建平中學(xué) 2022 學(xué)年度第二學(xué)期 3 月月考 高一數(shù)學(xué) B 層試題答案 2023.3.15 注意：1．答卷前，將姓名、班級(jí)、學(xué)號(hào)填寫清楚．答題時(shí)，書寫規(guī)范、表達(dá)準(zhǔn)確． 2．本試卷共有 21 道試題，滿分 100 分．考試時(shí)間 90 分鐘． 一、填空題（本大題滿分 36 分）本大題共有 12 題，只要求將最終結(jié)果直接填寫在答題紙相 應(yīng)的橫線上，每個(gè)空格填對(duì)得 3 分，否則一律零分． 1.函數(shù) 是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù) ____ ________. 2.函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間是______ __. 3.若 ，則 可以用反正切表示為_(kāi)_____ _______. 4.把函數(shù) 圖像上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái) 2 倍，縱坐標(biāo)不變，則所得 圖像的函數(shù)解析式為_(kāi)____ ___________. 5.函數(shù) 的定義域?yàn)開(kāi)_ _. 6. 函數(shù) 的值域?yàn)開(kāi)___ 1 3 , 2 4 ? ? ?? ? ? ? __________. 7.方程 的解集為_(kāi)_ 5 2 2 , 2 6 6 x x k x k x k k Z ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 或 或 . 8.已知 ，則 2 2 1 tan cot sin cos ? ? ? ? ? ? ? ___ ______. 9. 函數(shù) 的值域?yàn)開(kāi)____ 1 1, 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? _____ 10. 函數(shù) ? ? 2sin 3 f x x a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 在區(qū)間 有且只有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a 的 取值范圍是__________ ? ? ? ? __________________. 11. 函數(shù) ? ? cos 2 6 f x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? 的定義域?yàn)??0,m?，值域?yàn)?3 1, 2 ? ? ?? ? ? ? ，則實(shí)數(shù) 的取值 ? ? ? ? y x 2sin 2 , 0, ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 2sin 6 y x ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 5 2 ,2 , 3 3 k k k Z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 tan , 0, 3 x x ? ? ? ? x arctan 2 3 ? ? sin 2 6 y x ? ? ? ? ? ? ? ? ? sin 6 y x ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 sin cos 1 y x x ? ? ? 2sin 1 sin 3 x y x ? ? ? sin2 cos 0 x x ? ? tan +cot 2 ? ? ? 4 ?0, 2? ? m , 2 2 , 2 x x R x k x k k Z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且 sin +cos sin cos y x x x x ? ?? ? ? 2, 3 3,2范圍是______ ___________. 12.平面四邊形 中， ，則邊 長(zhǎng)度的取值范圍是 ______ _____. 二、選擇題（本大題滿分 12 分）本大題共有 4 題，每題都給出代號(hào)為 A、B、C、D 的四個(gè) 結(jié)論，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的，必須把答題紙上相應(yīng)的正確代號(hào)用 2B 鉛筆涂 黑，選對(duì)得 3 分，不選、選錯(cuò)或者選出的代號(hào)超過(guò)一個(gè)，一律零分． 13. 是 的 （ C ） A． 充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．既非充分也非必要條件 D．充要條件 14.銳角三角形 中，下列結(jié)論成立的是 （ A ） A． B． C．存在銳角 使 成立 D． 15.方程 的實(shí)數(shù)解個(gè)數(shù)為 （ B ） A． 5 個(gè) B．6 個(gè) C．7 個(gè) D．8 個(gè) 16.關(guān)于函數(shù) ? ? ? ? ? ? ? ? 有以下結(jié)論： ①函數(shù) 均為偶函數(shù)；②函數(shù) 均為周期函數(shù)； ③函數(shù) 定義域均為 ；④函數(shù) 值域均為 . 其中正確命題的個(gè)數(shù)是 （ B ） A． 1 個(gè) B．2 個(gè) C．3 個(gè) D．4 個(gè) ?三、解答題（本大題共 5 題，滿分 52 分）每題均需寫出詳細(xì)的解答過(guò)程． 17.（本題滿分 8 分） 已知 是第二象限角，則 ? ? ? ? ? ? ? ? 3 sin cos tan 2 2 sin tan f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， （1）化簡(jiǎn) f ?? ? 解：（1） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 3 sin cos tan cos sin tan 2 2 cos sin tan sin tan f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 5 , 12 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ABCD 0 A B C BC 75 , 4 ? ? ? ? ? ? ? AB ? ? 2 6 2 2,2 6 2 2 ? ? ? ? 2k k Z ? ? ? ? ? ? tan tan ? ? ? ABC sin cos A B ? sin cos A B ? , AB sin cos A B ? sin sin A B ? ? ? sin lg x x ? ? ?, ? ? f x g x ? ?, ? ? f x g x ? ?, ? ? f x g x ??1,1? ? ?, ? ? f x g x ??1,1? ? cos sin , sin cos f x x g x x ? ?18. （本題滿分 10 分） 已知 ,求下列各式的值： (1) （4 分）；(2) （6 分） 解：（1） 1 tan 3 ? ? ? ； （2）： tan tan 1 tan t n 1 a ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 19. （本題滿分 10 分） 設(shè)函數(shù) （1）求函數(shù) 的最小正周期；（4 分） （2）設(shè)函數(shù) 對(duì)任意 ，有 ，且當(dāng) 時(shí)， ， 求函數(shù) 在 上的解析式.（6 分） 解： ? ? 2 2 1 1 ( ) cos(2 ) sin sin 2 2 4 2 2 f x x x f x x ? ? ? ? ? ? ? （1） T ? ? ；（2） ? ? 1 sin 2 , 0 2 2 1 sin 2 , 2 2 x x g x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? 20. （本題滿分 12 分） 如圖，上海某避暑山莊所在地（即點(diǎn) O ）為吸引游客，準(zhǔn)備在門前兩條小路 和 OB 之間修建一處弓形花園，使之有著類似“冰淇淋”般的涼爽感，已知 6 AOB ? ? ? ，弓形 1 tan 2, tan 4 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? tan? sin( ) 2sin cos 2sin sin cos( ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? f x( ) g x( ) x? ( ) () 2 gx gx ? ? ? 0, 2 x ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ( ) ( ) 2 g x f x ? ? g x( ) ??? ,0? OA tan tan 1 tan 4 tan 2 4 1 tan 1 tan tan 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? sin( )2sincos sincoscossin 2sinsin cos( )coscos sinsin ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? 2 2 ( ) cos(2 ) sin 2 4 f x x x ? ? ? ?花園的弦長(zhǎng) ，記弓形花園的頂點(diǎn)為 ， ，設(shè) . （1）將 、 用含有 的關(guān)系式表示出來(lái)；（6 分） （2）該山莊準(zhǔn)備在點(diǎn) 處修建噴泉，為獲取更好的觀景視野，如何設(shè)計(jì) 、 的長(zhǎng)度， 才使得噴泉 M 與山莊 O 的距離的值最大？（6 分） 【答案】（1） OA ? 4 3sin? ；（2） 4 3 sin( ) 6 OB ? ? ? ? 【解析】（1）在 中，由正弦定理可知 ，則 ，由正弦定理可得 ，則 4 3 sin 4 3 sin( ( )) 4 3 sin( ) 6 6 OB OAB ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . （2） , , ,在 中，由余弦定理 得 cos( ) 6 ? ? ? ? 24(1 cos( 2 )) 4 8 3 sin( 2 ) 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8[ 3 sin( 2 ) 3 ? ? ? ? ? 3cos( 3 ? ? 2 ) ? ? 2 16 3 sin(2 ) 28 3 ? ? ? ? ? ? ， ， 2 7 ( , ) 3 3 ? ? ， 2 3 sin(2 ) [ 1, ) 3 2 ? ? ? ? ? ，當(dāng) 時(shí)，即 時(shí)， 取最大值 ， 5 4 3 sin 4 3 12 OA ? ? ? ? 3( 6 2) ? ? ? 6 3 2 ，OB ? 5 5 4 3 sin 4 3 sin 12 6 12 ? ? ? ? ? （ ） = ,即當(dāng) OB OA ? ? ?6 3 2 時(shí)， | | OM 取最大值. 21. （本題滿分 12 分） | | 2 3 AB ? M 6 MAB MBA ? ? ? ? ? OBA ? ? ?OA OB ? M OA OB ?OAB sin sin 6 OA AB ? ? ? sin sin 6 OB AB OAB ? ? ? | | 2 3 AB ? 2 AM BM ? ? ? ?OMB 2 48sin ( ) 6 ? ? ? ? 3cos( 2 ) 3 ? ? ? ? ] 28 ? 5 (0, ) 6 ? ? ? 2 2 3 ? ? ? ? ? 5 12 ? ? ? | | OM 6 3 2 ? OA? ? ? 2 2 3sin 4 3sin ? ? 6 MAB MBA ? ? ? ? ? 2 2 2 2 cos( ) 6 OM OB BM OB BM ? ? ? ? ? ? ? 4 16 3 sin( ) 6 ? ? ? ? ? 2 sin(2 ) 1 3 ? ? ? ? ? 28 16 3 4 2 3 ? ? ? (sin cos 4 6 ? ? cos sin ) 4 6 ? ? ?對(duì)于函數(shù) （ ），若存在非零常數(shù) ，使得對(duì)任意的 ，都有 成立，我們稱函數(shù) 為 “T 函數(shù)”，若對(duì)任意的 ，都有 成立，則稱 函數(shù) 為 “嚴(yán)格 T 函數(shù)”． （1）求證： 是“T 函數(shù)”；（6 分） （2）若函數(shù) 是“ 函數(shù)”，求 的取值范圍；（6 分） 證明：（1）取正常數(shù) T ? 2? ，則 ， 所以 對(duì) x R ? 恒成立， 所以 是“T 函數(shù)” （2）因?yàn)楹瘮?shù) 是“ 函數(shù)” 所 以 恒成立，即 恒成立 對(duì)一切 成立 所以 因?yàn)楫?dāng) 時(shí) 所以 f x( ) x D? T x D? ( ) ( ) f x T f x ? ? f x( ) x D? ( ) ( ) f x T f x ? ? f x( ) ( ) sin , f x x D R ? ?2 ( ) sin f x kx x ? ? 2 ? k ? ? ? ? ? ? 2 sin 2 sin f x x x f x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 f x f x ? ? ? ( ) sin , f x x D R ? ? 2 ( ) sin f x kx x ? ? 2 ? ( ) ( ) 2 f x f x ? ? ? 2 2 ( ) sin ( ) sin 2 2 k x x kx x ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2(sin cos ) 2cos 2 x x x k ? ? ? ? ? ? x?R max 2cos 2x k ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 2 x k k Z ? ? ? ? ? max 2cos 2 2 x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? k 2 ?