【暗黑2：狂賭】二項分布與泊松分布
經(jīng)過1周的賭戒指初步探索，我覺得這個系列足夠做很長很長時間的工作了，在此把一些所思所想和大家來進(jìn)行一些分享，既然選擇了公開發(fā)表，那么必然就不在意各種評論，只要傳達(dá)我想傳達(dá)的就可以了。
精簡版：
對于以94級角色賭戒指為例（其實賭戒指不需要這么高等級）：
1）亮金戒指適合用二項分布來描述
2）暗金戒指適合用泊松分布來描述
注：因為綠色戒指沒用，藍(lán)色戒指除了高mf、fcr/6lm巴哈姆特這幾種其余也沒用。
注2：概率僅供參考，并不能真實預(yù)測具體每一次的結(jié)果；說白了就是信不信隨意啦啦~~~~~~~~
以下是推算與估計，有興趣的朋友可以來玩味一下：
????二項分布，也叫0-1分布，也就是通常說的“拋硬幣問題”，如果說拋1次硬幣，A面向上的概率是p，那么拋n次硬幣，問“k次向上的概率是多少？”
????根據(jù)二項式定理的展開式，我們很容易得到二項分布的概率公式，也就是如下：
????一般地，二項分布針對的是n次獨立試驗，每次試驗有且只有2個結(jié)果（A或B），且每次發(fā)生事件A的概率均為p。數(shù)學(xué)期望易得出為E=np。
????以賭博買到亮金戒指概率為0.1為例，那么買1000個戒指，數(shù)學(xué)期望自然是E=np=100，那么獲得100個亮金戒指的概率如何呢？?
????乍一看覺得很低是嗎，這說明，正好買出100個亮金戒指的概率是很低的，但買出80-120個亮金戒指的概率：
????就很高，所以概率并不預(yù)測每一次的具體結(jié)果，但是可以告訴我們大概率發(fā)生的事件是什么，也就是說如果我們買1000個戒指，獲得80-120亮金戒指的概率高達(dá)97%，雖然看起來沒什么用，但我們可以知道，想要人品爆炸，買出150個，200個亮金戒指或者人品敗盡只有三五十個也都是幾近不可能的。如果用圖像表示，那么就是這樣：
????但，暗金戒指，用這種方法估計并不是一個明智的選擇，理由是：
暗金戒指的掉率1/2000實在是一個太小的數(shù)字。
????我們曾經(jīng)在賭海鷗的文章中說過，面對1/2000的概率，如果賭2000次，那么獲得海鷗得概率是1-e^-1=63.21%，也就是2/3不到，這其實是一種最初的認(rèn)識。
????事實上，數(shù)學(xué)上，早就有人對這種二項分布中的特殊情形，“小概率事件”的二項分布進(jìn)行研究，這便是大名鼎鼎，我大二一直當(dāng)時沒搞懂全靠死記硬背的泊松分布。
????泊松分布實為二項分布的極限特例，它是在二項分布上作了兩點近似：
????①n→＋∞，②p→0
????即n是一個很大的數(shù)，也就是說試驗次數(shù)非常非常多，而p概率是一個很小很小的數(shù)，而我們知道二項分布的數(shù)學(xué)期望是E=np，這里就定義了一個新變量，也就是泊松分布中的λ，定義為：λ=np。
????我們從二項分布的概率公式出發(fā)：
????展開組合數(shù)，代入λ=np，消去n，可得：
????由于n是一個非常非常大的數(shù)，而k，也就是小概率事件發(fā)生的次數(shù)，往往是一個很小的整數(shù)，如1，2，3，4，5，6；換算到游戲里，例如“賭出1個喬丹的概率”類似這樣，因此n(n-1)(n-2)···(n-k+1)可以看作是k個n的乘積，即：
????根據(jù)冪的運算法則，回代λ=np，同時對(1-p)^(λ/p-k)進(jìn)行變形：
? ? 我們知道，根據(jù)兩個重要極限之一自然對數(shù)的底數(shù)e的定義，由于小概率事件前提“p趨向于0”，那么式7可以進(jìn)一步變形為：
整理后，即可得到著名的泊松分布的概率公式：
????由此，我們可以發(fā)現(xiàn)：
????“刷裝備”本質(zhì)上是一種伯努利試驗，它服從二項分布；而“刷稀有裝備”本質(zhì)上是二項分布的一種極限特例，用泊松分布來描述更合適。
????從計算上說，泊松分布的計算更加簡便，下面我們以以前考慮過的“1/2000概率賭海鷗匕首，賭2000次獲得海鷗匕首”為例，用兩種分布公式進(jìn)行求解：
????二項分布：
????泊松分布（此例中λ=np=2000*1/2000=1）：
????進(jìn)一步可以求出，二者的誤差僅為0.00015，可以說，此時使用泊松分布是很方便了。
????下面我們來討論一下“小概率”應(yīng)該是多小，才叫?。?br>
????我們來討論λ=np=1時，使用二項分布和泊松分布求解p(x>0)的結(jié)果及誤差：
????用對數(shù)坐標(biāo)畫圖：
結(jié)合圖2、表1可以看出：
????1）泊松分布計算出的值偏小，即小于準(zhǔn)確值二項分布
????2）隨著n不斷增大，二項分布的值越來越接近泊松分布
????3）約n＞100時，圖像上肉眼幾乎不可見，二項分布約等于泊松分布
再結(jié)合誤差分析，我個人的結(jié)論是：
????i) 我理解的小概率事件，是指發(fā)生概率＜1%（即上文n＞100）的事件
????ii) 小概率事件用泊松分布估計更方便，概率越低，誤差越小。以賭暗金物品為例(n=2000)，使用泊松分布估計誤差僅為0.00015，即不到0.015%。
后記：
????這篇文章算是一段時間以來的所思所想了，想起大四當(dāng)初第一次看到63.21%這個結(jié)果，激動得覺得發(fā)現(xiàn)了新世界，結(jié)果最近重新審視，發(fā)現(xiàn)居然就是大二概率課上學(xué)過的泊松分布，只可惜我當(dāng)時一直不理解泊松分布為什么如此，從來都是死記硬背，居然在暗黑2整出這一套，這我屬實沒想到。
????回想一下暗黑2給我?guī)淼目鞓肪烤乖诤翁?，我覺得這種快樂是復(fù)雜的：除了爆裝備，賣貨掙符文的快感；體驗游戲機制似乎也讓我樂在其中。
????我希望自己可以長期驗證一下這個機制，感謝大家一直以來的支持，我也會努力做出更高質(zhì)量的內(nèi)容回饋大家，希望大家繼續(xù)支持啦~
????祝大家游戲愉快！
