自然界中存在大量的正態(tài)分布，比如女性的身高：

正態(tài)分布的英文名為：Normal Distribution，臺(tái)灣翻譯為常態(tài)分布，可見(jiàn)一斑?？墒菫槭裁催@么常見(jiàn)呢？

每個(gè)人都相信它（正態(tài)分布）：實(shí)驗(yàn)工作者認(rèn)為它是一個(gè)數(shù)學(xué)定理，數(shù)學(xué)研究者認(rèn)為他是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式。

----加布里埃爾·李普曼

1 高爾頓釘板

弗朗西斯·高爾頓爵士（1822－1911），查爾斯·達(dá)爾文的表弟，英格蘭維多利亞時(shí)代的博學(xué)家、人類學(xué)家、優(yōu)生學(xué)家、熱帶探險(xiǎn)家、地理學(xué)家、發(fā)明家、氣象學(xué)家、統(tǒng)計(jì)學(xué)家、心理學(xué)家和遺傳學(xué)家。

他發(fā)明了一個(gè)叫做高爾頓釘板的裝置，展示了正態(tài)分布的產(chǎn)生過(guò)程：

我們來(lái)看看高爾頓釘板的細(xì)節(jié)，或許有助于我們理解正態(tài)分布為什么常見(jiàn)。

彈珠往下滾的時(shí)候，撞到釘子就會(huì)隨機(jī)選擇往左邊走，還是往右邊走：

一顆彈珠一路滾下來(lái)會(huì)多次選擇方向，最終的分布會(huì)接近正態(tài)分布：

自然界中為什么會(huì)有那么多正態(tài)分布？下面開始胡謅了。

比如開頭提到的女性身高，受到多個(gè)因素的影響，比如：

• 父母身高

• 家里面的飲食習(xí)慣，比如吃素還是吃葷，吃牛肉還是吃豬肉

• 是否喜歡運(yùn)動(dòng)，喜歡什么運(yùn)動(dòng)

這些影響，就好像高爾頓釘板中的釘子：

要不對(duì)身高產(chǎn)生正面影響，要不對(duì)身高產(chǎn)生負(fù)面影響，最終讓整體女性的身高接近正態(tài)分布。

中心極限定理說(shuō)了，在適當(dāng)?shù)臈l件下，大量相互獨(dú)立隨機(jī)變量的均值經(jīng)適當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)化后依分布收斂于正態(tài)分布，其中有三個(gè)要素：

• 獨(dú)立

• 隨機(jī)

• 相加

每次采樣受到各種隨機(jī)性的支配，就好像釘板中的釘子，對(duì)采樣結(jié)果進(jìn)行或者正面、或者負(fù)面的影響，最終讓結(jié)果形成了正態(tài)分布。

高爾頓釘板還有兩處細(xì)節(jié)：

• 頂上只有一處開口：這是要求彈珠的起始狀態(tài)一致。類比女性身高的例子，就是要求至少物種一致，總不能豬和人一起比較。換成數(shù)學(xué)用語(yǔ)就是要求同分布

• 開口位于頂部中央：這倒無(wú)所謂，開在別的位置，分布形態(tài)不變，只是平移

2 為什么還有很多不是正態(tài)分布？

在醫(yī)學(xué)研究中很多分布就不是正態(tài)分布，對(duì)實(shí)施了前列腺癌癥治療的病人進(jìn)行前列腺特異性抗原（Prostate specific antigen）的檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果的分布不是正態(tài)分布：

這里可能有兩個(gè)原因?qū)е铝诉@一現(xiàn)象。

首先，樣本取自實(shí)施了前列腺癌癥治療的病人，這些病人往往有各種各樣的疾病，并不是全體人類樣本，也就是說(shuō)不夠隨機(jī)，所以結(jié)果很可能會(huì)偏向某一邊。

其次，癌癥并非是相加，癌細(xì)胞的分裂更像是乘法：

數(shù)學(xué)中，可以通過(guò)對(duì)數(shù)來(lái)把乘法變?yōu)榧臃ǎ?/p>

因此我們對(duì)之前的數(shù)據(jù)取自然對(duì)數(shù)，結(jié)果就接近于正態(tài)分布了（這就是對(duì)數(shù)正態(tài)分布）：

看上去還有點(diǎn)偏向左邊，或許是因?yàn)椴蓸硬皇侨∽匀w人類，導(dǎo)致隨機(jī)性不夠。

以上數(shù)據(jù)及圖片來(lái)自于《What is a p-value anyway? 34 Stories to Help You Actually Understand Statistics》。

財(cái)富分布也是有乘法效應(yīng)在里面，這就是所謂的“馬太效應(yīng)”：

多說(shuō)幾句自己的感想吧，對(duì)于財(cái)富分布，我們大家肯定都希望自己往橫坐標(biāo)的右側(cè)靠近。

那么在每次碰到釘板中的釘子時(shí)，都需要做出往左走還是往右走的選擇，所以我們需要努力提高自己，使自己的選擇比扔硬幣的正確率高，減少隨機(jī)性，這樣才能盡量往右走。

以后回答為什么要學(xué)習(xí)？“因?yàn)檎龖B(tài)分布?。　?/p>

歡迎關(guān)注：馬同學(xué)圖解數(shù)學(xué)