhǎng)桿彈性模量為，長(zhǎng)度為??,外徑為??,內(nèi)徑為??均已知，細(xì)長(zhǎng)桿一端與地面固定，另一端與不可伸長(zhǎng)的繩相連，僅考慮平面內(nèi)穩(wěn)定性，試推導(dǎo)臨界載荷公式。

由于繩不可伸長(zhǎng)，故桿受壓時(shí)只能往左側(cè)彎曲，如下圖所示：（為繩對(duì)桿的拉力）

設(shè)離原點(diǎn)距離為 x 處截面彎矩為,撓度為?,

則??;

撓曲線微分方程為? ???;

令, 則??;

,

進(jìn)而? ? ?;

然后找邊界條件??;

由懸臂梁在集中力作用下的撓度公式，得??;

所以有??;

故由邊界條件和??式，可得到一個(gè)方程組如下：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

該方程組為關(guān)于??的齊次線性方程組，且??不能均為0，

故該方程組一定有非零解，所以其系數(shù)矩陣行列式為0；

從而? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??;

即? ? ? ? ? ? ???;

解該超越方程，得滿足條件的 kl 的最小值為 4.69 ，故取 kl=4.69?，使壓力值最小.

則該壓桿的臨界壓力為

? ? ? ??.

后面會(huì)補(bǔ)充縱橫彎曲下的最大正應(yīng)力和最大撓度的問題。