為什么要寫(xiě)這個(gè)呢，因?yàn)榇蛩惆l(fā)熱傳導(dǎo)的視頻了，但是又不想讓視頻過(guò)于“硬核”，因此把硬核部分放到專欄。

熱傳導(dǎo)問(wèn)題基于兩個(gè)基本規(guī)律：

能量守恒定律 牛頓冷卻定律

設(shè)有一塊連續(xù)介質(zhì)，取一個(gè)直角的坐標(biāo)系，并用u(x,y,z,t)表示點(diǎn)(x,y,z)在時(shí)間t時(shí)刻的溫度。

由牛頓冷卻定律，若沿著一個(gè)方向有溫度差，那么在該方向上就會(huì)有熱量的傳遞。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述，就是： 單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)垂直該方向的單位面積的熱量q與溫度的空間變化率成正比

即

其中q就是熱流密度(類比密度的定義：?jiǎn)挝簧系馁|(zhì)量)，k是導(dǎo)熱率(即成正比的比例是多少)

負(fù)號(hào)表示熱流的方向(q的正負(fù))和溫度變化的方向(u對(duì)x的偏導(dǎo))相反，即熱量從高溫流向低溫。

在這里停一下，形象化解釋一下公式。熱流就是熱量的流動(dòng)方向，也就是熱輻射的輻射方向，可以形象化理解為暖流的流動(dòng)方向。

而u對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，就是所謂梯度(gradient)。它的方向是沿著等值線的最快下降方向。

所以上面那個(gè)公式意思就是，熱流方向是負(fù)溫度的梯度方向。

好了繼續(xù)

因?yàn)楦道锶~研究的是三維問(wèn)題，所以在介質(zhì)的三個(gè)正交方向x,y,z都可以有溫度差，即

或者可以寫(xiě)作矢量形式

即熱流密度矢量q與溫度梯度成正比。

倒三角符號(hào)就是梯度的意思。

好了，我們接下來(lái)考慮介質(zhì)內(nèi)部的一個(gè)微小平行六面體。12條邊都與坐標(biāo)軸平行。

接下來(lái)考慮一個(gè)微小時(shí)間段Δt內(nèi)，熱量流入這個(gè)六面體。因?yàn)槭橇鶄€(gè)面，所以是xyz三個(gè)方向都有熱量流入。

Δt內(nèi)沿x方向流入熱量=一個(gè)x面的流入熱量-另一個(gè)x面的流出熱量，一個(gè)面的流入能量就是熱流密度乘面積，再乘上流入時(shí)間Δt。面積也就是y,z兩條邊的邊長(zhǎng)相乘，S=ΔyΔz。

公式為：

y方向同理。Δt內(nèi)沿y方向流入熱量=一個(gè)y面的流入熱量-另一個(gè)y面的流出熱量，一個(gè)面的流入能量就是熱流密度乘面積，再乘上流入時(shí)間Δt。面積也就是x,z兩條邊的邊長(zhǎng)相乘，S=ΔxΔz。

公式為：

z方向同理。Δt內(nèi)沿z方向流入熱量=一個(gè)z面的流入熱量-另一個(gè)z面的流出熱量，一個(gè)面的流入能量就是熱流密度乘面積，再乘上流入時(shí)間Δt。面積也就是x,y兩條邊的邊長(zhǎng)相乘，S=ΔxΔy。

公式為：

然后把q的表達(dá)式代入上面的公式中。

好了停在這里解釋一下，這里用到一些微分知識(shí)

對(duì)于一元函數(shù)，可微和可導(dǎo)是一樣的。微分指的就是兩個(gè)點(diǎn)y值的差值的主要線性部分。

上面的公式把鄰域的兩個(gè)一階導(dǎo)數(shù)相減寫(xiě)成了二階導(dǎo)數(shù)*dx形式，就是利用了微分。

因此Δt時(shí)間內(nèi)三個(gè)方向凈得能量：

總共是三個(gè)方向的能量相加，即

這里用到了拉普拉斯算子

好了到了這一步我們得到了單位時(shí)間內(nèi)這個(gè)六面體的凈得能量。由能量守恒定律，凈流入的能量等于該介質(zhì)在此時(shí)間內(nèi)溫度升高所需要的熱量。

由燒水公式(比熱容公式)

好了觀察下兩邊，同時(shí)除ΔxΔyΔz，再把一邊挪成0，我們就得到了均勻各向同性介質(zhì)的熱傳導(dǎo)方程：

其中ρ是介質(zhì)密度，c是比熱容。

那么如果介質(zhì)內(nèi)部產(chǎn)熱呢？

我們就得到了一個(gè)非齊次方程。

好了，這就是熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)過(guò)程，至于傅里葉是怎么解決這個(gè)方程的，我下次再寫(xiě)。