//有了微分當(dāng)然要有積分

//開(kāi)始吧

//這只是一個(gè)非常簡(jiǎn)略的筆記，內(nèi)容并不完整，在此分享，僅供參考

2.1 定義

復(fù)變函數(shù)積分的定義與實(shí)變函數(shù)類(lèi)似，但復(fù)變量位于一個(gè)復(fù)平面上，因此積分的值可能與路徑有關(guān)，本質(zhì)上是二維平面上實(shí)變函數(shù)的線(xiàn)積分。

復(fù)變函數(shù)積分除了類(lèi)似實(shí)變函數(shù)的線(xiàn)性特性，還有積分不等式：

其中M是在積分路徑上的最大值，L是積分路徑長(zhǎng)度。

2.2 柯西定理

2.2.1 對(duì)于閉單連通區(qū)域(沒(méi)有洞的閉區(qū)域)的任意分段光滑閉合曲線(xiàn)，若解析，

簡(jiǎn)單證明：對(duì)2.1的積分展開(kāi)式的實(shí)部、虛部分別利用格林公式，

S是l所包圍的區(qū)域。根據(jù)柯西-黎曼方程，兩個(gè)面積分均為0.

2.2.2 對(duì)于復(fù)連通區(qū)域，設(shè)有n個(gè)“洞”(即“內(nèi)邊界”)

規(guī)定積分正方向：沿(內(nèi)或外)邊界前進(jìn)時(shí)，保持該區(qū)域在路徑左側(cè)。

由柯西定理還可以給出推論：只要積分路徑連續(xù)變化而不越過(guò)“洞”，解析函數(shù)積分只與起點(diǎn)、終點(diǎn)有關(guān)。

2.3 不定積分

根據(jù)柯西定理，可知沿單通區(qū)域任意路徑，解析函數(shù)的積分只與起點(diǎn)終點(diǎn)有關(guān)，故起點(diǎn)固定時(shí)，

是一個(gè)單值函數(shù)，在B上解析，并且, F是f的一個(gè)原函數(shù)。類(lèi)似一元函數(shù)，有

另有一個(gè)重要結(jié)論：

2.4 柯西公式

設(shè)在閉單通區(qū)域解析，為區(qū)域內(nèi)任意點(diǎn)，區(qū)域邊界為柯西公式：

簡(jiǎn)單證明：

根據(jù)2.3的結(jié)論，

接下來(lái)只要證明：

構(gòu)造復(fù)通區(qū)域：為外邊界，內(nèi)邊界是以為圓心的圓C，半徑r趨于0.?

根據(jù)柯西定理和積分不等式，

由于連續(xù)，r趨于0時(shí)，證畢。

接下來(lái)是一些推論：

1. 推廣到復(fù)通區(qū)域

聯(lián)想之前證明復(fù)通區(qū)域柯西定理的思路，可知柯西公式仍成立，但需要對(duì)所有邊界(外邊界+洞)沿正方向積分：

2. 推廣到外部包含無(wú)限遠(yuǎn)的區(qū)域

設(shè)復(fù)變函數(shù)在某回路的外部解析，若構(gòu)造復(fù)通區(qū)域如圖，

則根據(jù)前面對(duì)復(fù)通區(qū)域的推廣，

若在無(wú)窮遠(yuǎn)連續(xù)，則令C的半徑趨于無(wú)窮，

對(duì)任意半徑的C，(*)式均成立，所以

3. 推論：解析函數(shù)可以求導(dǎo)任意多次。

4. 模數(shù)原理

閉區(qū)域上解析函數(shù)的模長(zhǎng)極大值只能在區(qū)域邊界取得。教材上的證明長(zhǎng)這樣...

但是下面我自己的證法，看上去好像也沒(méi)什么問(wèn)題，而且更簡(jiǎn)單？

假設(shè)在非邊界的一點(diǎn)取得極大，則存在該點(diǎn)的某鄰域，以這一點(diǎn)為圓心，半徑為r，在該鄰域解析，且在鄰域的邊界C上. 根據(jù)積分不等式，

兩個(gè)不等式不能同時(shí)取等，矛盾. 所以極大值只能在邊界取得。

5. 劉維爾定理

在全平面解析且有界，，則必為常函數(shù)。

參考文獻(xiàn)

[1] 梁昆淼. 數(shù)學(xué)物理方法（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2009.8，23~28.