大家好，這里是末影狐，最近驊群成功舉辦了第二屆物理競(jìng)賽，筆者作為上屆冠軍有幸受邀參與了本次競(jìng)賽的出題。很高興不少群友對(duì)筆者出的題還是比較感興趣的，準(zhǔn)備在這里以專欄的形式做一個(gè)較為詳細(xì)的分析。

中學(xué)組

筆者為中學(xué)組出了一道電路題。這道題是比較早就在構(gòu)思的，當(dāng)時(shí)還沒準(zhǔn)備為第二屆比賽設(shè)置大學(xué)組，所以按要求沒有涉及任何微分方程的內(nèi)容。題型構(gòu)造上模仿了國際賽的風(fēng)格，這也是之前在討論時(shí)一些群友表示希望加入的，主要特點(diǎn)是內(nèi)容多小題多，但每步都不會(huì)太困難。

內(nèi)容上，涉及LC、RLC這些電路的暫態(tài)過程，雖然這些內(nèi)容要進(jìn)行詳細(xì)的學(xué)習(xí)都是要涉及微分方程的，但是我希望能夠以一種中學(xué)生能夠理解的形式呈現(xiàn)給大家，也一定程度上幫助不熟悉的同學(xué)建立一些對(duì)這種線性系統(tǒng)的直觀感受。先簡(jiǎn)單看一下參考答案。

這道題本身并不復(fù)雜，題干已經(jīng)有大量的提示。題目中說明了，如果有一個(gè)合適的電路和力學(xué)系統(tǒng)相對(duì)應(yīng)，將通過回路的電荷 Q 對(duì)應(yīng)到力學(xué)系統(tǒng)的質(zhì)點(diǎn)位置 x，電流 I 對(duì)應(yīng)到速度 v，電壓 U 對(duì)應(yīng)到力 F，那么兩個(gè)系統(tǒng)將給出形式上完全相同的運(yùn)動(dòng)方程。而電容在充入電荷時(shí)儲(chǔ)能并提供電壓，可以看作彈簧；電感在通過電流時(shí)儲(chǔ)能并體現(xiàn)出“慣性”（電流改變需要提供電壓），可以看作質(zhì)點(diǎn)。

有了這樣的理解，前2小題事實(shí)上并不困難，只要愿意做的大部分都做對(duì)了。第一題只需要把動(dòng)能表達(dá)式替換成電路的參量即可得到。第二題也是類似的思路，電容作為彈簧，輸出的電荷流過電感，就相當(dāng)于彈簧連接一個(gè)質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行簡(jiǎn)諧振動(dòng)。需要注意的是，彈簧振子周期公式是

有些同學(xué)記反了根號(hào)內(nèi)的內(nèi)容。寫出來的結(jié)果要驗(yàn)算可以做個(gè)量綱分析看量綱是不是[T]。

第三小題是稍微難一點(diǎn)的類比推理，不過思路也是類似的，需要一個(gè)正比于速度的阻尼，在電路中就對(duì)應(yīng)一個(gè)元件消耗一定壓降，正比于電流大小，所以這個(gè)元件顯然是電阻。

難點(diǎn)

第四小題開始是主要難點(diǎn)，大部分選手沒能做對(duì)。第四題看圖像猜暫態(tài)過程的解，算是綜合考察了選手的物理直覺和天賦。關(guān)鍵在于一個(gè)“猜”，我并未要求你具體求解任何微分方程，你只要猜出一個(gè)能凹出這種圖像的合適函數(shù)。下面詳細(xì)分析如何僅根據(jù)高中知識(shí)猜這個(gè)解。

首先如果只是列出運(yùn)動(dòng)方程并不困難。

該方程只比簡(jiǎn)諧振子的方程多一個(gè)阻尼項(xiàng)，而我們都知道簡(jiǎn)諧振動(dòng)的圖像是三角函數(shù)。結(jié)合給出的圖像，有理由猜測(cè)阻尼振動(dòng)解當(dāng)中三角函數(shù)因子仍然會(huì)被保留，只是總體的振幅是在不斷減小的。如果拿尺子量一下圖像上各個(gè)零點(diǎn)的位置也可以確認(rèn)，該振動(dòng)的頻率也是一個(gè)恒定值。我們應(yīng)當(dāng)猜的解是

振幅 A 是隨時(shí)間變化的，并且應(yīng)當(dāng)是一個(gè)隨時(shí)間單調(diào)遞減，最后趨于0的函數(shù)。如何猜這個(gè)函數(shù)呢？

我們?cè)儆^察運(yùn)動(dòng)方程，只含位置 x 及其一階導(dǎo)、二階導(dǎo)，其他都是常數(shù)。這要求我們的解的導(dǎo)數(shù)和自身直接相關(guān)?；貞浉咧薪痰母鞣N函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，能滿足“求導(dǎo)和自身直接相關(guān)”的函數(shù)其實(shí)只有指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)。這時(shí)候，猜測(cè)

就是最自然最直接的一個(gè)想法。所以阻尼振動(dòng)解就是

所以我們即使沒有實(shí)際求解微分方程，也可以綜合我們了解的各種條件去猜測(cè)系統(tǒng)的解。事實(shí)上很多物理系統(tǒng)我們都是先猜測(cè)解，之后再驗(yàn)證確實(shí)是解的，希望這個(gè)小題能啟發(fā)大家面對(duì)類似問題時(shí)的思路。

來到第5小題，這里就是比較新奇的內(nèi)容了，這題得分率也是最低的。

首先可以確定三個(gè)彈簧兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的耦合擺系統(tǒng)需要三個(gè)電容兩個(gè)電感的電路。畫電路的關(guān)鍵在于如何連接電容電感使得所有參數(shù)能夠剛好對(duì)上。

首先需要明確的一點(diǎn)是：系統(tǒng)的自由度。耦合擺系統(tǒng)有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，系統(tǒng)的狀態(tài)就需要兩個(gè)獨(dú)立參量來描述，具體來說就是兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)各自的位置 .? 對(duì)應(yīng)到電路中，就要求我們畫的電路存在兩個(gè)獨(dú)立的回路。不少錯(cuò)誤答案都簡(jiǎn)單地把所有電容電感串聯(lián)成單一的回路，這樣回路只能通過單一的電流，是沒辦法模擬兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)耦合運(yùn)動(dòng)的。

接下來是明確幾個(gè)電容和電感的關(guān)系。兩邊的兩個(gè)彈簧只連接一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)地其中兩個(gè)電容必須和電感簡(jiǎn)單地串聯(lián)；而第三個(gè)彈簧同時(shí)連接兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，意味著第三個(gè)電容必須放在兩個(gè)回路的公共部分，同時(shí)接收通過兩個(gè)電感的電流。

綜合以上分析，這就是答案中的圖的由來。當(dāng)然，所有和這個(gè)圖同胚的圖也是正確的，例如以下部分群友的正確答案：

總體來說這道題其實(shí)不涉及任何計(jì)算，主要考察的就是物理直覺。只要敢猜就能拿到不少分?jǐn)?shù)。

這里也祝賀一下本屆中學(xué)組冠軍 Mysterious 本題順利拿下滿分，他其實(shí)上屆就該拿第一了，不過當(dāng)時(shí)我沒收住手，祝賀他這次拿到屬于他的冠軍。

大學(xué)組

大學(xué)組的選考題量子力學(xué)也是我出的，主要是一些算符代數(shù)的內(nèi)容。對(duì)于系統(tǒng)學(xué)習(xí)過量子力學(xué)的同學(xué)來說并不困難，考慮出這些內(nèi)容主要是因?yàn)閲鴥?nèi)頗為流行的教材曾謹(jǐn)言《量子》對(duì)于算符的代數(shù)，包括升降算符解法等內(nèi)容涉及較少，但這實(shí)際上是頗為巧妙且實(shí)用的知識(shí)，在后續(xù)推廣到量子場(chǎng)論的時(shí)候有廣泛的應(yīng)用。

參考答案如下

由于大學(xué)組人數(shù)較少，而且很多選手不敢做選考題，量子選考題唯一的答案來自大學(xué)組亞軍Avatara.? 他的答案除了第一小題漏負(fù)號(hào)被扣了2分以外都相當(dāng)完美。巧的是，他離第一名只差2分。

出這道題主要是希望展示量子力學(xué)背后精美而簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，展示一種理論化研究的思維方式，這種思路在后續(xù)更深入的理論中也很常用。當(dāng)然這里沒空展開細(xì)講，內(nèi)容太多了。我上學(xué)期學(xué)量子場(chǎng)論的時(shí)候在專欄同步更新過一些比較簡(jiǎn)略的筆記，后續(xù)如果有時(shí)間可能會(huì)重新整理一些重制版，讀者有興趣可以考慮關(guān)注一下。